北京市昌平区高三数学上学期期末质量抽测 文 北师大版

昌平区2011－2012学年第一学期高三年级期末质量抽测数学
试卷（文科） 2012 .1
考生注意事项：
1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．
2.答题前，考生务必将学校、班级、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔．
3.修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．
4.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)
1．设全集
}7,5,3,1{
=
U，集合}7,3,1{
},
5,3{=
=B
A，则()
U
A B
ð
等于
A．{5} B．{3，5} C．{1，5，7} D．Φ
2．
2
1i-等于
A．22i
- B．1i- C．i D．1i+
3．“x y
>”是“22
x y
>”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是
A．
9
10B．
4
5C．
2
5D．
1
2
5.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A．2 B．4
C．6. D．8
6. 某程序框图如图所示，则输出的S =
A ．120
B ． 57
C ．56
D ． 26
7.某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元.每提高一个档次，每件利润增加2元. 用同样工时，可以生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品.则获得利润最大时生产产品的档次是
A.第7档次
B.第8档次
C.第9档次
D.第10档次
8. 一圆形纸片的圆心为点O ,点Q 是圆内异于O 点的一定点，点A 是圆周上一点.把纸片折叠使点A 与Q 重合，然后展平纸片，折痕与OA 交于P 点.当点A 运动时点P 的轨迹是 A ．圆 B ．椭圆 C ． 双曲线 D ．抛物线
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）． 9.已知函数x x y cos sin = ，则函数的最小正周期是 .
10.已知向量(2,1)=a ，10⋅=a b ，
7
+=a b ，则
=
b .
11.某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的 产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106] .已知样本中产品净重小于100克的个数是48，则 a =___________ ；样本中净重在[98，104）的产品的个数是__________ .
12. 已知双曲线1
22
=-y m x 的右焦点恰好是抛物线
x y 82=的焦点，则m = .
a
13. 已知D
是由不等式组0,0,x y x -≥⎧⎪⎨+≥⎪⎩所确定的平面区域，则圆
224x y +=在区域D 内的弧长为_____________；该弧上的点到直线320x y ++=的距离的最大值等于__________ .
14.设函数)(x f 的定义域为R ，若存在与x 无关的正常数M ，使|||)(|x M x f ≤对一切实
数x 均成立，则称)(x f 为有界泛函.在函数①x x f 5)(-=，②
x x f 2
sin )(=，③x
x f )21
()(=，④x x x f c o s )(=中，属于有界泛函的有__________(填上所有正确的序号) .
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15.（本小题满分13分）
在ABC ∆中，A
A A cos cos 2cos 21
2-=．
（I ）求角A 的大小；
（II ）若3a =，sin 2sin B C =，求ABC S ∆．
16．（本小题满分13分） 已知数列
}{n a 是等差数列,22 , 1063==a a ，数列}{n b 的前n 项和是n S ，
且1
31
=+n n b S .
（I ）求数列
}{n a 的通项公式；
（II ）求证：数列}{n b 是等比数列；
17.（本小题满分14分）
如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，
ABCD PA 底面⊥，垂足为点A ，2==AB PA ,点M ，N 分别是PD ，PB 的中点．
（I ）求证:ACM PB 平面// ； （II ）求证:⊥MN 平面PAC ； （III ）求四面体A MBC -的体积.
18.(本小题满分13分)
已知函数
ax x x x f ++
=1ln )(（a 为实数）.
（I ）当0=a 时， 求)(x f 的最小值；
（II ）若)(x f 在),2[+∞上是单调函数，求a 的取值范围.
19.(本小题满分14分)
已知椭圆C 的中心在原点，左焦点为(，离心率为23
．设直线l 与椭圆C 有且只有
一个公共点P ，记点P 在第一象限时直线l 与x 轴、
y 轴的交点分别为B A 、，且向量
+=.求：
（I ）椭圆C 的方程；
（II ）||的最小值及此时直线l 的方程.
20. (本小题满分13分)
M 是具有以下性质的函数()f x 的全体：对于任意s ，0t >，都有()0f s >，()0f t >，
且()()()f s f t f s t +<+.
（I ）试判断函数12()log (1)f x x =+，
2()21x
f x =-是否属于M ？ （II ）证明：对于任意的0x >，0(x m m +>∈R 且0)m ≠都有[()()]0m f x m f x +->； （III ）证明：对于任意给定的正数1s >，存在正数t ，当0x t <≤时，()f x s <.
昌平区2011－2012学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学(文科)试卷参考答案及评分标准 2012.1
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．) 9．π 10. 26 11. 0.125；120 12. 3
13． 65π ;
510
2+
14. ① ② ④
三、解答题(本大题共6小题，共80分)
15.（本小题满分13分）
解：（I ）由已知得：A
A A cos cos )1cos 2(21
22-=-，……2分
.
21
cos =
∴A ……4分
π<<A 0 ，
.
3π
=
∴A …………6分
（II ）由C c B b sin sin = 可得：2sin sin ==c b
C B ………7分
∴ c b 2= …………8分
214942cos 2
22222=-+=-+=c c c bc a c b A ………10分 解得：32b , 3==c ………11分
23
32333221sin 21=⨯⨯⨯==
A bc S . ……13分
16（本小题满分13分）
解：（1）由已知
⎩⎨
⎧=+=+.
225,
10211d a d a 解得 .4,21==d a
.244)1(2-=⨯-+=∴n n a n ………………6分
（2）由于
n
n b S 31
1-=， ① 令n =1，得.31111b b -= 解得431=b ，当2≥n 时，1
131
1---=n n b S ② －②得n n n b b b 31311-=- ， 1
41
-=∴n n b b
又0
431≠=b ,
.411=∴-n n b b ∴数列}{n b 是以43为首项，41
为公比的等比数列.……………………13分
17.（本小题满分14分）
证明：（I ）连接O BD AC MN MO MC AM BD AC = 且,,,,,,
的中点分别是点BD PD M O ,, ACM PB PB MO 平面⊄∴,//
∴ACM PB 平面//. …… 4分
(II) ABCD PA 平面⊥ ，ABCD BD 平面⊂
BD PA ⊥∴是正方形底面ABCD
BD AC ⊥∴
又
A AC PA =⋂ PAC BD 平面⊥∴ (7)
分
在中PBD ∆，点M ，N 分别是PD ，PB 的中点．
∴BD MN //
PAC MN 平面⊥∴. …… 9分
（III ）由
h S V V ABC ABC
M MBC A ⋅⋅==∆--31
(11)
分
PA h 21=
……12分
32
212131=⋅⋅⋅⋅⋅=
∴-PA AD AB V MBC A . ……14分
18.(本小题满分13分)
解：(Ⅰ) 由题意可知：0>x ……1分
当0=a 时
21
)(x x x f -=
' …….2分
当10<<x 时，0)(<'x f 当1>x 时，0)(>'x f ……..4分
故1)1()(min ==f x f . …….5分
(Ⅱ) 由2221
11)(x x ax a x x x f -+=
+-='
① 由题意可知0=a 时，
21
)(x x x f -=
',在),2[+∞时，0)(>'x f 符合要求 …….7分
② 当0<a 时，令
1)(2
-+=x ax x g 故此时)(x f 在),2[+∞上只能是单调递减
0)2(≤'f 即04124≤-+a 解得
41
-
≤a …….9分 当0>a 时，)(x f 在),2[+∞上只能是单调递增 0)2(≥'f 即,04124≥-+a 得
41
-
≥a 故0>a …….11分
综上)
,0[]41
,(+∞⋃--∞∈a …….13分
19. （本小题满分14分）
解：(Ⅰ)由题意可知3=c ，
23==
a c e ，所以2=a ，于是12=
b ，由于焦点在x 轴上，
故C 椭圆的方程为2
21
4x y += ………………………………5分
（Ⅱ）设直线l 的方程为：m kx y +=)0(<k ，
),0(),0,(m B k m
A -
⎪⎩⎪⎨⎧=++=,14,
2
2y x m kx y 消去y 得：012)41(222=-+++m kmx x k …………………7分
直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，
0)1)(41(42
222=-+-=∆m k m k 即142
2+=k m ① …………………… 9分 ∵+=
2
22||m
k m +=∴② ……………………11分
将①式代入②得：
1||3OM =
≥= 当且仅当
22
-
=k 时，等号成立，故min ||3OM =，此时直线方程为：
03222=-+y x . …………………14分
20（本小题满分13分）
(Ⅰ)由题意可知，0)(,0)(,0)(,0)(2211>>>>t f s f t f s f 若)1(log )1(log )1(log 222++<+++t s t s 成立 则1)1)(1(++<++t s t s 即0<st
与已知任意s ，0t >即0>st 相矛盾，故M x f ∉)(1； ……2分 若12
222-<-++t
s t
s
成立 则01222<--++t
s t s
即
0)21)(12(<--t s s ，0t > 021,12<->∴t s 即0)21)(12(<--t
s 成立 …..4分
故M x f ∈)(2.
综上，M x f ∉)(1，M x f ∈)(2. ……5分
(II) 当0>m 时，)()()()(x f m f x f m x f >+>+ 0)()(>-+∴x f m x f 当0<m 时，)()()()()(m x f m f m x f m m x f x f +>-++>-+=
0)()(<-+∴x f m x f
故0)]()([ >-+x f m x f m . ……9分
(III) 据（II ））上为增函数在（
∞+.0)(x f ，且必有)(2)2(x f x f >（*） ①若s f <)1(，令1=t ，则t x ≤<0时 s x f <)(；
②若,)1(s f >则存在*
N ∈k ，使
t f k 12)1(=
<
由（*）式可得
s f f f k
k k <<<<<-1)1(21)21(21)21(
1
即当s x f t x <≤<)(0时，
综①、②命题得证。

……13分
[其它正确解法请相应给分]。