新教材苏教版高中数学必修一 3.4.1 函数的应用(一)

3.4.1 函数的应用（一）
1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是( )
A ．y ＝0.3x ＋800(0≤x ≤2 000，x ∈N *)
B ．y ＝0.3x ＋1 600(0≤x ≤2 000，x ∈N *)
C ．y ＝－0.3x ＋800(0≤x ≤2 000，x ∈N *)
D ．y ＝－0.3x ＋1 600(0≤x ≤2 000，x ∈N *)
2．一种新型电子产品计划投产两年后，使成本降36%，那么平均每年应降低成本( )
A ．18%
B ．20%
C ．24%
D ．36%
3．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量的收入是( )
A ．310元
B ．300元
C ．290元
D ．280元
4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ，1≤x <10，x ∈N *，2x ＋10，10≤x <100，x ∈N *，
1.5x ，x ≥100，x ∈N *.其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若应聘的面试
人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A ．15
B ．40
C ．25
D ．130
5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m (件)与售价x (元)满足一次函数：m ＝162－3x ，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为
( )
A ．30元
B ．42元
C ．54元
D ．越高越好
6．生产某机器的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝x 2－75x ，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产机器________台．
7．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y (km)与时间x (min)的关系，其中甲
在公园休息的时间是10 min，那么y＝f(x)的解析式为________________．
8．某电脑公司2019年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2021年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2019年到2021年每年经营总收入的年增长率相同，则2020年预计经营总收入为________万元．
9．某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，每天至少卖出多少张门票？
10．某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司有电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往A，B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A，B两地每台电脑的运费分别是80元和50元．
(1)设甲地调运x台至B地，该公司运往A，B两地的总运费为y元，求y关于x的函数解析式；
(2)若总运费不超过1 000元，问能有几种调运方案？
11．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0时到6时，该水池的蓄水量如图丙所示．
给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；
②3点到4点不进水只出水；
③4点到6点不进水不出水．
则一定正确的是()
A．①B．①②
C．①③D．①②③
12．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡？()
A．3人B．4人
C．5人D．6人
13.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图所示，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x，y应分别为________．
14．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费________元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了________千米．
15．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000
＋5x＋1
10x2，Q＝a＋
x
b，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每
吨的价格为40元，则有()
A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45
C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30
16．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
【答案与解析】
1．答案D
解析由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆次，
则总收入y＝0.5x＋(2 000－x)×0.8
＝0.5x ＋1 600－0.8x
＝－0.3x ＋1 600(0≤x ≤2 000，x ∈N *)．
2．答案 B
解析 设平均每年降低成本x ，
则(1－x )2＝0.64，得x ＝0.2＝20%.
3．答案 B
解析 设y ＝kx ＋b (k ≠0)，代入(1,800)和(2,1 300)，
则⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝800，2k ＋b ＝1 300，得⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝500，b ＝300. 所以y ＝500x ＋300，当x ＝0时，y ＝300.
4．答案 C
解析 令y ＝60，若4x ＝60，
则x ＝15>10，不合题意；
若2x ＋10＝60，则x ＝25，满足题意；
若1.5x ＝60，
则x ＝40<100，不合题意，
故拟录用人数为25.
5．答案 B
解析 设当每件商品的售价为x 元时，每天获得的销售利润为y 元．
由题意得，y ＝m (x －30)＝(x －30)(162－3x )．
上式配方得y ＝－3(x －42)2＋432.
所以当x ＝42时，利润最大．
6．答案 50
解析 设安排生产x 台，则获得利润
f (x )＝25x －y ＝－x 2＋100x
＝－(x －50)2＋2 500.
故当x ＝50台时，获利润最大．
7．答案 y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 115x ，0≤x ≤30，2，30<x <40，
110x －2，40≤x ≤60
解析 由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得
y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 115x ，0≤x ≤30，2，30<x <40，
110x －2，40≤x ≤60.
8．答案 1 300 解析 设从2019年到2021年每年经营总收入的年增长率为x .
由题意，得2019年经营总收入为40040%
＝1 000(万元)， 则有1 000(1＋x )2＝1 690.
解得x ＝0.3，
故2020年预计经营总收入为
1 000(1＋0.3)＝1 300(万元)．
9．解 (1)由图象知，当x ∈[0,200]时，可设y ＝kx ＋b ，
代入点(0，－1 000)和(200,1 000)，
解得k ＝10，b ＝－1 000，
从而y ＝10x －1 000，x ∈[0,200]．
当x ∈(200,300]时，代入点(200,500)和(300,2 000)，
解得k ＝15，b ＝－2 500，x ∈(200,300]．
从而y ＝15x －2 500，
所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
10x －1 000，x ∈[0，200]，15x －2 500，x ∈(200，300]. (2)每天的盈利额超过1 000元，则x ∈(200,300]，
由15x －2 500>1 000得，x >7003
， 故每天至少需要卖出234张门票．
10．解 (1)甲地调运x 台到B 地，
则剩下(6－x )台电脑调运到A 地；
乙地应调运(8－x )台电脑至B 地，运往A 地12－(8－x )＝(x ＋4)台电脑(0≤x ≤6，x ∈N )， 则总运费y ＝30x ＋40(6－x )＋50(8－x )＋80(x ＋4)＝20x ＋960，
所以y ＝20x ＋960(x ∈N ，且0≤x ≤6)．
(2)若使y ≤1 000，
即20x ＋960≤1 000，得x ≤2.
又0≤x ≤6，x ∈N ，
所以0≤x ≤2，x ∈N .
所以x ＝0,1,2，即有3种调运方案．
11．答案 A
解析 由甲乙两图知，出水的速度是进水的2倍，所以0点到3点只进水不出水，3点到4点水量减少，则一个进水口进水，另一个关闭，出水口出水；4点到6点水量不变，可能是不进水不出水或两个进水口进水，一个出水口出水，所以只有①正确，故选A.
12．答案 B
解析 水箱内水量y ＝200＋2t 2－34t ，
当t ＝172
时，y 有最小值， 此时共放水34×172＝289(升)，28965
≈4.4， 故至多可供4人洗澡．
13.答案 15,12
解析 由题干图知x ，y 满足关系式x 20＝24－y 16
， 即y ＝24－45
x ， 矩形的面积S ＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫24－45x ＝－45
(x －15)2＋180， 故x ＝15，y ＝12时，S 取最大值．
14．答案 14.59 9
解析 设出租车行驶x 千米时，付费y 元，
则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9，0<x ≤3，8＋2.15(x －3)＋1，3<x ≤8，
8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x >8，
当x ＝5.6时，y ＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元)．
由y ＝22.6，知x >8，
由8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1＝22.6，
解得x ＝9.
15．答案 A
解析 设生产x 吨产品全部卖出，获利润为y 元，
则y ＝xQ －P ＝x ⎝⎛⎭⎫a ＋x b －⎝
⎛⎭⎫1 000＋5x ＋110x 2 ＝⎝⎛⎭⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1 000(x >0)．
由题意知，当x ＝150时，y 取最大值，此时Q ＝40.
所以⎩⎪⎨⎪⎧ －a －52⎝⎛⎭⎫1b －110＝150，a ＋150b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝45，
b ＝－30. 16．解 (1)设旅行团人数为x ，飞机票价格为y 元，
则y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧ 900，0<x ≤30，x ∈N *，900－10(x －30)，30<x ≤75，x ∈N *， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
900，0<x ≤30，x ∈N *，1 200－10x ，30<x ≤ 75，x ∈N *. (2)设旅行社获利S 元，
则S ＝⎩
⎪⎨⎪⎧ 900x －15 000，0<x ≤30，x ∈N *，x (1 200－10x )－15 000，30<x ≤75，x ∈N *. 即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧
900x －15 000，0<x ≤30，x ∈N *，－10(x －60)2＋21 000，30<x ≤75，x ∈N *. 因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上单调递增，
当x ＝30时，S 取最大值12 000.
又S ＝－10(x －60)2＋21 000在区间(30,75]上的对称轴为x ＝60， 当x ＝60时，S 取最大值21 000.
故当x ＝60时，旅行社可获得最大利润．。