2020年北京丰台区丰台第一中学高一数学理上学期期末试题含解析

2020年北京丰台区丰台第一中学高一数学理上学期期
末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 等差数列中，，则数列的公差
为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
B
2. 点到点的距离相等，则x的值为
A．B．1 C．D．2 参考答案：
B
略
3. 符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）
A．a=1, b=2 , c=3 B．a=1,
b=,∠A=30°
C．a=1, b=2, ∠A=100° D．b=c=1,
∠B=45°
参考答案：
D
4. 一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为，则球的体积为
A. B. C.
D. 8
参考答案：
A
5. 已知函数f(x)对任意实数x，y恒有且当，．给出下列四个结论：
①f(0)=0；②f(x)为偶函数；
③f(x)为R上减函数；④f(x)为R上增函数．
其中正确的结论是( )
A．①③B．①④C．②③D．②④
参考答案：
A
6. 不等式的解集为（）
A. 或
B. 或
C. D.
参考答案：
D
【分析】
根据不含参数的一元二次不等式的解法，可直接求出结果.
【详解】由得，解得.
故选D
7. 已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若，则
A .M B.N C.I
D.
参考答案：
A
8. 若函数则（）
A．B．2 C．1 D．0
参考答案：
B
9. 如下图是函数在一个周期内的图像，、
分别是其最高点、最低点，轴，且矩形的面积为．则的值为( )
(A) . (B) . (C) . (D) .
参考答案：
B
10. （5分）设集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，则集合A∪B=（）
A．{1，3，1，2，4，5} B．{1} C．{1，2，3，4，5} D．
{2，3，4，5}
参考答案：
C
考点：并集及其运算．
专题：计算题．
分析：集合A的所有元素和集合B的所有元素合并到一起，构成集合A∪B，由此利用集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，能求出集合A∪B．
解答：∵集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，
∴集合A∪B={1，2，3，4，5}．
故选C．
点评：本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数，则f（x）的单调增区间为，
的解集为．
参考答案：
（﹣∞，1],（1，5﹣）∪（log4，1].
【考点】分段函数的应用；函数的单调性及单调区间．
【分析】根据绝对值的性质将函数f（x）进行化简，结合分段函数的表达式进行判断求解即可．
【解答】解：∵函数y=5﹣x﹣4x为减函数，且x=1时，y=5﹣x﹣4x=5﹣1﹣4=0，
∴当x＞1时，5﹣x﹣4x＜0，此时f（x）=+=5﹣x为减函数，
当x≤1时，5﹣x﹣4x≥0，此时f（x）=﹣=4x为增函数，
即函数f（x）的单调递增区间为为（﹣∞，1]，
当x＞1时，由5﹣x＞得x＜5﹣，此时1＜x＜5﹣，
当x≤1时，由4x＞得x＞log4，此时log4＜x≤1，
即不等式的解集为（1，5﹣）∪（log4，1]，
故答案为：（﹣∞，1]，（1，5﹣）∪（log4，1]．
12. 如图，在一个半径为3，圆心角为的扇形内画一个内切圆，若向扇形内任投一点，则该点落在该内切圆内的概率是．
参考答案：
13. 集合A={lg2，lg5}，B={a，b}，若A=B，则的值为．
参考答案：
【考点】集合的相等．
【专题】集合思想；综合法；集合．
【分析】根据集合的相等求出a+b=1，代入代数式，从而求出代数式的值．【解答】解：集合A={lg2，lg5}，B={a，b}，
若A=B，则a+b=lg2+lg5=lg10=1，
===，
故答案为：．
【点评】本题考查了相等集合的定义，考查对数的运算性质，考查代数式的变形，是一道基础题．
14. 已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+2，那么不等式2f （x）﹣1＜0的解集是．
参考答案：
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用．
【分析】求出f（x）的解析式，带入不等式解出．
【解答】解：当x＞0时，﹣x＜0，
∴f（﹣x）=﹣x+2，
∵y=f（x）是奇函数，
∴f（x）=﹣f（﹣x）=x﹣2．
∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0．
∴f（x）=，
（1）当x＞0时，2（x﹣2）﹣1＜0，
解得0＜x＜．
（2）当x=0时，﹣1＜0，恒成立．
（3）当x＜0时，2（x+2）﹣1＜0，
解得x＜﹣．
综上所述：2f（x）﹣1＜0的解集是．
故答案为．
【点评】本题考查了函数单调性与奇偶性，属于中档题．
15. 函数f（x）=a x﹣1+2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点__________．
参考答案：
（1，3）
考点：指数函数的图像与性质．
专题：计算题．
分析：根据所有的指数函数过（0，1）点，函数f（x）=a x﹣1+2当指数x﹣1=0即x=1时，y=3，得到函数的图象过（1，3）
解答：解：根据指数函数过（0，1）点，
∴函数f（x）=a x﹣1+2当指数x﹣1=0即x=1时，y=3
∴函数的图象过（1，3）
故答案为：（1，3）．
点评：本题考查指数函数的图象和性质，本题解题的关键是知道指数函数过一个定点，与底数是什么没有关系
16. 已知函数是(－∞,+∞)上的增函数，则实数a的取值范围为_____．
参考答案：
【分析】
因为函数是上的增函数，所以当，时是增函数，当，也是增函数，且
，从而可得答案。

【详解】因为函数是上的增函数，所以当
，时是增函数，即且；
当，也是增函数，所以即（舍）
或，解得且
因为是上的增函数，所以即，解得，
综上
【点睛】本题以分段函数为背景考查函数的奇偶性，解题的关键是既要在整个定义域上是增函数，也要在各段上是增函数且
17. （5分）△ABC是以A为钝角的三角形，且，则m 的取值范围是．
参考答案：
（﹣3，1）∪（1，2）∪（2，+∞）
考点：平面向量数量积的运算．
专题：计算题；平面向量及应用．
分析：根据角A是钝角，可得数量积，结合坐标运算解得m＞﹣3；又因为向量是不共线的向量，可得1×（﹣2）≠（m﹣3）m，解之得m≠1且m≠2．两者相结合即可得到本题的答案．
解答：∵，且A为钝角
∴=1×（m﹣3）+m×（﹣2）＜0，解之得m＞﹣3
又∵A、B、C三点不共线，得向量是不共线的向量
∴1×（﹣2）≠（m﹣3）m，即m2﹣3m+2≠0，解之得m≠1且m≠2
因此，实数m的取值范围是（﹣3，1）∪（1，2）∪（2，+∞）
故答案为（﹣3，1）∪（1，2）∪（2，+∞）
点评：本题给出向量的坐标含有参数m，在它们夹钝角的情况下求参数m的取值范围．着重考查了向量平行的条件、向量数量积的坐标运算公式等知识，属于基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数的定义域是，且满足,,如果对于
,都有,
（1）求；
（2）解不等式。

参考答案：
解析：（1）令，则
（2）
，
则19. 若二次函数的图象与x轴交于
，且函数的最大值为，求这个二次函数的表达式。

参考答案：
解析：设是的两根，
的图象与x轴交于，
，
即有
又函数有最在值为9，故函数过（1，9），
20. 某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），
当年产量不足80千件时，C（x）=（万元）．当年产量不小于80千件时，C
（x）=51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
参考答案：
【考点】函数最值的应用．
【分析】（Ⅰ）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C（x）=
（万元），根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C
（x）=51x+，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；
（Ⅱ）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵每件商品售价为0.05万元，
∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，
①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，
∴L（x）=（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250=+40x﹣250；
②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，
∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．
综合①②可得，L（x）=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
①当0＜x＜80时，L（x）=+40x﹣250=﹣，
∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；
②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣2=1200﹣200=1000，
当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L已知函数f（x）=Asin
（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的对称轴方程；
（3）当时，方程f（x）=2a﹣3有两个不等的实根x1，x2，求实数a的取值范围，并求此时x1+x2的值．
【答案】
【解析】
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】（1）由图知，A=2，由T=π，可求得ω，由2sin（2×+φ）=2可求得φ；
（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求得g（x）=2sin（﹣），由正弦函数的性质即可求得g（x）的对称轴方程；
（3）由x∈[0，]?2x+∈[，]，方程f（x）=2a﹣3有两个不等实根时，y=f （x）的图象与直线y=2a﹣3有两个不同的交点，从而可求得a的取值范围；
（法一）当x∈[0，]，时，利用f（x1）=f（x2），即可求得x1+x2的值；
（法二）令2x+=+kπ，可求得x=+，（k∈Z），利用f（x）的对称轴方程
为x=+即可求得x1+x2的值．
【解答】解：（1）由图知，A=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
T=π，ω===2﹣﹣﹣﹣﹣
由2sin（2×+φ）=2，即sin（+φ）=1，故+φ=+2kπ，k∈Z，
所以φ=+2kπ，k∈Z，
又φ∈（0，），所以φ=﹣﹣﹣
故f（x）=2sin（2x+）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）将f（x）的图象向右平移个单位后，得到f（x﹣）的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，
纵坐标不变，得到f（﹣）的图象，
所以g（x）=f（﹣）=2sin[2（﹣）+）]=2sin（﹣）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
令﹣=+kπ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
则x=+2kπ（k∈Z），所以g（x）的对称轴方程为x=+2kπ（k∈Z），..﹣
（3）∵x∈[0，]，
∴2x+∈[，]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴当方程f（x）=2a﹣3有两个不等实根时，y=f（x）的图象与直线y=2a﹣3有两个不同的交点
∴1≤2a﹣3＜2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴2≤a＜﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（法一）当x∈[0，]，时，f（x1）=f（x2），
所以（2x1+）+（2x2+）=π，
所以x1+x2=；
（法二）令2x+=+kπ，则x=+，（k∈Z）
所以f（x）的对称轴方程为x=+，（k∈Z）
又∵x∈[0，]，
∴=，所以x1+x2=；﹣﹣
21. 《中华人民共和国个人所得税》规定，公民月工资、薪金所得不超过3500元的部分不纳税，超过3500元的部分为全月纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：
(1)已知张先生的月工资、薪金所得为10000元，问他当月应缴纳多少个人所得税？
(2)设王先生的月工资、薪金所得为x元，当月应缴纳个人所得税为y元，写出y与x的函数关系式；
（3）已知王先生一月份应缴纳个人所得税为303元，那么他当月的个工资、薪金所得为多少？
参考答案：
（1）应交税为
（2）与的函数关系式为：
（3）李先生一月份缴纳个人所得税为303元，故必有，
从而
解得：元
所以，王先生当月的工资、薪金所得为7580元。

22. 某城市的夏季室外温度y（℃）的波动近似地按照规则，其中t（h）是从某日0点开始计算的时间，且t≤24．
（1）若在t0（h）（t0≤6）时的该城市室外温度为22°C，求在t0+8（h）时的城市室外温度；
（2）某名运动员要在这个时候到该城市参加一项比赛，比赛在当天的10时至16时进行，而该运动员一旦到室外温度超过36°C的地方就会影响正常发挥，试问该运动员会不会因为气温影响而不能正常发挥？
参考答案：
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．
【专题】计算题；函数思想；方程思想；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）利用已知条件求出函数的解析式，然后求解t0+8（h）时的城市室外温度．
（2）通过自变量的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解即可．
【解答】解：=，…
（1）当t=t0时y=22（t0≤6），，∴t0=2，
当t=t0+8=10时，，
∴在t0+8（h）时的城市室外温度为22°C；…
（2）由题意得t∈[10，16]，，
，…．
∴，…
即t∈[10，16]时，，
比较与36的大小，即比较与9的大小，而＜9，
∴该运动员不会因为气温影响而不能正常发挥…
【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，三角函数的最值，考查计算能力．。