青岛胶州市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题含答案

2019—2020学年度第二学期期末学业水平检测
高二数学
本试卷4页,22小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置;
2．作答选择题时：选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；非选择题必须用黑色字迹的专用签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效；
3．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交．
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．“{1,2}
m∈"是“ln1
m<”成立的( ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条
件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
2．函数1()lg 2
x f x x =-的零点所在区间为（
）
A ． (0,1)
B ．
(1,2)
C ．
(2,3)
D ．
(3,4)
3．已知数列{(1)(21)}n
n -+的前n 项和为n S ，*
N n ∈，则11
S
=（ ）
A ． 13-
B ． 12-
C ． 11-
D ．
10-
4．若R x ∃∈,使得(2)a x x ≤-成立，则实数a 的最大值为( ） A
．B ．2
C ．1
D ．0
5．已知cos (0)
()(1)1(0)
x
x f x f x x π≤⎧=⎨
-+>⎩，则44()()33f f +-的值为（
）
A ．1-
B ．12
-
C ．0
D ．1
6．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）
A ．sin ||
()2cos x f x x =+
B ．sin ln ||
()2cos x x f x x ⋅=+
C ．cos ln ||
()2cos x x f x x ⋅=+
D ．cos ()x
f x x
=
7．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生
参加环保知识竞赛,得分（10分制）的频数分布表如下：
设得分的中位数e
m ,众数0
m ，平均数x ，下列关系正确的是（ ）
A ．0e
m
m x == B ．0e
m
m x =< C ．0e
m
m x << D ．0
e m
m x <<
8．已知函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x +是偶函数，(1)f x -是奇函数，
()f x 在[1,1]-上单调递增，则(
）
A ．(0)(2020)(2019)f f f >>
B ．(0)(2019)(2020)f f f >>
C ．(2020)(2019)(0)f f f >>
D ．(2020)(0)(2019)f f f >>
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。

全部选对的得5分,部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．设全集R U =，集合2
{|,R}A y y x x -==∈,集合2{|20,R}B x x x x =+-<∈，则
（ ） A ．(0,1)A B =
B ．(2,)A B =-+∞
C ． R ()(0,)A
B =+∞ D ． R ()R A
B =
10．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ,则（ ）
A ．3||5
z =
B ．12i 5
z +=-
C ．复数z 的实部为1-
D ．复数z 对应复平面上的点在第二象
限
11．若函数2()x x f x e e -=-,则下述正确的是（ ） A ．)(x f 在(,)-∞+∞单调递增 B ．)(x f 的值域为(0,)+∞ C ．)(x f y =的图象关于直线1x =对称
D ．)(x f y =的图象关于点
(1,0)对称
12．若1,01a b c >><<,则( ）
A ．c c
b a
>
B ．c c
ba ab
<
C ．c c b a
log log
>
D ．c b c a a b
log log
<
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13．已知直线y kx =与函数()ln f x x =的图象相切，则k = ． 14．已知数列
{}
n a 的前
n
项和为
n
S ,
11
a =,
1n n
a S +=，
*
N n ∈，则
n S =
．
15．若2x =-是函数2
1()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值
为 ．
16．一袋中装有6个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2
个球，至少得到1个白球的概率是45
，则袋中白球的个数
为 ；从袋中任意摸出2个球，则摸到白球的个数X 的数学期望为 ．（本题第一个空2分,第二个空3分）
四、解答题：共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（10分）
在①4
14S
=-,②515S =-,③615S =-三个条件中任选两个,补充到下面
问题中,并解答．
已知等差数列
{}
n a 的前
n
项和为
n
S ,满
足： ,*
N n ∈．
（1)求n
S 的最小值;
（2)设数列67
1
{
}n n a a ++的前n 项和n T ，证明：1n T <．
18．（12分）
某足球运动员进行射门训练,若打进球门算成功，否则算失败．已知某天该球员射门成功次数与射门距离的统计数据如下：
（1）请问
是否有90%
的把
握认为
该球员射门成功与射门距离是否超过30米有关？
参考公式及数据：d c b a n d b c a d c b a bc ad n K +++=++++-=,)
)()()(()(2
2
．
（2）当该球员距离球门30米射门时，设射门角(射门点与球场底线
中点的连线和底线所成的锐角或直角）为([0,])2
πθθ∈，其射门成功率为2+3
()cos sin 4
f θθθθθ=+⋅-,求该球员射门成功率最高时射门
角θ的值．
19．（12分）
已知数列{}n
a 的前n 项和为n S ，2n
n S
a n +=+，*N n ∈．
（1）证明：数列{1}n
a
-为等比数列;
(2)若数列{}n
b 满足：11n
n n a
b b +=-+，11b =，证明：2n b <．
20．（12分）
已知函数
2
()(1)12
x
ax f x x e =--+，R a ∈， 2.718
e =为自然对数的底数．
(1)若1a =，求()f x 的零点； (2）讨论()f x 的单调性；
(3）当(,1]x ∈-∞时，()0f x ≤，求实数a 的取值范围．
21．（12分）
探索浩瀚宇宙是全人类的共同梦想，我国广大科技工作者、航天工作者为推动世界航天事业发展付出了艰辛的努力,为人类和平利用太空、推动构建人类命运共同体贡献了中国智慧、中国方案、中国力量．
(1）某公司试生产一种航空零件，在生产过程中，当每小时次品数
超过90件时,产品的次品率会大幅度增加,为检测公司的试生产能力，同时尽可能控制不合格品总量,抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，已知在x (单位：百件）件产品中，得到次品数量y （单位：件）的情况汇总如下表所示，
且y （单位：件）与x （单位：百件）线性相关：
根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过90件,请通过计算分析,按照公司的现有生产技术设备情况，判断可否安排一小时试生产10000件的任务？
（2）“战神”太空空间站工作人员需走出太空站外完成某项试验任务，每次只派一个人出去，且
每个人只派出一次，工作时间不超过10分钟,如果有人10分钟内不能完成任务则撤回,再派下一个人．现在一共有n 个人可派,工作人员1
2
3
,,,
,n a a a a 各自在10分钟内能完成任务的概率分别依次为
123,,,
,n p p p p ，且1230.5n p p p p ===
==,*N n ∈，各人能否完成任务相互
独立，派出工作人员顺序随机,记派出工作人员的人数为X ，
X 的数学期望为()E X ，证明:()2E X <．
（参考公式:用最小二乘法求线性回归方程ˆˆy
bx a =+的系数公式 1
1
2
2
2
1
1
()()
ˆ=
()
n n
i i
i
i
i i n
n
i
i
i i x y nx y x x y y b
x
nx x x ====-⋅--=--∑∑∑∑；ˆa y bx
=-．) （参考数据:5
1
5220143524403550404530i i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，
5
2
222221
5203540505750i
i x
==++++=∑．）
22．（12分）
已知函数()ln (1)1x a
f x e x x a x -=----，R a ∈， 2.718e =为自然对数的底
数．
(1）若1=a ，证明：(1)()0x f x -≥； （2）讨论)(x f 的极值点个数．
2019-2020学年度第二学期期末学业水平检测高二数学参考答案 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

1—8: A B A C D B D B
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 9：AB ； 10：BD ； 11：AD ； 12：ACD
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13。

1e
; 14. 1
2n -； 15。

1-； 16。

（1）3；（2)1；
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17。

(10分）
解：（1)若选择②③;
由题知：05
6
6
=-=S S a ············ 1分
又因为,1552
)
(53515-==+=
a a a S 所以33-=a ······ 2分
所以1,3336==-=d a a d ············· 3分
所以6)6(6-=-+=n d n a a n ··········· 。

4分 所以 <<=<<<<765210a a a a a ， ········ 5分 所以155
6
-==≥S S S n
············· 6分 若选择①②；
由题知:14
55-=-=S S a ············· 1分
又因为,1552
)
(53515
-==+=
a a a S
所以33-=a ······ 2分
所以1,2235==-=d a a d ············· 3分
所以6)3(3-=-+=n d n a a n ··········· 。

4分 所以 <<=<<<<765210a a a a a ， ········ 5分 所以155
6
-==≥S S S n
············· 6分 若选择①③；
由题知：152)
(6616
-=+=
a a S
，所以552161-=+=+d a a a · 1分 由题知：142
)(4414-=+=a a S ,所以732141-=+=+d a a a ·· 2分
所以1,51
=-=d a ，6-=n a n ··········· 4分 所以 <<=<<<<765210a a a a a ， ········ 5分 所以155
6-==≥S S S n 。

············ 6分
（2）因为6-=n a n ，所以
11
1)1(1176+-=+=++n n n n a a n n ··
8分 所以111
111131212111<+-=+-++-+-=n n n T n . (10)
分
18。

（12分）
解：(1）由题知：2
2
602616144)=10.8 6.63540203030
k ⨯-⨯=
>⨯⨯⨯（ ·· 3分
所以有99%的把握认为该球员射门成功与射门距离是否超过30米有关 ··················· 4分 （2）由题知：1()sin sin cos (cos )2
2
f θθθθθθθθ'=-++-=- · 7分
因为()0f θ'=，得3
πθ= ············ 8分
所以当(0,)3
πθ∈时，()0f θ'>;当(,)32
ππ
θ∈时，()0f θ'< · 9分 所以()f θ在(0,)3π上单调递增；在(,)32ππ
上单调递减 10分 所以()()3f f πθ≤，即球员射门成功率最高时射门角3
π
θ=12分
19。

（12分）
解: （1）由题知：1
1
2,1(2)n
n
n n S a n S a n n --+=++=+≥ ·· 1分 两式相减得1
21(2)n n a a n --=≥ ·········· 2分 所以1
2(1)1(2)n n a a n --=-≥，111(2)12
n
n a n a --=≥- ······ 4分
又因为113S a +=，所以132
a = ·········· 5分
因为11102
a -=≠， 所以数列{1}n a -是首项为12，公比为1
2
的等比数列 6分
（2）由(1）知:1
12n n
a -=,得112n n a =+ ······· 7分
所以1112n n n n a b b +-=-= ············· 8分
所以12132121111
()()()1222
n n n n b b b b b b b b --=+-+-++-=++++， 10分
所以1
1222
n n b -=-< ············· 12分
20。

（12分） 解：（1）若
1
a =，则
2
()(1)1
2
x
x f x x e =--+，
()(1)
x x f x xe x x e '=-=- ···················· 1分
因为(0)0f '=，当(,0)x ∈-∞时，()0f x '>；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>； 所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增； ······· 2分 又因为(0)0f =，所以()f x 的零点为0x = ····· 3分 (2）由题意知，因为()()x
f x x e a '=- ······· 4分 ①若0a ≤，由()0f x '=得：0x =
当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,()f x 在(,0)-∞上单调递减；
当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>,()f x 在(0,)+∞上单调递增; · 5分 ②若01a <<，由()0f x '=得：0x =或ln x a =，且ln 0a <
当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '>,()f x 在(,ln )a -∞上单调递增； 当(ln ,0)x a ∈时,()0f x '<，()f x 在(ln ,0)a 上单调递减；
当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增；6分 ③若1a =，由(1)知:()f x 在(,)-∞+∞上单调递增 ··· 7分 ④若1a >，由()0f x '=得：0x =或ln x a =,且ln 0a >
当(,0)x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在(,0)-∞上单调递增； 当(0,ln )x a ∈时,()0f x '<,()f x 在(0,ln )a 上单调递减;
当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增;8分
综上，当0a ≤时，()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增
当01a <<时，()f x 在(,ln )a -∞，(0,)+∞上单调递增；在(ln ,0)a 上单调递减；
当1a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增;
当1a >时，()f x 在(,0)-∞,(ln ,)a +∞上单调递增；在(0,ln )a 上单调递减 （3)由（2）知，
当0a ≤时，(1)(0)0f f ->=，不满足题意
当01a <<时,ln 0a <，(ln )(0)0f a f >=，不满足题意 当1a =时，(1)(0)0f f >=，不满足题意
所以1a > ················· 9分
当1a e <<时，ln 1a <，()f x 在(,0)-∞上单调递增；在(0,ln )a 上单调递减;
在(ln ,1]a 上单调递增； 所以
()0f x ≤对(,1]x ∈-∞恒成立⇔(0)00(1)102
f a
f =≤⎧⎪
⎨=-≤⎪⎩ 所以2a e ≤< ··············· 10分
当a e ≥时，ln 1a >，()f x 在(,0)-∞上单调递增;在(0,1)上单调递减； 所以()(0)00f x f ≤=≤，所以a e ≥ ········ 11分 综上知：2a ≥ ·············· 12分
21。

(12分）
解：（1）由已知可得：520354050305
x ++++==；
214243540
235
y ++++=
=； (2)
分
又因为5
2222221
5203540505750i
i x
==++++=∑;
5
1
5220143524403550404530i i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑；
由回归直线的系数公式知：
5
1
5
222222
2
2
1
54530530231080
ˆ0.864(520354050)5301250
5i i
i i
i x y x y
b
x
x
==-⋅-⨯⨯==
==++++-⨯-∑∑ · 3分 ˆ230.86430 2.92a y bx
=-=-⨯=- ··········· 4分
所以ˆˆ0.864 2.92y
bx a x =+=- 当100x =（百件）时，864100 2.92083.4890.y ⨯-=<=，符合有关要求
所以按照公司的现有生产技术设备情况，可以安排一小时试生产10000件的任务. ·············· 5分 （2)由题意知：1,2,3,,X n =，
1111
()(1)222
k k
P X k -==-⨯=，1,2,3,,1k n =-； ······ 7分
1111
()(1)22
n n P X n --==-= ············· 8分 所以2321123221
() (22222)
n n n n E X ----=+++++ ········ 9分
2341()123221
(222222)
n n E X n n ---=+++++ 两式相减得:2321()1
111121
...2222222n n n E X n n --+-=+++++- · 10分 211111...2222n n -=++++ 1
12
n =- ···· 11分 故1
1()222n E X -=-< ············· 12分
22.（12分）
解:(1）法一：
若1a =,则1
()ln 1x f x e x x -=--，1
()ln 1x f x e x -'=--(0)x > ·· 1分 令1
()x g x e x -=-，则1()1x g x e -'=-
当(0,1)x ∈时，()0g x '<，)(x g 在(0,1)上单调递减;
当(1,)x ∈+∞时,()0g x '>，)(x g 在(1,)+∞上单调递增； · 2分 因此()(1)0g x g ≥=，即1
x e x -≥；也有1ln (0)x x x -≥> ·· 3分 所以当1a =时，1
()ln 1(1)10x f x e x x x -'=--≥---= ··· 4分
所以()f x 在(0)+∞，上单调递增; ········· 5分
又因为(1)0f =，
所以,当(0,1)x ∈时，()0f x <;当(1,)x ∈+∞时，()0f x >；
所以(1)()0x f x -≥ ·············· 6分 法二：
若1a =,则1()ln 1x f x e x x -=--，1
()ln 1x f x e x -'=--(0)x > ·· 1分 令1()()ln 1x m x f x e x -'==--,则1
1()x m x e x
-'=-
令1
1()()x n x m x e
x -'==-
，则121
()+0x n x e x
-'=> 所以()m x '在(0)+∞，上单调递增 ········· 3分
又因为(1)0m '=
所以当(0,1)x ∈时，()0m x '<，()m x 在(0,1)上单调递减;
当(1,)x ∈+∞时,()0m x '>，()m x 在(1,)+∞上单调递增；
因此()(1)0m x m ≥=，即()0f x '≥对(0,)x ∈+∞恒成立 所以()f x 在(0)+∞，上单调递增 ········· 5分 又因为(1)0f =，
所以，当(0,1)x ∈时,()0f x <;当(1,)x ∈+∞时，()0f x >；
所以(1)()0x f x -≥ ·············· 6分 (2）由题意知()ln x a f x e x a -'=--(0)x > 令()()h x f x '=,则1()x a
h x e x
-'=-
当1a ≤时,1
1
()()ln ln ln 10x a
x x h x f x e x a e x a e x ---'==--≥--≥--≥ 所以()f x 在(0)+∞，上单调递增，()f x 无极值点; ··
7分 当1a >时,11(1)10,()10a
h e h a a
-''=-<=->,且()h x '在(0)+∞，
上单调递增 故存在0(1
,)x a ∈满足000
1
()0x a h x e x -'=-= 因此0000
1
ln x a
e
a x x x -=
=+； ············
8分
当0(0,)x x ∈时,()0h x '<,所以()h x 在0
(0,)x 上单调递减;
当0
(,)x x ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 在0
(,)x +∞上单调递增； 所以00
00
1()()ln 2ln x a
h x h x e x a x x x -≥=--=-- ······ 9分
再令0
00001()2ln ,(1,)x x x x a x ϕ=
--∈，0200
12
()10x x x ϕ'=---< 所以0
()x ϕ在(1,)a 上单调递减且()(1)0a ϕϕ<=，即0
()0h x <10分
因为()0a a
e a
h e e ---=>，又知1
x e x -≥，1ln (0)x x x -≥>
所以2(3)ln321ln31ln ln32ln30a
h a e a a a a a a a =-->+--=+-->->
所以存在10(,)a
x e x -∈，20(,3)x x a ∈满足12
()()0h x h x == · 11分 所以当1(0,)x x ∈时,()()0f x h x '=>，()f x 在1
(0,)x 上单调递增；
当12(,)x x x ∈时，()()0f x h x '=<，()f x 在12
(,)x x 上单调递减； 当2(,)x x ∈+∞时，()()0f x h x '=>,()f x 在2
(,)x +∞上单调递增；
所以,当1a >时， ()f x 存在两个极值点12
,x x 综上可知：当1a ≤时，()f x 不存在极值点；
当1a >时，()f x 存在两个极值点 ·· 12分。