受迫振动中振幅和频率的讨论

+ C 2e
i w2 - g 2 t
)
有欧拉公式e = cos b i sin b - gt 2 2 2 2 x = e [C 1 (cos w - g t - i sin w - g t )
+ C 2 (cos w - g t + i sin w - g t )] x = e
- gt 2 2 2 2
2
= 0
进行两次积分，得到：
C (t ) = C 1x + C 2
其中C 1，C 2 为任意常数， 在动力学之中,两个常数与运动有关。
x = C (t )e = e
lt
- gt
(C 1x + C 2 )
以上为齐次方程的通解情况
接下来我们求非齐次方程的特解：
d x dx 2 + 2 g + w x = f cos W t + f sin W t 1 2 2 dt dt
利用待定系数法求解两个微分方程
d x
f1 f2 dx 2 iW t + 2 g + w x = e ( + ) 2 dt 2 2i dt
2
° iW t 设方程的特解为x1 = Pm (t )e
Pm (t )是一个关于t的m 次多项式
° iW t x1 = Pm (t )e 代入原方程，得到：
- We +e
m 令 = 2g m
k = w2 m
F1 m
= f1 ,
F2 m
= f2
方程变为以下形式
d x dx 2 + 2 g + w x = f cos W t + f sin W t 1 2 2 dt dt
2
对应的齐次方程为
d x dx 2 + 2g + wx = 0 2 dt dt
lt
2
设方程的一个解为： x = e 代入齐次方程
同理，我们对方程：
2
2
2
2
d x
f f dx 2 - iW t 1 2 + 2 g + w x = e ( ) 2 dt 2 2i dt
2
° - iW t 设方程的特解为x 2 = Pn (t )e
Pn (t )是一个关于t的n 次多项式 ° - iW t x = P (t )e 代入原方程，得到：
Pm (t ) = a1 + b1i
dPm (t ) dt
2
\
d Pm (t ) dt
2
2
2
= 0,
= 0
\ (- W + 2i gW+ w )( a1 + b1i )=
f1 2
+
f2 2i
\ [( w - W )a1 - 2gW b1 ] + [( w - W )b1 f1 f2 + 2gW a1 ]i = i 2 2
， 也是任意常数 2 2 2 2 2 g - w - 2 g - w 令C 1 = C1 2 g - w
2 g 2 - w2 t
2 2
C1
C
' 1
,C =
' 1
C
' 1 2
- 2 g - w
2
C 1(t ) = C 1e C 2 (t ) = C e
+ C2 +C
' 2
' - 2 g 2 - w2 t 1
g 2 - w2 )t
+ C 2e
( - g + g 2 - w2 )t
其中C 1，C 2 为任意常数， 在动力学之中,两个常数与运动有关。
同时，γ与ω的大小关系也会对方程的形 式产生影响
如果g > w (过度衰减)
2
2
那么l 1, l 2均为实数，且l 1 ¹ l 2
通解为x = C 1e
(- g -
iW t
2 iW t 2
+ iW e dt
2
iW t
dPm (t ) dt
+ iW e
iW t
dPm (t ) dt dPm (t ) iW t dt ]
d Pm (t )
+ 2g[i W e Pm (t ) + e f1 2 + f2 2i )e
iW t
iW t
+ w e Pm (t ) = (
2 iW t
2 2
2
2
+ C 2 sin w - g t )
如果g = w (临界衰减)
2
2
那么l 1 = l 2 = - g
d C (t ) dC (t ) 方程e [ + 2( g + l ) + 2 dt dt 2 2 (l + 2gl + w )C (t )] = 0
lt
2
变为
d C (t ) dt
2
(- g -
x 2 = (C e x2 = C e
' - 2 g 2 - w2 t 1 g 2 - w2 )t
+ C )e +Ce
( - g + g 2 - w2 )t
' (- g 1
' ( - g + g 2 - w2 )t 2
可以看到，两者是等价的 因此，解可以合并为：
x = C 1e
(- g -
± ib
2
有欧拉公式e
= cos b
ib
i sin b
- ib
e +e 可以得到 cos b = 2 e - e sin b = 2i
ib
- ib
d x
dx 2 + 2 g + w x = 2 dt dt f1 iWt f2 i Wt - iW t - iW t (e + e ) + (e - e ) 2 2i
2
根据解的叠加原理，待求的非齐次方程 的通解，为下列两个非齐次方程的通解 之和。
d x d x
2
f1 f2 dx 2 iW t + 2 g + w x = e ( + ) 2 dt 2 2i dt
2
f1 f2 dx 2 - iW t + 2 g + w x = e ( ) 2 dt 2 2i dt
g - w g - w
2
2
2
2
讨论根的情况
方程的两个特解为：
(- g ° x1 = e g - w )t
2 2
(- g + ° x2 = e
g 2 - w2 )t
但是，上述两个解都不含有任意常数， 所以它们都不是方程的通解。 我们可以利用常数变易法去讨论 在上述方程的解中γ，ω，1均为常数， 但是前两者由方程给定，只有“1”是 我们的假设。
l1 = - g-
g - w
lt
2
2
l2 = - g+
g - w
2
2
代入x = C (t )e ，得
x 1 = (C 1e x 1 = C 1e
2 g 2 - w2 t
+ C 2 )e
(- g -
g 2 - w2 )t g 2 - w2 )t
( - g + g 2 - w2 )t
+ C 2e
' 2
- 2( g + l )
+ C2
l1 = - gl2 = - g+
g - w
2
2
2 2
g - w
2 g 2 - w2 t 2 2
代入C(t),得：
C 1 (t ) =
C 1e
2 g - w Ce
+ C2
C 2 (t ) =
' - 2 g 2 - w2 t 1 2 2
+C
- 2 g - w
' 2
可以看到：
2 lt lt
对方程进行整理，可以得到：
d C (t ) dC (t ) e [ + 2( g + l ) + 2 dt dt 2 2 (l + 2gl + w )C (t )] = 0
lt
2
这里出现了l + 2gl + w 显然，l + 2gl + w = 0
2 2
2
2
d C (t ) dC (t ) \ e [ + 2( g + l ) ] = 0 2 dt dt
[(C 1 + C 2 ) cos w - g t
2 2
2
2
+ i (C 2 - C 1 ) sin w - g t ]
其中C 1，C 2 为任意常数， 在动力学之中,两个常数与运动有关。
令C 1 = C 1 + C 2 ,C 2 = i(C 2 - C 1 )
\ x = e
- gt
(C 1 cos w - g t
lt
2
γ+λ≠0时，使用积分因子法对方程进行处理
方程两边同时乘以e
2
( l + 2 g )t
, 得到
e
2( g + l )t
d C (t ) dC (t ) [ + 2( g + l ) ] = 0 2 dt dt
2
e
2( g + l )t
d C (t ) dt
2
+ 2( g + l )e
2( g + l )t
\ F策动 = F1 cos W t + F2 sin W t
几处要点
• 使用余弦函数与正弦函数叠加，是为了使 策动力能取到不同的相位。
• 余弦函数与正弦函数周期相同，是为了使 策动力的最大值在任意一个周期内都为一 个定值。 • 在余弦函数与正弦函数周期一致的情况下， 策动力可以使用辅助角公式变为一个弦类 函数。
受迫振动中振幅和频率的讨论
关于受迫振动的微分方程
• 振子的受力情况： • 回复力、阻力、策动力 • 回复力：
F回复 = - kx
• 阻力：
dx f阻 = - m dt
策动力的讨论
• 一般情况下策动力需要周期性变化，因此， 我们可以用弦类函数去表示策动力 • 同时策动力一般是有稳定的最大值 • 我们看到在受迫振动中，策动力成为振子 运动的主要因素。所以策动力的方向应该 与位移方向相同。
所以，我们可以把“1”，变为一个与自 变量t有关的变常数C(t).
令x = C (t )e , 并代入方程，得
lt
dC (t ) l t dC (t ) [l e C (t ) + l e + le dt dt 2 l t d C (t ) lt l t dC (t ) +e ] + 2 g [ l e C ( t ) + e ] 2 dt dt 2 lt + w e C (t ) = 0
g 2 - w2 )t
+ C 2e
( - g + g 2 - w2 )t
C 1,C 2为两个与振子运动有关的常数
至于C 1, C 2究竟等于什么， 我们会在求解非齐次方程之后说明
如果g < w （阻尼振动）

2
那么l 1, l 2均为复数，
l1 = - gl2 = - g+
w - g i w - g i
2 n
- We +e
2 - iW t 2
- iW e dt
2
- iW t
dPn (t ) dt
- iW e
- iW t
dPn (t ) dt
- iW t
- iW t
d Pn (t )
+ 2g[- i W e
- iW t
- iW t
Pn (t ) + e )
dPn (t ) dt
]
+we
2 - iW t
2 iW t
d Pm (t ) dPm (t ) 2 e [ + 2( g + i W ) + ( W + 2 dt dt f1 f2 2 iW t 2i gW+ w )Pm (t )] = e ( + ) 2 2i
显然我们可以看到：
g + iW? 0且
得到m = 0
W + 2i gW+ w
2
2
0
l e + 2gl e + w e = 0 e (l + 2gl + w ) = 0
lt 2 2
2 lt
lt
2 lt
Qe > 0
lt
\ l + 2gl + w = 0
2
2
这就是这个二阶齐次线性常系数微分方程的 特征方程。我们用一元二次方程的求根公式 求解方程。
得l 1 = - g l2 = - g+
-
f2
- 2gW a2 ]i =
f1 2
+
f2 2
i
两个复数相等的条件是它们的实部 和虚部分别相等
得到方程组：
( w - W )a1 - 2gW b1 =
g 2 - w2 )t w2 - g 2 i )t
2 2
2
2
x = C 1e x = C 1e
(- g -
+ C 2e + C 2e
( - g + g 2 - w2 )t
(- g -
(- g + w2 - g 2 i )t
经过整理，可得：
x=e
- gt
(C 1e
- i w2 - g 2 t
± ib
- iW t
2
得到n = 0
Pn (t ) = a2 + b2i
dPn (t ) dt = 0
\
d Pn (t ) dt
2
2
= 0,
\ (- W - 2i gW+ w )( a 2 + b2i )=
2
2
f1
2 2i 2 2 2 2 \ [( w - W )a2 + 2gW b2 ] + [( w - W )b2
Pn (t ) = e
(
f1 2
-
f2 2i
d Pn (t ) dPn (t ) 2 e [ + 2( g i W ) + ( W 2 dt dt f1 f2 2 - iW t - 2i gW+ w )Pn (t )] = e ( + i ) 2 2 2 2 g - iW? 0且 W - 2i gW+ w 0
微分方程
dx m 2 = - kx - m + F1 cos W t + F2 sin W t dt dt d x F1 F2 m dx k + + x = cos W t + sin W t 2 m dt m m m dt
2
d x
2
这是一个二阶非齐次线性常系数微分方程
为了简化运算，我们做参数替换
dC (t ) = 0 dt
d 2( g + l )t dC (t ) \ (e )= 0 dt dt
两边积分，得到：
e
2( g + l )t
dC (t ) = C1 dt
dC (t ) - 2( g + l )t = C 1e dt