学案1：11.1.5 旋转体

11.1.5旋转体
学习目标
1.理解旋转体、圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念，初步掌握运用旋转的观点去观察问题；
2.理解圆柱、圆锥、圆台和球的轴截面的概念和它在决定几何体时的重要作用．
要点整合·夯基础
知识点一旋转体、圆柱、圆锥和圆台
[填一填]
1．圆柱的结构特征
定义以所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体
图示及相关概
念轴：叫做圆柱的轴
高：在上的边(或它的长度)
底面：的边旋转而成的圆面侧面：的边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，
2.圆锥的结构特征
定义以所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体
图示及相关概念轴：叫做圆锥的轴
高：在上的边(或它的长度)
底面：的边旋转而成的圆面
侧面：的边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
3.圆台的结构特征
定义以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体
图示及相关概念轴：叫做圆台的轴
高：在轴上的边(或它的长度)
底面：的边旋转而成的圆面侧面：的边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
4.轴截面
在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、、．
[拓展]
(1)过圆柱任意两条母线的截面都是矩形；过圆锥任意两条母线的截面都是等腰三角形；过圆台任意两条母线的截面都是等腰梯形．
(2)过圆柱、圆锥、圆台的两母线的截面中，轴截面的面积最大．
5．旋转体的侧面积与表面积
(1)旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积，侧面积与之和称为旋转体的表面积(或全面积)．
(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
几何体侧面展开图表面积公式
圆柱S圆柱＝2πr(r＋l)，r为，
l为
圆锥S圆锥＝πr(r＋l)，r为，l为
圆台S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)，r′为，
r为，
l为
[答一答]
1．对圆柱、圆锥、圆台：
(1)平行于底面的截面是什么样的图形？
(2)过轴的截面(简称轴截面)分别是什么样的图形？
(3)研究圆柱、圆台和圆锥之间的关系．
知识点二球
[填一填]
(1)球面可以看成绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称为．
(2)形成球面的半圆的圆心称为球的，连接球面上一点和球心的线段称为球的，连接球面上两点且通过球心的线段称为球的．
(3)由球面的形成过程可看出，球面可以看成空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合．
(4)球面被经过球心的平面截得的圆称为球的；被不经过球心的平面截得的圆称为球的．
(5)球的截面的性质：①球的截面是一个圆面；②球心与截面圆心的连线垂直于截面；
③球半径R、截面圆半径r, 则球心到截面的距离d＝.
(6)若球的半径为R，则球的表面积为S＝.
[答一答]
2．在平面几何中，你学习了直线与圆的位置关系，那么平面与球的位置关系如何？
典例讲练·破题型
类型一旋转体的有关概念
[例1]以下对于几何体的描述，错误的是()
A．NBA决赛中使用的篮球不是球体
B．一个等腰三角形绕着底边上的高所在直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形叫作圆锥
C．用平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫作圆台
D．以矩形的一组对边的中垂线所在直线为轴旋转180°所形成的几何体为圆柱
[分析]根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征进行判断．
通法提炼
1.判断简单旋转体结构特征的方法
(1)明确由哪个平面图形旋转而成.
(2)明确旋转轴是哪条直线.
2.简单旋转体的轴截面及其应用
(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.
(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
[变式训练1]判断下列各命题是否正确．
(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；
(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；
(3)圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；
(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．
类型二圆柱、圆锥、圆台中的计算问题
[例2]圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392 cm2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．
通法提炼
1.圆柱、圆锥、圆台的轴截面将其母线、高、上下底面半径有机地结合在一起，充分利用轴截面可进行相关元素间的计算.
2.在研究和处理旋转体的相关问题时，通常作出几何体的轴截面，如圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形，这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素. [变式训练2]有一个半径为5的半圆，将它卷成一个圆锥的侧面，求圆锥的高．
类型三与球有关的计算问题
命题视角1：球面弧长问题
[例3]设地球的半径为R，在南纬60°圈上有两点A，B，A在西经90°，B在东经90°，求A，B两点间纬线圈的弧长及A，B两点间的球面距离．
通法提炼
1.球面上两点间的球面距离，必须是在过此两点的球的大圆中两点所对应的劣弧的长度，不能在过此两点的球的小圆中求.
2.球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离，它们之间构成直角三角形，可用勾股定理
求解.
[变式训练3]如图所示，球O 的半径为2，圆O 1是一小圆，O 1O ＝2，A 、B 是圆O 1上两点，若A 、B 两点间的球面距离为2
3
π，求∠AO 1B 的度数．
命题视角2：球的截面问题
[例4]在球内有相距9 cm 的两个平行截面，面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求此球的半径． [分析]作轴截面(过与截面圆垂直的半径作截面)，将空间图形化为平面图形．利用截面的性质解直角三角形． 通法提炼
在解决球的截面问题时，可作轴截面，将空间图形化为平面图形．由于球心与截面圆心的连线垂直于截面圆，因此经过球心与截面圆心的连线作轴截面如图．则球的半径R ，截面圆半径r ，球心到截面的距离d 有如下关系：d 2＋r 2＝R 2.
[变式训练4]在半径等于13 cm 的球内有一个截面，它的面积是25π cm 2，求球心到这个截面的距离．
命题视角3：球的表面积问题
[例5]设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A ．πa 2 B.73πa 2 C.11
3πa 2 D ．5πa 2
通法提炼
常见几何体与球的切、接问题的解决策略
(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系．一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊位置，比如中心、对角线的中点等．
(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．
[变式训练5]有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都 相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
类型四 侧面展开图
[例6]如图所示，已知圆锥SO 中，底面半径r ＝1，母线长l ＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM ＝x ，从点M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A .求：
(1)绳子的最短长度的平方f (x )；
(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； (3)f (x )的最大值．
[分析]求几何体侧面上两点之间的距离的最小值时，往往利用其侧面展开图求解．
通法提炼
求解旋转体侧面上两点间的最小距离时，一般将几何体侧面展开，从而将空间问题转化为平面问题，将曲线问题转化为直线问题来解决，使复杂问题简单化.
[变式训练6]如图所示，一圆柱的底面半径为2，母线长为5，轴截面为矩形ABCD，从点A 拉一绳子沿圆柱侧面到点C，求最短绳长．
当堂检测
1．下列不是旋转体的是()
A．圆台B．圆锥C．圆柱D．球面
2．下列说法中正确的是()
A．圆台是直角梯形绕其一边所在的直线旋转而成的
B．圆锥是直角三角形绕其一边所在的直线旋转而成的
C．圆柱不是旋转体
D．圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的底面与截面之间的部分3．下列说法正确的是()
A．到定点的距离等于定长的点的集合是球
B．球面上不同的三点可能在同一条直线上
C．用一个平面截球，其截面是一个圆
D．球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面
4．圆柱、圆锥和圆台过轴的截面分别是．
参考答案
要点整合·夯基础
知识点一旋转体、圆柱、圆锥和圆台
[填一填]
1．圆柱的结构特征
定义矩形的一边
图示及相关概念
旋转轴
轴
垂直于轴
不垂直于轴不垂直于轴的边
2.圆锥的结构特征
定义直角三角形一直角边
图示及相关概念
旋转轴
轴
垂直于轴不垂直于轴
3.圆台的结构特征
定义
图示及相关概念
旋转轴垂直于轴不垂直于轴
4.轴截面
等腰三角形等腰梯形
5．旋转体的侧面积与表面积
(1)底面积
(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
几何体侧面展开图表面积公式
圆柱底面半径母线长
圆锥底面半径母线长
圆台上底面半径下底面半径母线长
[答一答]
1．提示：(1)平行于底面的截面，图形都是圆．
(2)过轴的截面，对于圆柱是矩形，对于圆锥是等腰三角形，对于圆台是等腰梯形．
(3)圆柱的上底面变小，就变为圆台，当上底面变为一个点时，它就变成了圆锥．圆台是由圆锥截得的，“补台成锥”是解决圆台问题的一种重要方法．
知识点二球
[填一填]
(1)一个半圆球
(2)球心半径直径
(4)大圆小圆
(5)圆面②垂直③R2－r2
(6)4πR2
[答一答]
2．提示：类比平面上直线与圆的位置关系，平面与球有以下几种位置关系：相离、相切、相交，其中相离是平面与球无公共点，相切是平面与球有且只有一个公共点，相交则是平面与球有无数多个公共点．
典例讲练·破题型
类型一旋转体的有关概念
[例1]
【解析】根据球的定义可知A正确．由圆锥的定义知B正确．只有当平面与圆锥的底面平行时底面与截面之间的部分为圆台，故C错误．由圆柱的定义知D正确．
【答案】C
[变式训练1]
解：(1)错误．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．
(2)错误．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．
(3)正确．
(4)错误．应为球面．
类型二 圆柱、圆锥、圆台中的计算问题 [例2] 解：方法一：
圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm 和3x cm.即A ′O ′＝x cm ，AO ＝3x cm
(O ′，O 分别为上、下底面圆心)，过A ′作AB 的垂线，垂足为点D .
在Rt △AA ′D 中，∠AA ′D ＝45°，AD ＝AO －A ′O ′＝2x cm ，所以A ′D ＝AD ＝2x cm ， 又S 轴截面＝12(A ′B ′＋AB )·A ′D ＝1
2
×(2x ＋6x )×2x ＝392(cm 2)，所以x ＝7.
综上，圆台的高OO ′＝14 cm ，母线长AA ′＝2OO ′＝14 2 cm ，上、下底面的半径分别 为7 cm 和21 cm. 方法二：
圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm 和3x cm ，延长AA ′，BB ′交OO ′的延长线于点S (O ′，O 分别为上、下底面圆心)． 在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，所以SO ＝AO ＝3x cm ， 又SO ′＝A ′O ′＝x cm ，所以OO ′＝2x cm. 又S 轴截面＝1
2
×(2x ＋6x )×2x ＝392(cm 2)，所以x ＝7.
综上，圆台的高OO ′＝14 cm ，母线长AA ′＝2OO ′＝14 2 cm ，上、下底面的半径分别 为7 cm,21 cm. [变式训练2]
解：如图，由题知，半圆的半径等于圆锥的母线长，即SA ＝5.半圆的弧长等于圆锥底面周
长，设半径为r ，则有5π＝2πr .∴r ＝52，
∴高h ＝52－⎝⎛⎭⎫522＝52 3.即圆锥的高是52
3. 类型三 与球有关的计算问题
命题视角1：球面弧长问题
[例3]
解：纬度数为60°，则纬度圈小圆的半径r ＝R cos60°＝R 2
. 如图所示，设南纬60°圈的中心为O 1，地球球心为O ，则∠AO 1B ＝180°，
∴AB ＝2AO 1＝R .
∴△AOB 为等边三角形，∴∠AOB ＝60°.
∴在南纬60°圈上，AB ︵的长为180π180×R 2＝πR 2
； 在球面上，A ，B 两点间的球面距离为60π180×R ＝πR 3
.
[变式训练3]
解：设∠AOB ＝α，由球面距离知：α·2π×2360°＝α90°·π＝23
π，解得α＝60°.在△AOB 中，OA ＝OB ，∠AOB ＝α＝60°，所以△AOB 为等边三角形，所以AB ＝OA ＝OB ＝2.在Rt △AO 1O 中，因为OA ＝2，O 1O ＝2，所以O 1A ＝OA 2－O 1O 2＝22－(2)2＝ 2.在等腰三角形AO 1B 中，因为O 1A ＝O 1B ＝2，AB ＝2，O 1A 2＋O 1B 2＝AB 2，所以∠AO 1B ＝90°.
命题视角2：球的截面问题
[例4]
解：两截面与球心的位置关系有两种：(1)两截面位于球心的同侧；(2)球心在两截面之间． 若两截面位于球心的同侧，如图①，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R ，
截面圆的半径分别为r ，r 1，由πr 21＝49π，得r 1＝7 cm ，由πr 2＝400π，得r ＝20 cm ，
在Rt △OB 1C 1中，OC 1＝R 2－r 21＝R 2－49， 在Rt △OBC 中，OC ＝R 2－r 2＝R 2－400，
由题意知OC 1－OC ＝9 cm ，即R 2－49－R 2－400＝9，
解得R ＝25 cm ，
若球心在两截面之间，如图②，
OC 1＝R 2－49，OC ＝R 2－400.
由题意知OC 1＋OC ＝9 cm ，
即R 2－49＋R 2－400＝9，
R 2－49＝9－R 2－400，
平方得R 2－400＝－15，
此方程无解，说明第二种情况不存在．
综上所述，所求球的半径为25 cm.
[变式训练4]
解：设截面圆的半径为r cm.
因为πr 2＝25π，所以r ＝5.
设球心到截面的距离为d cm ，则d ＝132－52＝12.
所以球心到截面的距离为12 cm.
命题视角3：球的表面积问题
[例5]
【解析】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，P 为三棱
柱上底面的中心，O 为球心，易知AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12
a ，所以球的半径R ＝OA 满足R 2＝⎝⎛⎭
⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝712a 2，故S 球＝4πR 2＝73πa 2.
【答案】B
[变式训练5]
解：设正方体棱长为a ，三个球的半径依次为R 1，R 2，R 3，则有2R 1＝a ，R 1＝a 2，2a ＝2R 2，R 2＝22a ，3a ＝2R 3，R 3＝32
a ，所以R 1：R 2：R 3＝1：2： 3. 所以S 1：S 2：S 3＝R 21：R 22：R 23＝1：2：3.
即这三个球的表面积之比为1：2：3.
类型四 侧面展开图
[例6]
解：将圆锥的侧面沿SA 剪开，并展开，如图所示，
该图形为扇形，且
的长度L 就是圆O 的周长，所以L ＝2πr ＝2π.所以∠ASM ＝L 2πl
×360°＝2π2π×4×360°＝90°. (1)由题意知，绳子长度的最小值为展开图中的AM ，且AM ＝x 2＋16(0≤x ≤4)，所以f (x )＝ AM 2＝x 2＋16(0≤x ≤4)．
(2)作SR ⊥AM ，垂足为R ，则SR 的长度为顶点S 到绳子的最短距离，因为12SA ·SM ＝12
AM ·SR ， 所以SR ＝SA ·SM AM ＝4x x 2＋16
(0≤x ≤4)， 即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为4x x 2＋16
(0≤x ≤4)． (3)因为f (x )＝x 2＋16(0≤x ≤4)是增函数，所以f (x )的最大值为f (4)＝32.
[变式训练6]
解：沿BC 剪开，将圆柱侧面的一半展开得到矩形B ′ADC ′，如图所示，连接AC ′，则AC ′的长即为所求最短绳长，由题意可知，B ′C ′＝5，AB ′＝2π，即最短绳长为25＋4π2.
当堂检测
1．【解析】球面不是旋转体．
【答案】D
2．【解析】圆台是直角梯形绕垂直于底边的腰所在的直线旋转而得到的，故A 不正确；圆锥是直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转而得到的，故B 不正确；而圆柱、圆锥、
圆台、球都是旋转体，故C不正确．故选D.
【答案】D
3．【解析】对于A，球是球体的简称，球体的外表面我们称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，故A错；对于B，球面上不同的三点一定不共线，故B 错；对于C，用一个平面截球，其截面是一个圆面，而不是一个圆，故C错，故选D.
【答案】D
4．【答案】矩形、等腰三角形和等腰梯形。