矩阵分析

f ( X ) = X ( A + B) X ,
H
其中
X = ( x1 , x2 ,L , xn )
T
都是半正定H-矩阵 矩阵， 由于 A , B 都是半正定 矩阵，所以对于 任意一组不全为零的复数
x1 , x2 ,L , xn
我们有
f ( X ) = X ( A + B) X
H
= X AX + X BX ≥ 0
仍然为正定H-阵 另一方面注意矩阵 A 仍然为正定 阵, 而 反阵, 矩阵 B 为H-反阵 由上面的例题结论可知 反阵
−1
矩阵 A
−1
的特征值实部为零, B 的特征值实部为零 那么矩阵 −1 I+A B
的特征值中不可能有零, 的特征值中不可能有零 从而
I+A B ≠0
定理: 定理 对于给定的Hermite二次形 二次形 对于给定的
λ1 λ2 U H , 0 < λ ∈ R A =U i O λn
由于
A 又是酉矩阵, 又是酉矩阵
所以
λi = 1
这样必有
λi = 1
, 从而 A = I
是一个正定的H-阵 例 2 : 设 A 是一个正定的 阵, B 是一 个反H-阵 证明: 个反 阵, 证明 AB 与 BA 的特征值实 部为零. 部为零 证明: 设 λ 为矩阵的任意一个特征值 那 为矩阵的任意一个特征值, 证明 是一个正定H么有 λ I − AB = 0 . 由于 A是一个正定 阵, 所以存在可逆矩阵 Q 使得
2
证明: 设 λ1 , λ2 ,L , λn 为 A 的全部特征值 的全部特征值, 证明 由于 A 是半正定的, 所以 λi ≥ 0 . 于是有 是半正定的
A + I = (1 + λ1 )(1 + λ2 )L (1 + λn ) > 1
是一个半正定的H-阵且 例 2 : 设 A 是一个半正定的 阵且 是一个正定的H-阵 证明: B 是一个正定的 阵, 证明
f ( y1 , y2 , y3 ) = 4 y1 y1 + 8 y2 y2 + 3 y3 y3 f ( y1 , y2 , y3 ) = 12 y2 y2 + 9 y3 y3 f ( y1 , y2 , y3 ) = −7 y1 y1 + 6 y2 y2 + y3 y3
f ( y1 , y2 , y3 ) = − y1 y1 − 4 y2 y2 − 3 y3 y3 f ( y1 , y2 , y3 ) = −6 y1 y1 − 13 y3 y3
A的
X = CY
则
f ( x1 , x2 ,L , xn ) = X AX = Y (C AC )Y
H H H
= Y BY
H
这里
B = C AC , B = B
H H
Hermite二次型中最简单的一种是只含有纯 二次型中最简单的一种是只含有纯 的平方项无交叉项的二次型
f ( y1 , y2 ,L , yn ) = λ1 y1 y1 + λ2 y2 y2 + L + λn yn yn
I + (Q ) AQ
从而
H −1
−1
>1
A + B = B (Q ) AQ + I > B
H −1
−1
证明： 例 3 : 证明： （1） 半正定 矩阵之和仍然是半正定 ） 半正定H-矩阵之和仍然是半正定 的; 矩阵与正定H-阵之和和 （2） 半正定 矩阵与正定 阵之和和 ） 半正定H-矩阵与正定 是正定的; 是正定的 证明：设 A , B 都是半正定 阵，那么 都是半正定H-阵 证明： A 仍然是一个H-阵 二者之和 + B 仍然是一个 阵，其对应 的Hermite二次型为 二次型为
n
n n n
此外，我们也可以从顺序主子式的角度来判 此外，我们也可以从顺序主子式的角度来判 顺序主子式 断二次型的正定性
定理 条件是
矩阵 n 阶Hermite矩阵 A 为正定的充要 个顺序主子式都大于零， A 的 n 个顺序主子式都大于零，即
a11 a11 > 0, a21 a11 a21 LL , M an1
a11 a21 n (−1) M an1
a12 L a1n a22 L a2 n >0 M M an 2 L ann
是一个正定的H-阵 例 1 : 设 A 是一个正定的 阵, 且又是酉矩 阵, 则 A = I 证明: 由于 A 是一个正定H-阵, 所以必存在 证明 是一个正定 阵 酉矩阵 ∈ U n×n 使得 U
H
是一个正定的H-阵 例 3 : 设 A 是一个正定的 阵, B 是一个 是可逆矩阵. 反H-阵, 证明 A + B 是可逆矩阵 阵 证明: 证明: 是一个正定H-阵 证明 由于 A 是一个正定 阵, 所以存在可 逆矩阵 Q 使得
A=Q Q
H
这表明
A 是可逆的 是可逆的.
于是
−1 −1
A + B = A + AA B = A I + A B
与正定的实二次形一样, 关于正定的Hermite 与正定的实二次形一样 关于正定的 二次形我们有 定理: 定理 对于给定的Hermite二次形 二次形 对于给定的
f ( X ) = X AX
H
下列叙述是等价的
(1) f ( X ) 是正定的 H (2) 对于任何 阶可逆矩阵 P 都有 P AP 为正定矩阵 (3) A 的 个特征值都大于零 H (4) 存在 阶可逆矩阵 P 使得 P AP = I H (5) 存在 阶可逆矩阵 Q 使得 A = Q Q H (6) 存在正线上三角矩阵 R 使得 A = R R , 且此分解是唯一的 且此分解是唯一的.
n
P BP = I H 是一个正定H-阵 另一方面注意到 P AP 是一个正定 阵，
H
从而
λ I − P AP = 0
H
的根都是正实数。 的根都是正实数。另一方面注意到
λ I − P AP = λ P BP − P AP
H H H
= P
故
H
λB − A P
λB − A = 0
的根也都是正实数。 的根也都是正实数。
a12 a22
a11 > 0, a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 > 0, a33
a12 L a1n a22 L a2 n >0 M M an 2 L ann
定理 条件是
矩阵 n 阶Hermite矩阵 A 为负定的充要 个顺序主子式负正相间， A 的 n 个顺序主子式负正相间，即
Hermite矩阵偶在复合同（复相合） 矩阵偶在复合同（复相合） 矩阵偶在复合同 下的标准形 例 ：设 A , B 均为 阶Hermite-阵,且 B 阵且 n ×n 又是正定的， 又是正定的，证明必存在 P ∈ Cn 使得
n
λ1 λ2 H P AP = O λn
与
P BP = I n×n 同时成立， 同时成立，其中 λ1 , λ2 ,L , λn 是与 P 无关
H
的实数。 的实数。 证明： 由于 B 是正定 阵，所以存在 是正定H-阵 证明： n ×n P ∈ Cn 使得 1
P BP = I n×n 1 1
H
又由于 P 1
H
P2 ∈ U n
n ×n
AP 也是 阵，那么存在 1 也是H-阵
−1
f ( X ) = X AX
H
下列叙述是等价的: 下列叙述是等价的 (1) f ( X ) 是半正定的
(2) 对于任何 为半正定矩阵 (3) (4)
n 阶可逆矩阵 P 都有 P
H
AP
(5)
A 的 n 个特征值全是非负的 存在 n 阶可逆矩阵 P 使得 I r 0 H P AP = 0 0 存在秩为 r 的 n 阶矩阵 Q 使得
H H
这说明
A+ B
为一个半正定H-阵。 为一个半正定 阵
类似地，可以证明另外一问。 类似地，可以证明另外一问。
例 4 : 设
A, B
阶正定H-阵 都是 n 阶正定 阵，则
λB − A = 0
的根全为正实数。 的根全为正实数。 证明： 是正定的， 证明：因为 B 是正定的，所以存在可逆矩阵 n ×n 使得 P ∈C
下面证明 关。令 Q
n 个实特征值 λ1 , λ2 ,L, λn 与P 无 H
= P AP 1 1
，那么 λi 是特征方程
λI − Q = 0
的特征根。 的特征根。又由于
λ I − Q = λ P1 BP1 − P1 AP1
那么上面的Hermite二次型可以记为 二次型可以记为 那么上面的
f ( x1 , x2 ,L , xn ) = X AX
H
称为Hermite二次型对应的矩阵 , 并称 称为 二次型对应的矩阵 秩为Hermite二次型的秩 秩为 二次型的秩. 二次型的秩 对于Hermite二次型作可逆的线性替换 二次型作可逆的线性替换 对于
A=Q Q
H
定理: 设 A 是正定 半正定 是正定(半正定 半正定)Hermite矩阵 矩阵, 定理 矩阵 那么存在正定(半正定 半正定) 那么存在正定 半正定 Hermite矩阵 H 使得 矩阵
例 1 : 证明: 证明
设
A 是一个半正定的H-阵且 A ≠ 0 是一个半正定的 阵且
A+ I >1
A= H
我们称这种形状的Hermite二次型为标准形 二次型为标准形 我们称这种形状的 二次型为 二次型. 的Hermite二次型 二次型 定理: 对于任意一个Hermite二次型 定理 对于任意一个 二次型
f ( x1 , x2 ,L , xn ) = X AX
H
必存在酉线性替换
X = UY
可以将Hermite二次型 二次型 可以将
H
必存在可逆的线性替换
X = PY 可以将Hermite二次型 f ( x ) 可以将 二次型
化为
f ( x ) = y1 y1 + L + ys ys − ys +1 ys +1 − L − yr yr
其中r
= rank ( A)
.
我们称上面的标准形为Hermite二次型 f 二次型 我们称上面的标准形为 的规范形. 规范形
A≠0
A+ B > B
证明: 由于 B 是一个正定的H-阵, 所以存在 证明 是一个正定的 阵 Q 可逆矩阵 使得
B =Q Q
H
这样有
A+ B = A+Q Q = Q
H
H
(Q ) AQ + I Q
H −1
−1
= B (Q ) AQ + I
H −1
−1
注意矩阵
(Q ) AQ
H −1
−1
仍然是一个半正定的H-阵 仍然是一个半正定的 阵, 有上面的例题可 知
f ( x ) 化为标准形
f ( x ) = λ1 y1 y1 + λ2 y2 y2 + L + λn yn yn 其中 λ1 , λ2 ,L , λn 是H-矩阵 A 的特征值 矩阵 的特征值.
进一步, 进一步 我们有 定理: 定理 对于Hermite二次型 二次型 对于
f ( x1 , x2 ,L , xn ) = X AX
如果对于任意一组不全为零复数
x1 , x2 ,L , xn
都有
f ( x1 , x2 ,L , xn ) > 0( ≥ 0)
则称该Hermite二次形为正定的(半正定的 , 二次形为正定的 半正定的 则称该 二次形为正定的 半正定的) 并称相应的H-矩阵 正定的(半正定的 半正定的) 并称相应的 矩阵 A 为正定的 半正定的 . 判断下列Hermite二次形的类别 例: 判断下列 二次形的类别
( x)
正定Hermite二次型与正定 二次型与正定Hermite矩阵 正定 二次型与正定 矩阵 定义: 对于给定的Hermite二次形 定义 对于给定的 二次形
f ( X ) = f ( x1 , x2 ,L , xn ) = ∑∑ aij xi x j = X AX
H i =1 j =1 n n
A=Q Q
H
将其代入上面的特征多项式有
0 = λ I − AB = λ I − Q QB
H
= λQ (Q ) − Q QBQ (Q )
H H −1 H H
H −1
=Q
H
λ I − QBQ
H
H
(Q )
H −1
= λ I − QBQ
的特征值. 这说明 λ 也是矩阵 QBQ 的特征值 另一方 H 反阵, 面注意矩阵 QBQ 为H-反阵 从而 λ 实部 反阵 为零. 为零 同样可以证明另一问. 同样可以证明另一问
使得
λ1 λ2 H H P2 P AP P2 = 1 1 O λn
其中 λ1 , λ2 ,L , λn 是H-阵 P AP 的 阵 1 1 个实特征值。 个实特征值。
H
n
如果记
P = P P2 1
，则有
λ1 λ2 H , P H BP = I P AP = O λn