湖南衡阳市2015届高三第二次联考数学(文)试题 Word版含答案[数理化网]

湖南衡阳市2015届高三第二次联考数学（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．）1、命题:p R x ∀∈，220x ax a ++≥；命题:q R x ∃∈，sin cos 2x x +=，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨C ．()p q ⌝∨D ．()()p q ⌝∧⌝ 2、设复数1z i =--（i 为虚数单位），z 的共轭复数为z ，则2zz-等于（ ） A ．12i -- B ．2i -+ C ．12i -+ D ．12i +3、甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 如下表：则这四位同学的试验结果能体现出A 、B 两变量有更强的线性相关性的是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 4、下列函数中，图象的一部分如图1所示的是（ ）A ．sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭5、已知等差数列{}n a 满足23a =，117n a -=（2n ≥），100n S =，则n 的值为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．116、在三棱锥CD A -B 中，侧棱AB 、C A 、D A 两两垂直，并且C ∆AB 、CD ∆A 、D ∆A B 的面积）A ．2πB ．6πC ．D ．24π7、如图2所示是用模拟方法估计圆周率值的程序框图，P 表示估计的结果，则图中空白框内应填入（ ）A ．1000M P =B ．1000P =M C ．41000M P = D ．10004P =M8、已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）与抛物线22y px =（0p >）有一个共同的焦点F ，点M是双曲线与抛物线的一个交点，若5F 4p M =，则此双曲线的离心率等于（ ） A ．2 B ．3 CD9、下列不等式对任意的()0,x ∈+∞恒成立的是（ ）A ．sin 1x x >-+B ．20x x -> C ．()ln 1x x >+ D ．xe ex >10、已知函数()()()2014sin 01log 1x x f x x x π≤≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若a 、b 、c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是（ ）A ．()1,2014B ．()1,2015C ．()2,2015D ．[]2,2015 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．） 11、若集合{}0,1,2,3A =，{}1,2,4B =，则集合AB 的子集有 个．12、已知曲线C 的极坐标方程为2ρ=（0ρ>，02θπ≤<），曲线C 在点2,4π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线为l ，若以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则l 的直角坐标方程为 ． 13、已知C ∆AB 中，点A 、B 、C 的坐标依次是()2,1A -、()3,2B 、()C 3,1--，C B 边上的高为D A ，则D A 的坐标是 ． 14、若x ，y 满足022x y x y -+≤⎧⎨-+≥⎩，则()12log c x y =+的最大值为 ．15、若对任意的D x ∈，均有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则称函数()f x 为函数()1f x 到函数()2f x 在区间D 上的“折中函数”．已知函数()()11f x k x =--，()0g x =，()()1ln h x x x =+，且()f x 是()g x 到()h x 在区间[]1,2e 上的“折中函数”，则实数k 的值构成的集合是 ．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（本小题满分12分）如图3，某污水处理厂要在一正方形污水处理池CD AB 内修建一个三角形隔离区以投放净化物质，其形状为三角形Q AP ，其中P 位于边C B 上，Q 位于边CD 上．已知20AB =米，Q 6π∠PA =，设θ∠PAB =，记()CD Q fθAB =∆PA 正方形面积面积，当()f θ越大，则污水净化效果越好．()1求()f θ关于θ的函数解析式，并求定义域； ()2求()f θ的最大值，并指出等号成立条件？17、（本小题满分12分）某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽数之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到资料如下表：()1从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m ，n ，求事件“m ，n 均不小于25”的概率；()2请根据3月2日至3月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； ()3现选取3月1日与3月5日的两组数据作为检验数据，若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问()2中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：回归直线的方程是ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆni ii nii x y n x yb xn x ==-⋅⋅=-⋅∑∑，ˆˆay bx =-）18、（本小题满分12分）一个四棱锥的三视图和直观图如图4所示，其中俯视图中D 60∠AB =．E 为侧棱D P 的中点．()1求证：//PB 平面C AE ；()2若F 为侧棱PA 上的一点，且FF λP =A ，则λ为何值时，PA ⊥平面DF B ？并求此时几何体F DC -B 的体积．19、（本小题满分13分）如图5，曲线1C 是以原点O 为中心，1F ，2F 为焦点的椭圆的一部分．曲线2C 是以O 为顶点，2F 为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线1C 和2C 的交点，且21F F ∠A 为钝角，若17F 2A =，25F 2A =．()1求曲线1C 和2C 的方程； ()2设点C 是2C 上一点，若12CF =，求12CFF ∆的面积．20、（本小题满分13分）已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，n *∈N ）．()1求证 ：数列{}n a 为等差数列，并求{}n a 的通项公式；()2设2n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ；()3设()1C 412nn a n nλ-=+-⋅（λ为非零整数，n *∈N ），是否存在确定λ的值，使得对任意n *∈N ，有1C C n n +>恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．21、（本小题满分13分）已知函数()f x 是定义在[)(],00,e e -上的奇函数，当(]0,x e ∈时，()ln f x ax x =+（其中e 是自然对数的底，R a ∈）． ()1求()f x 的解析式； ()2设()ln x g x x=，求证：当1a =-时，且[),0x e ∈-，()()12f xg x >+恒成立； ()3是否存在实数a ，使得当[),0x e ∈-时，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由．（参考公式：()1ln x x'-=⎡⎤⎣⎦（0x <））湖南衡阳市2015届高三第二次联考数学（文科）参考答案6．B．【解析】设AB=a，AC=b,AD=c,由侧棱AB,AC,AD两两垂直，ABC∆,ACD∆,ADB∆的面积分1 2，1212，b=1，A BCD-与以a，b，c所作的长方体有公共的外接球，故长方体对角线长=2R，即2R= R= ，∴ππ62342==）（球表S7．C.【解析】由程序框图可知，M表示落入圆内点的个数，因为P为π的估计值,所以2211144==11000S MSp圆正，整理得P=10004M.故选C.8．A.【解析】∵抛物线=>22(0)y px p的焦点F（2p，0），∴由题意知双曲线22221x ya b-=的一个焦点为F（c，0），2pc∴=>a,（1）即p>2a．∴双曲线方程为2222214x ypaa-=-，∵点M是双曲线与抛物线的一个交点, 若=5||4MF p,∴M点横坐标x=53424p p p-=，代入抛物线y2=8x得M3(,4p，把M3(,4p代入双曲还有BD与BC共线，∴（15．{2}.【解析】法一：依题意可知当x ∈[1,2e]时，恒有0≤(k －1)x －1≤(x ＋1)ln x 成立． 当x ∈[1,2e]时，由(k －1)x －1≥0恒成立，可知k≥1＋1x恒成立， 又x ∈[1,2e]时，11x ⎛⎫+⎪⎝⎭max ＝2，此时x ＝1，从而k≥2. 当x ∈[1,2e]时，由(k －1)x －1≤(x ＋1)ln x 恒成立， 可知k≤()1ln 1x x x++＋1恒成立，记m(x)＝()1ln 1x x x++＝11x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ln x ＋1x ， 其中x ∈[1,2e]．从而m′(x)＝21x ⎛⎫-⎪⎝⎭ln x ＋11x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1x －21x＝2ln x x x -， 易知当x ∈[1,2e]时，x ＞ln x(可以建立函数再次利用导数证明，)所以当x ∈[1,2e]时，m′(x)＞0，所以m(x)在x ∈[1,2e]上是单调递增函数， 所以k≤m(x)min ＋1＝m(1)＋1＝2.综上所述可知k ＝2，所以实数k 的取值范围为{2}．法二：由于本题的特殊性，可看出g(1)＝0，h(1)＝0，由题知g(1)≤f(1)≤h(1)， 显然f(1)＝0，即k ＝2.h′(x)＝1＋1x＋ln x ．在[1,2e]上，h′(x)＞1＝f′(x)， 故k ＝2.16．【解析】（1）因为40πθ<<,430πθπ<-< 412πθπ<<∴ ………………………2分 θAP cos 20=)3cos(20θπAQ -= ………………………4分 )3cos(cos 1006sin 21θπθπAQ AP S APQ Δ-⋅=⋅=…………………………5分)3cos(cos 4)3cos(cos 100400)(θπθθπθθf -⋅=-⋅=，），（412ππθ∈……………………6分（2）1)62sin(212sin 32cos cos sin 32cos 2)(2++=++=+=πθθθθθθθf --9分 ππθπ32623<+< 当262ππθ=+时，即6πθ=时3)(max =θf …………………11分 答 ：当6πθ=时，)(θf 的最大值为3． ……………………12分17．【解析】（1）,m n 的所有取值情况有：(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，即基本事件总数为10. ……………2分 设“m ，n 均不小于25”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26). ……………………4分所以3()10P A =，故事件A 的概率为310. ………………5分 （2）由数据，求得1(111312)123x =++=，1(253026)273y =++=，3972x y =.31112513*********i i i X Y ==⨯+⨯+⨯=∑，322221111312434i i X ==++=∑，23432x =.由公式，求得122197797254344322ni ii nii x y n x yb xnx ==-⋅⋅-===--∑∑， ……………………8分5271232a y bx =-=-⨯=-． ………………………9分所以y 关于x 的线性回归方程为5ˆ32yx =-． ……………………10分 （3）当x =10时，5ˆ103222y =⨯-=，|22－23|＜2； 同样，当x =8时，5ˆ83172y=⨯-=，|17－16|＜2． 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的． ………………………12分18．（1）由三视图可知该四棱锥的底面ABCD 是菱形，且有一角为60，边长为2，锥体高度为1。