高中数学复习考点知识讲解教案34 不同函数増长的差异

高中数学复习考点知识讲解教案
不同函数增长的差异
(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第四章)
一、教学目标
1. 在信息技术的辅助下，了解指数函数、对数函数、一次函数的增长差异；
2. 通过图象和表格数形结合地体现各类函数间增长变化的差异，了解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义，提升对三类函数的认识；
3. 在认识函数增长差异的过程中，发展数学运算、逻辑推理和数学建模的素养.
二、教学重难点
1. 在信息技术的辅助下，直观了解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义；
2. 几种增长函数模型的应用.
三、教学过程
1.情境引入，复习回顾
问题1：在我们学习过的一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数中哪些函数在定义域上是增函数？
【预设的答案】
【设计意图】通过图像可以看到，一次函数、指数函数以及对数函数的增长方式存在很大的差异，为接下来研究这三类不同函数增长方式的差异做铺垫.
2.问题探究，学以致用
虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.
下面就来研究一次函数0,)(>+=k b kx x f ，指数函数)1()(>=a a x g x ，对数函数
)1(log )(>=a x x h a 在定义域内增长方式的差异.
探究一：
以函数x y 2=与 x y 2=为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异. 分析：(1) 在区间(-∞,0)上，指数函数x y 2=值恒大于0，一次函数x y 2=值恒小于0，所以我们重点研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异.
(2) 借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：
问题2：观察这两个函数图象及其增长方式，你有什么发现？
【预设的答案】
结论1：函数x y 2=与y=2x 有两个交点(1,2)和(2,4);
结论2：在区间(0,1)上，函数x y 2=的图象位于x y 2=之上;
结论3：在区间(1,2)上，函数x y 2=的图象位于x y 2=之下;
结论4：在区间(2,3)上，函数x y 2=的图象位于x y 2=之上.
问题3：请大家想象一下，取更大的值，在更大的范围内两个函数图象的关系?
【预设的答案】
随着自变量取值越来越大，函数2x y =的图象几乎与轴垂直，函数值快速增长，函数
的增长速度保持不变，和2x y =的增长相比几乎微不足道.
【设计意图】通过画出特殊的指数函数和幂函数的图形，观察归纳出两类函数增长的差异和特点，发展学生逻辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养.
小结：函数与2x
y =在[0,+∞)上增长快慢的不同如下： x x x y 2=x y 2
=
虽然函数与2x y =在[0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.
随着x 的增大，2x
y =的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度.尽管在x 的一定范围内，22x x <，但由于2x
y =的增长最终会快于x y 2=的增长，因此，总会存在一个0x ，当0x x >时，恒有22x x <. 推广：一般地指数函数()1x y a a =>与一次函数)0(>=k kx y 的增长都与上述类似.
即使k 值远远大于a 值，指数函数()1x y a
a =>虽然有一段区间会小于)0(>=k kx y ，但总会存在一个0x ，当0x x >时，()1x y a a =>的增长速度会大大超过)0(>=k kx y 的增长速度.
例1.三个变量随变量变化的数据如下表：
其中关于呈指数增长的变量是2y .
【设计意图】通过练习巩固所学知识，巩固对函数增长差异性的认识，增强学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理的核心素养.
探究二：
以函数与为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异. 分析：(1) 在区间(-∞,0)上，对数函数没意义，一次函数值恒小于0，所以研究
x y 2=x y 2=321,,y y y x x x y lg =x y 10
1=x y lg
=
在区间(0,+∞)上它们的增长差异.
(2) 借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：
问题3：观察这两个函数图象及其增长方式，你有什么发现？
【预设的答案】虽然函数与在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异. 在(0,+∞)上增长速度不变，在(0,+∞)上的增长速度在变化.随着x 的增大，的图象离x 轴越来越远，而函数的图象越来越平缓，就像与x 轴平行一样. 问题4：将lg y x =放大1000倍，将函数1000lg y x =与比较，仍有上面规律吗？ 【预设的答案】
x y lg =x y 10
1=x y 10
1=x y lg =x y 10
1=
x y lg =x y 10
1
=
【设计意图】通过画出特殊的对数函数和幂函数的图形，观察归纳出两类函数增长的差异和特点，发展学生逻辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养.
推广：一般地，虽然对数函数()log 1a y x a =>与一次函数 ()0y kx k =>在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.
随着x 的增大，一次函数()0y kx k =>保持固定的增长速度，而对数函数()log 1a y x a =>的增长速度越来越慢.
不论a 值比k 值大多少，在一定范围内，()log 1a x a >可能会大于kx ，但由于()log 1a x a >的增长会慢于kx 的增长，因此总存在一个0x ，当0x x >时，恒有log a x kx <.
例2．函数()()lg ,0.31f x x g x x ==-的图象如图所示．
（1）试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；
（2）比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对()(),f x g x 的大小进行比较).
【预设的答案】（1）1C 对应的函数为13.0)(-=x x g ，2C 对应的函数为x x f lg )(=.
（2）当1x x <时，)()(x f x g >；当21x x x <<时，)()(x g x f >；
当时，；当或时，．
【设计意图】通过练习巩固所学知识，巩固对函数增长差异性的认识，增强学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理的核心素养.
探究三：
类比上述过程，
2x x >)()(x f x g >1x x =2x x =)()(x g x f =
（１）画出一次函数2y x =，对数函数lg y x =和指数函数2x y =的图象，并比较它们的增长差异；
小结：虽然函数2y x =，函数lg y x =与2x y =在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异.
2y x =在上增长速度不变，函数lg y x =与2x y =在上的增长速度在变化. 函数2x y =的图象越来越陡，就像与x 轴垂直一样；函数lg y x =的图象越来越平缓，就像与x 轴平行一样.
（2）试着概括一次函数()0y kx k =>，对数函数()log 1a y x a =>和指数函数()1x y b b =>的增
长差异；
推广：一般地，虽然一次函数()0y kx k =>，对数函数()log 1
a y x a =>和指数函数()1x y
b b =>在上都是单调递增，但它们的增长速度不同.
随着x 的增大，一次函数()0y kx k =>保持固定的增长速度，而指数函数()1x y b b =>的增
长速度越来越快；对数函数()log 1a y x a =>的增长速度越来越慢.
不论b 值比k 值小多少，在一定范围内，x b 可能会小于kx ，但由于x b 的增长会快于kx 的增长，因此总存在一个0x ，当0x x >时，恒有x b kx >；
),0(+∞),0(+∞),0(+∞
同样，不论a 值比k 值大多少，在一定范围内，()log 1a x a >可能会大于kx ，但由于()log 1a x a >的增长会慢于kx 的增长，因此总存在一个0x ，当0x x >时，恒有log a x kx <.
（3）讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义．
直线上升：增长速度不变，是一个固定的值；
对数增长：增长速度越来越慢，图象越来越平缓，就像与x 轴平行一样；
指数爆炸：增长速度越来越快，以相同倍数增加，图象越来越陡，最终就像与x 轴垂直一样.
例3.下列函数中随x 的增大而增大且速度最快的是（ ）.
A. x y e =
B.ln y x =
C. 2y x =
D. x y e -=
【预设的答案】结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A 正确.
【设计意图】通过练习巩固所学知识，巩固对函数增长差异性的认识，增强学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理的核心素养。

例 4. 函数()y f x =的图象如图所示，则()y f x =可能是
（ ）.
A.11,(0,)y x x -=-∈+∞
B.31(),(0,)22
x y x =-∈+∞ C.x y ln = D.1,(0,)y x x =-∈+∞
【预设的答案】根据1)3(,1)2(><f f 代入验证可知C 正确.
【设计意图】通过练习巩固所学知识，巩固对函数增长差异性的认识，增强学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理的核心素养.
3. 课堂小结 【设计意图】学生根据课堂学习，自主总结知识要点及运用的思想方法并注意总结自己在学习中的易错点.。