诸暨市一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

诸暨市一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）7
1i i z
+=A ．1 B ． C ．
D ．1-i
-
2． 函数f （x ）=lnx ﹣+1的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 数列﹣1，4，﹣7，10，…，（﹣1）n （3n ﹣2）的前n 项和为S n ，则S 11+S 20=（ ）
A ．﹣16
B ．14
C ．28
D ．304． 某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在内的人数分别为（
）
[]90,100
A ．20，2
B ．24，4
C ．25，2
D ．25，4
5． 半径R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）
A ．
πR 3
B ．
πR 3
C ．
πR 3
D ．
πR 3
6． 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4=﹣2，S 5=0，则S 6=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3
7． 若命题“p ∧q ”为假，且“¬q ”为假，则（ ）
A ．“p ∨q ”为假
B ．p 假
C ．p 真
D ．不能判断q 的真假
8． 设函数对一切实数都满足，且方程恰有6个不同的实根，则这()y f x =x (3)(3)f x f x +=-()0f x =6个实根的和为（ ）A. B.
C.
D.181290
【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识，意在考查运算求解能力.
9．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是（）
A．=1.23x+4B．=1.23x﹣0.08C．=1.23x+0.8D．=1.23x+0.08
10．对某班学生一次英语测验的成绩分析，各分数段的分布如图（分数取整数），由此，估计这次测验的优秀率（不小于80分）为（）
A．92%B．24%C．56%D．5.6%
11．函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2.3）D．（3，4）
12．已知复合命题p∧（￢q）是真命题，则下列命题中也是真命题的是（）
A．（￢p）∨q B．p∨q C．p∧q D．（￢p）∧（￢q）
二、填空题
13．给出下列命题：
（1）命题p：；菱形的对角线互相垂直平分，命题q：菱形的对角线相等；则p∨q是假命题
（2）命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题为真命题
（3）“1＜x＜3”是“x2﹣4x+3＜0”的必要不充分条件
（4）若命题p：∀x∈R，x2+4x+5≠0，则¬p：．
其中叙述正确的是 ．（填上所有正确命题的序号）
14．设O为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，过F斜率为的直线与抛物线C相
交于A，B两点，直线AO与l相交于D，若|AF|＞|BF|，则= ．
15．命题：“∀x∈R，都有x3≥1”的否定形式为 ．
16．若在圆C：x2+（y﹣a）2=4上有且仅有两个点到原点O距离为1，则实数a的取值范围是 ．　
17．函数()2
=在点()
log
f x x
A处切线的斜率为▲．
1,2
18．设双曲线﹣=1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．若∠F 1MF 2=90°，则△F 1MF 2的面积是
．　
三、解答题
19．设函数f （θ）=
，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边
经过点P （x ，y ），且0≤θ≤π．（Ⅰ）若点P 的坐标为
，求f （θ）的值；
（Ⅱ）若点P （x ，y ）为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f （θ）的
最小值和最大值．
20．已知命题p ：“存在实数a ，使直线x+ay ﹣2=0与圆x 2+y 2=1有公共点”，命题q ：“存在实数a ，使点（a ，1）在椭圆
内部”，若命题“p 且¬q ”是真命题，求实数a 的取值范围．
21．已知曲线（，）在处的切线与直线2
1()f x e x ax
=+0x ≠0a ≠1x =2
(1)20160e x y --+=平行．
（1）讨论的单调性；
()y f x =（2）若在，上恒成立，求实数的取值范围．
()ln kf s t t ≥(0,)s ∈+∞(1,]t e ∈
22．由四个不同的数字1，2，4，x 组成无重复数字的三位数．（1）若x=5，其中能被5整除的共有多少个？（2）若x=9，其中能被3整除的共有多少个？（3）若x=0，其中的偶数共有多少个？
（4）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x ．
23．（本小题满分12分）已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、)0,1(1-F )0,1(2F P 1F 2F C 1PF 21F F 构成等差数列．2PF （I ）求椭圆的方程；
C （II ）设经过的直线与曲线C 交于两点，若，求直线的方程．
2F m P Q 、2
2
2
11PQ F P F Q =+m 24．（本小题满分13分）设，数列满足：，．1()1f x x =
+{}n a 112
a =1(),n n a f a n N *
+=∈
（Ⅰ）若为方程的两个不相等的实根，证明：数列为等比数列；
12,λλ()f x x =12n n
a a λλ⎧⎫
-⎨
⎬-⎩⎭（Ⅱ）证明：存在实数，使得对，．
m n N *
∀∈2121222n n n n a a m a a -++<<<< ）
诸暨市一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A 【解析】
试题分析：,因为复数满足,所以
，所以复数的4
2
7
3
1,1i i i i i ==-∴==- 7
1i i z
+=()1,1i i i i z i z +=-∴=-A 虚部为,故选A.
考点：1、复数的基本概念；2、复数代数形式的乘除运算.2． 【答案】A
【解析】解：∵f （x ）=lnx ﹣+1，
∴f ′（x ）=﹣
=
，
∴f （x ）在（0，4）上单调递增，在（4，+∞）上单调递减；且f （4）=ln4﹣2+1=ln4﹣1＞0；故选A ．
【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的图象的应用．
3． 【答案】B
【解析】解：∵a n =（﹣1）n （3n ﹣2），∴S 11=（）+（a 2+a 4+a 6+a 8+a 10）
=﹣（1+7+13+19+25+31）+（4+10+16+22+28）
=﹣16，
S 20=（a 1+a 3+...+a 19）+（a 2+a 4+...+a 20）=﹣（1+7+...+55）+（4+10+ (58)
=﹣+
=30，
∴S 11+S 20=﹣16+30=14．故选：B ．
【点评】本题考查数列求和，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和等差数列的性质的合理运用．　
4． 【答案】C 【解析】
考
点：茎叶图，频率分布直方图．5． 【答案】A
【解析】解：2πr=πR ，所以r=，则h=，所以V=
故选A
6． 【答案】D
【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，
则S 4=4a 1+d=﹣2，S 5=5a 1+d=0，
联立解得，
∴S 6=6a 1+d=3
故选：D
【点评】本题考查等差数列的求和公式，得出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题．　
7． 【答案】B
【解析】解：∵命题“p ∧q ”为假，且“¬q ”为假，∴q 为真，p 为假；则p ∨q 为真，故选B ．
【点评】本题考查了复合命题的真假性的判断，属于基础题．　
8． 【答案】A.
【解析】，∴的图象关于直线对称，(3)(3)()(6)f x f x f x f x +=-⇔=-()f x 3x =∴个实根的和为，故选A.63618⋅=9． 【答案】D
【解析】解：设回归直线方程为=1.23x+a
∵样本点的中心为（4，5），∴5=1.23×4+a ∴a=0.08
∴回归直线方程为=1.23x+0.08
故选D．
【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．
10．【答案】C
【解析】解：这次测验的优秀率（不小于80分）为
0.032×10+0.024×10=0.56
故这次测验的优秀率（不小于80分）为56%
故选C
【点评】在解决频率分布直方图时，一定注意频率分布直方图的纵坐标是．
11．【答案】A
【解析】解：∵f（0）=﹣2＜0，f（1）=1＞0，
∴由零点存在性定理可知函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（0，1）．
故选A
【点评】本题主要考查了函数的零点的判定定理，这种问题只要代入所给的区间的端点的值进行检验即可，属于基础题．
12．【答案】B
【解析】解：命题p∧（￢q）是真命题，则p为真命题，￢q也为真命题，
可推出￢p为假命题，q为假命题，
故为真命题的是p∨q，
故选：B．
【点评】本题考查复合命题的真假判断，注意p∨q全假时假，p∧q全真时真．
二、填空题
13．【答案】　（4）　
【解析】解：（1）命题p：菱形的对角线互相垂直平分，为真命题．命题q：菱形的对角线相等为假命题；则p∨q是真命题，故（1）错误，
（2）命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3或x=1”，即原命题为假命题，则命题的逆否命题为假命题，故（2）错误，
（3）由x2﹣4x+3＜0得1＜x＜3，则“1＜x＜3”是“x2﹣4x+3＜0”的充要条件，故（3）错误，
（4）若命题p：∀x∈R，x2+4x+5≠0，则￢p：．正确，
故答案为：（4）
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及复合命题的真假关系，四种命题，充分条件和必要条件以及含有量词的命题的否定，知识点较多，属于中档题．
14．【答案】 ．
【解析】解：∵O为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，
过F斜率为的直线与抛物线C相交于A，B两点，
直线AO与l相交于D，
∴直线AB的方程为y=（x﹣），l的方程为x=﹣，
联立，解得A（﹣，P），B（，﹣）
∴直线OA的方程为：y=，
联立，解得D（﹣，﹣）
∴|BD|==，
∵|OF|=，∴==．
故答案为：．
【点评】本题考查两条件线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握抛物线的简单性质．　
15．【答案】　∃x0∈R，都有x03＜1　．
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题：“∀x ∈R ，都有x 3≥1”的否定形式为：命题：“∃x 0∈R ，都有x 03＜1”．
故答案为：∃x 0∈R ，都有x 03＜1．
【点评】本题考查全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．　
16．【答案】　﹣3＜a ＜﹣1或1＜a ＜3　．
【解析】解：根据题意知：圆x 2+（y ﹣a ）2=4和以原点为圆心，1为半径的圆x 2+y 2=1相交，两圆圆心距d=|a|，∴2﹣1＜|a|＜2+1，∴﹣3＜a ＜﹣1或1＜a ＜3．故答案为：﹣3＜a ＜﹣1或1＜a ＜3．
【点评】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为：圆x 2+（y ﹣a ）2=4和以原点为圆心，1为半径的圆x 2+y 2=1相交，属中档题．　
17．【答案】
1
ln 2【解析】
试题分析：()()111ln 2ln 2
f x k f x ''=∴== 考点：导数几何意义
【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.
（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.18．【答案】　9　．
【解析】解：双曲线﹣
=1的a=2，b=3，可得c 2=a 2+b 2=13，
又||MF 1|﹣|MF 2||=2a=4，|F 1F 2|=2c=2，∠F 1MF 2=90°，
在△F 1AF 2中，由勾股定理得：|F 1F 2|2=|MF 1|2+|MF 2|2
=（|MF 1|﹣|MF 2|）2+2|MF 1||MF 2|，即4c 2=4a 2+2|MF 1||MF 2|，可得|MF 1||MF 2|=2b 2=18，
即有△F1MF2的面积S=|MF1||MF2|sin∠F1MF2=×18×1=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的定义与a、b、c之间的关系式的应用，考查三角形的面积公式，考查转化思想与运算能力，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解（Ⅰ）由点P的坐标和三角函数的定义可得：
于是f（θ）===2
（Ⅱ）作出平面区域Ω（即△ABC）如图所示，
其中A（1，0），B（1，1），C（0，1）．
因为P∈Ω，所以0≤θ≤，
∴f（θ）==，
且，
故当，即时，f（θ）取得最大值2；
当，即θ=0时，f（θ）取得最小值1．
【点评】本题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．
20．【答案】
【解析】解：∵直线x+ay ﹣2=0与圆x 2+y 2=1有公共点∴≤1⇒a 2≥1，即a ≥1或a ≤﹣1，
命题p 为真命题时，a ≥1或a ≤﹣1；
∵点（a ，1）在椭圆
内部，∴
，
命题q 为真命题时，﹣2＜a ＜2，
由复合命题真值表知：若命题“p 且¬q ”是真命题，则命题p ，￢q 都是真命题
即p 真q 假，则⇒a ≥2或a ≤﹣2．故所求a 的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
21．【答案】（1）在，上单调递增，在，上单调递减；（2）()f x 1
(,)e -∞-1(,)e +∞1(,0)e -1(0,)e .1[,)2
+∞
【解析】
试题解析：（1）由条件可得，∴，2
21'(1)1f e e a
=-=-1a =由，可得，21()f x e x x =+2222211'()e x f x e x x -=-=由，可得解得或；'()0f x >2210,0,e x x ⎧->⎨≠⎩1x e >1x e <-由，可得解得或．'()0f x <2210,0,
e x x ⎧-<⎨≠⎩10x e -<<10x e <<
所以在，上单调递增，在，上单调递减．
()f x 1(,e -∞-1(,)e +∞1(,0)e -1
(0,e
（2）令，当，时，，，
()ln g t t t =(0,)s ∈+∞(1,]t e ∈()0f s >()ln 0g t t t =>由，可得在，时恒成立，()ln kf s t t ≥ln ()
t t k f s ≥(0,)x ∈+∞(1,]t e ∈即，故只需求出的最小值和的最大值．max ln ()t t k f s ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦max ()()g t f s ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()f s ()g t 由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，()f s 1
(0,e 1(,)e
+∞故的最小值为，
()f s 1
(2f e e
=由可得在区间上恒成立，()ln g t t t ='()ln 10g t t =+>(1,]e 所以在上的最大值为，
()g t (1,]e ()ln g e e e e ==所以只需，122
e k e ≥=所以实数的取值范围是.
1
[,)2+∞考点：1、利用导数研究函数的单调性及求切线斜率；2、不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.
22．【答案】
【解析】
【专题】计算题；排列组合．
【分析】（1）若x=5，根据题意，要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，由排列数公式计算可得答案；
（2）若x=9，根据题意，要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，分“取出的三个数字为1、2、9”与“取出的三个数字为2、4、9”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；
（3）若x=0，根据题意，要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，分“末位是0”与“末位是2或4”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；
（4）分析易得x=0时不能满足题意，进而讨论x ≠0时，先求出4个数字可以组成无重复三位数的个数，进而可以计算出每个数字用了18次，则有252=18×（1+2+4+x ），解可得x 的值．
【解答】解：（1）若x=5，则四个数字为1，2，4，5；
又由要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，
在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32=6种情况，
即能被5整除的三位数共有6个；
（2）若x=9，则四个数字为1，2，4，9；
又由要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，
取出的三个数字为1、2、9时，有A33=6种情况，
取出的三个数字为2、4、9时，有A33=6种情况，
则此时一共有6+6=12个能被3整除的三位数；
（3）若x=0，则四个数字为1，2，4，0；
又由要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，
当末位是0时，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32=6种情况，
当末位是2或4时，有A21×A21×A21=8种情况，
此时三位偶数一共有6+8=14个，
（4）若x=0，可以组成C31×C31×C21=3×3×2=18个三位数，即1、2、4、0四个数字最多出现18次，
则所有这些三位数的各位数字之和最大为（1+2+4）×18=126，不合题意，
故x=0不成立；
当x≠0时，可以组成无重复三位数共有C41×C31×C21=4×3×2=24种，共用了24×3=72个数字，
则每个数字用了=18次，
则有252=18×（1+2+4+x），解可得x=7．
【点评】本题考查排列知识，解题的关键是正确分类，合理运用排列知识求解，第（4）问注意分x为0与否两种情况讨论．
23．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查椭圆标准方程和定义、等差数列、直线和椭圆的位置关系等基础知识，意在考查转化与化归的数学思想的运用和综合分析问题、解决问题的能力．
（II ）①若为直线，代入得，即， m 1=x 13422=+y x 23±=y )23,1(P )2
3,1(-Q 直接计算知，，，不符合题意 ； 29PQ =2
25||||2121=+Q F P F 22211PQ F P F Q ¹+1=x ②若直线的斜率为，直线的方程为m k m (1)y k x =-由得 ⎪⎩
⎪⎨⎧-==+)1(1342
2x k y y x 0)124(8)43(2222=-+-+k x k x k 设，，则， 11(,)P x y 22(,)Q x y 2221438k k x x +=+222143124k k x x +-=⋅由得，22211PQ F P F Q =+110
F P FQ ×=即，0)1)(1(2121=+++y y x x 0
)1()1()1)(1(2121=-⋅-+++x k x k x x
0)1())(1()1(2212212=+++-++k x x k x x k 代入得，即 0438)1()143124)(1(222222=+⋅-+++-+k
k k k k k 0972=-k 解得，直线的方程为 773±=k m )1(773-±=x y 24．【答案】
【解析】解：证明：，∴，∴．2
()10f x x x x =⇔+-=2112221010λλλλ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩21122211λλλλ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩
∵， （3分）12111111112122222222111111n n n n n n n n n n
a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ++--+----====⋅------+，，11120a a λλ-≠-12
0λλ≠∴数列为等比数列． （4分）12n n a a λλ⎧
⎫-⎨⎬-⎩⎭
（Ⅱ）证明：设，则．m =
()f m m =由及得，，∴．112a =111n n a a +=+223a =335a =130a a m <<<∵在上递减，∴，∴．∴，（8分）()f x (0,)+∞13()()()f a f a f m >>24a a m >>1342a a m a a <<<<下面用数学归纳法证明：当时，．n N *∈2121222n n n n a a m a a -++<<<<①当时，命题成立． （9分）
1n =②假设当时命题成立，即，那么n k =2121222k k k k a a m a a -++<<<<由在上递减得()f x (0,)+∞2121222()()()()()k k k k f a f a f m f a f a -++>>>>∴2222321
k k k k a a m a a +++>>>>由得，∴，2321k k m a a ++>>2321()()()k k f m f a f a ++<<2422k k m a a ++<<∴当时命题也成立， （12分）
1n k =+由①②知，对一切命题成立，即存在实数，使得对，.n N *∈m n N *
∀∈2121222n n n n a a m a a -++<<<<。