高中数学 期末备考综合测试02同步单元双基双测A卷 新人教A版必修4

《期末备考 综合测试二》（A 卷）
（测试时间： 120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【2017届四川省成都市三诊】设集合，，则
（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】B 【解析】
选B.
2.【2018届黑龙江省大庆实验中学高三上期中】已知2sin23α=
，则2cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭ ( )
A.
16 B. 13 C. 12 D. 2
3
【答案】A
【解析】223sin α=， 21cos 2122cos 422sin παπαα⎛⎫++ ⎪-⎛⎫⎝⎭∴+== ⎪⎝
⎭ 211326-=
=，故选A. 3.函数1
()lg 1
f x x =
-的定义域为（ ）
A.(0,)+∞
B.(0,1)(1,)+∞
C.(1,)+∞
D.(0,10)(10,)+∞ 【答案】D ．
4.【2018届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三9月月考】已知单位向量满足
，则与
的
夹角是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
， 即如图
=即是第二象限的角平分线，所以由图可见 与
的夹角
是
，故选D.
5.【2018安徽省阜阳市临泉县第一中学高三上第二次模拟】已知，
，则
=
（ ） A. B. C.
D.
【答案】C 【解析】∵，
∴，则
∴
，故选C
6. 已知(x)sin(x )(A 0,0,,x )2
f A R π
ωϕωϕ=+>><
∈在一个周期内的图像如图所示，则(x)y f =的
图像可由函数cos y x =的图像（纵坐标不变）（ ）得到．
A ．先把各点的横坐标缩短到原来的
12倍，再向左平移6π
单位 B ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12
π
单位
C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π
单位 D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，，再向左平移12
π
单位
【答案】
B
7.下列函数中，周期为π，且在⎥⎦⎤
⎢⎣⎡2,4ππ上为减函数的是（ ）
A.)2
sin(π
+=x y B.)2
cos(π
+
=x y C.)2
2cos(π
+
=x y D.)2
2sin(π
+
=x y
【答案】D
【解析】周期为π，有C,D;x x y 2sin )22cos(-=+=π在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,4ππ上为增函数，x x y 2cos )22sin(=+=π在
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,4ππ上为减函数，所以选D. 8. 已知1tan()2πα+=，则sin cos 2sin cos αααα
-+=（ ） A ．
4
1
B ．21
C ．4
1
-
D ．2
1
-
【答案】C
【解析】由1tan()2πα+=得：1tan 2α=.所以sin cos 2sin cos αα
αα-+11
tan 1122tan 1114
αα--===-++.选D.
9. 已知向量a ，b 满足0,||1,||2,a b a b ⋅===则|2|a b -=( ) （A ） 0 （B ）
（C ） 4 （D ）8 【答案】B
【解析】22
2|2|(2)44.22a b a b a a b b -=-=-+=
10. 已知向量=（-1，0），=（
2
1
23，），则向量与 的夹角为（ ） A ．6π B ．65π
C
．3π D ．32π
【答案】B
【解析】3
2cos ,112a b a b a b
-
⋅<>===-⋅⋅，所以向量与 的夹角为56π
. 11. 已知定义的R 上的偶函数()f x 在),0[+∞上是增函数，不等式)2()1(-≤+x f ax f 对任意1,12x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A.[]3,1--
B.[]2,0-
C.[]5,1--
D.[]2,1- 【答案】B 【解析】
∵偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，则f （x ）在（-∞，0）上是减函数，则f （x-2）在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上
的最小值为f （-1）=f （1）,若f （ax+1）≤f （x-2）对任意x ∈1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦都成立，当x ∈1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
时，-1≤ax+1≤1，即-2≤ax≤0恒成立,则-2≤a≤0,故选B.
12. 函数2
(4)|4|()(4)x x f x a x ⎧≠⎪
-=⎨⎪=⎩
，若函数2)(-=x f y 有3个零点，则实数a 的值为（ ）
A ．－2
B ．－4
C ．2
D ．不存在
【答案】C 【解析】 函数图象如下：
实数a 的值为2时，若函数2)(-=x f y 有3个零点.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.幂函数的图像过点11(,)24
，则它的单调递减区间是 ． 【答案】()0,∞-
【解析】设幂函数的解析式为：α
x y =，因为幂函数的图像过点11(,)24
，所以2=α， 所以2
x y =，所以它的单调递减区间是()0,∞-．
14.【2018届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟高三上学期期中】已知
()3sin 32sin 2ππαα⎛⎫
+=+ ⎪⎝⎭
，则2sin sin2αα+=__________.
【答案】
8
5
15.【2018届安徽省六安市第一中学高三上第二次月考】如图，在平面斜坐标系中，
，斜
坐标定义：如果
（其中，分别是轴，轴的单位向量），则
叫做的斜坐标.
（1）已知得斜坐标为，则
__________． （2）在此坐标系内，已知，动点满足
，则的轨迹方程是__________．
【答案】 1
【解析】（1）∵，
∴
1．
（2）设P （x ，y ），由得|（x ，y ﹣2）|=|（x ﹣2，y ）|，∴
整理得：
y=x ．
故答案为：1；y=x
16. 关于函数()cos 2cos 236f x x x ππ⎛⎫
⎛
⎫=-++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，有下列说法：
①()y f x =
②()y f x =是以π为最小正周期的周期函数；
③()y f x =在区间13,2424ππ
⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减；
④将函数2y x =
的图象向左平移
24
π
个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确说法的序号是________．（注：把你认为正确的说法的序号都填上） 【答案】①②③
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题10分）计算下列各式的值：
（1）132032
11(2)0.2()427
π--+-+；
（2）16log 3log 3log 6log )279(log 34222
3⨯+-+⨯．
【答案】（1）243
8
；（2）11． 【解析】
（1）原式=32
21
2
-3
3311(3)25--⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ =3325132⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=3308=2438.
（2）16
log 3log 3log 6log )279(log 34222
3⨯+-+⨯
=()()2
23
232
2243log 33log 3+log 2log 3log 3log 4⎡⎤⨯+-+⨯⎢⎥⎣
⎦
=()()26
3243log 33log 2log 32log 4⎡⎤⨯++⨯⎣⎦=83log 312++
=()38log 312++ =812++=11. 18．（本小题12分）已知α∈0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
0，1sin cos 5
αα-=
.
(1) 求sin cos αα值； (2)求sin cos αα+的值. 【答案】(1) 12
sin cos 25
αα=; (2)7sin cos 5αα+=.
【解析】 由1sin cos 5
αα-=
，知
2
1sin cos 25αα-=（）, 即1
12sin cos 25
αα-=
，可得12sin cos 25αα=； 又
2
49sin cos 12sin cos 25
αααα+=+=（）, 可得7
0sin cos 2
5
π
ααα∈
+=（，）,. 19．（本小题12分）【2018全国名校大联考二】已知向量()2,sin m α=， ()cos ,1n α=-，其中0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，
且m n ⊥.
（1）求sin2α和cos2α的值；
（2）若()sin αβ-=0,2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，求角β. 【答案】（1）4sin25α=
， 3cos25α=-；（2）4
πβ=. 【解析】试题分析：（1）由已知得2cos sin 0αα-=，从而由22cos sin 1αα+=即可得cos α和sin α，由二倍角公式即可得解；
（2）由()sin sin βααβ⎡⎤=--⎣⎦利用两角差的正弦展开即可得解. 试题解析：
（1）∵m n ⊥，∴2cos sin 0αα-=， 即sin 2cos αα=.
代入22cos sin 1αα+=，得2
5cos 1α=，且0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，
则cos α=
， sin α=
则sin22sin cos ααα==
42555
⨯
=. 2cos22cos 1αα=-= 13
2155
⨯-=-
.
20．（本小题12分）已知函数()()2
1f x x mx m R =-+-∈．
（1）试求()f x 在区间12
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，1上的最大值； （2）若函数()f x 在区间1+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭
，
上单调递增，试求m 的取值范围． 【答案】（1）()2max
5
,1241,1242,2m m m f x m m m ⎧-≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪
-≥⎪⎪⎩
；（2）(],1-∞
【解析】 （1）当
122m ≤，即1m ≤时，函数()f x 在区间112⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，上单调递减，最大值为15
;224
m f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 当1122m <<，即12m <<时，函数()f x 在区间112⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上最大值为2
1;24m m f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
当
12m ≥，即2m ≥时，函数()f x 在区间112⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上单调递增，最大值为()12;f m =-
综上所述，()2max
5
,1241,1242,2m m m f x m m m ⎧-≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪
-≥⎪⎪⎩
，
（2）要使函数()f x 在区间1+2⎛⎫
∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，结合函数()f x 的图像可知，需240122
m m ⎧-≤⎪⎨≤⎪
⎩或
2401
22102m m f ⎧
⎪->⎪
⎪≤⎨
⎪⎪⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭
⎩解得21,m 2m -≤≤<-或，即m 的取值范围是(],1-∞ 21．（本小题12分）已知函数()log (1)a f x x =-log (3)(01)<<a x a ++ （Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的零点；
（Ⅲ）若函数()f x 的最小值为-4，求a 的值．
【答案】（Ⅰ）（-3，1）；
（Ⅱ）1-±；
（Ⅲ）2
【解析】
（Ⅰ）要使函数有意义：则有10
30x x -⎧⎨+⎩
>>，解之得：31x -<<，
所以函数的定义域为：（-3，1）．
（Ⅱ）函数可化为2
()log (1)(3)log (23)a a f x x x x x =-+=--+
由()0f x =，得2231x x --+=， 即2220x x +-=
，1x =-±，
(3,1)-∵-1，
()f x ∴
的零点是1-±
22.（本小题12分）已知向量)sin ,sin (cos ),cos 2,sin (cos x x x x x x --=+=。

（1）求x f ⋅=)(的最小正周期和单调减区间；
（2）将函数)(x f y =的图象向右平移8
π个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，若2,2
2)B (,0)2A (===b g f ，求C 的值.
【答案】（1）ππ=+=T x x f ),432sin(2)()](83,8[Z k k k ∈+-ππππ；（2）512
π. 【解析】
（1）223()cos sin 2cos sin cos 2sin 2)4f x x x x x x x x π=--=-=+. 22
T ππ∴==. 由33222242
k x k πππππ+≤+
≤+得： 322244
k x k ππππ-≤≤+， 3()88k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以n m x f ⋅=)(的单调减区间为：)](83,8[Z k k k ∈+-
ππππ. （2）将函数)(x f y =的图象向右平移8
π个单位，所得函数为3
)])2842
y x x x πππ=-+=+=，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2
倍，纵坐标不变，所得函数为y x =，即()g x x =.
3
)0,
44
A A
ππ
+=∴=.
1
cos,
23
B B B
π
=∴==. 所以
5
()()
4312
C A B
πππ
ππ
=-+=-+=.。