2020高考数学备考最新压轴题(一)

2020 备考最新数学压轴题之一1.（本小分12分）
已知，函数a x
a R
f ( )ln
x
1
，
g (x)ln x 1 e x
（此中 e 自然数的底数）．x x
（ 1）判断函数 f ( x) 在区 0,e上的性；
（ 2）能否存在数x00,e ，使曲 y g ( x) 在点 x x0的切与y垂直 ? 若存在，求出x0的；若不存在，明原因．
a 解（ 1）：∵f ( x)
x 令 f ( x) 0 ，得 x
①若 a0 ， f (x)
ln x 1
a1x a
．，∴ f (x)
2x x
2
x
a．
0 ，f x 在区0,e 上增.
②若0a e ，当x0,a ，f( x)0 ，函数f x 在区0,a上减，
当 x a, e ，f(x)0 ，函数f x 在区a, e 上增，
③若 a e ， f (x)0，函数 f x 在区0,e 上减.⋯⋯6分
（ 2）解：
∵ g(x)ln x 1 e x x ， x0, e ，
g ( x)ln x 1 e x ln x 1 e x1e x ln x 1 e x11ln x 1 e x1由（1）
x x
可知，当 a 1 ， f ( x)1
ln x 1 ．
x
0，即
1
此 f ( x) 在区0,e上的最小ln1ln x10．
x
当 x00,e ，e x00，1ln x010 ，∴g ( x0)1ln x0 1 e x0 1 10 ．
x0x0
曲 y g( x) 在点 x x0的切与y垂直等价于方程g ( x0 )0 有数解．
而x0
g，即方程 g (x0 )0 无数解．
故不存在x00,e，使曲y g( x) 在
x x0的切与 y 垂直⋯⋯12分
2．（本小分 12分）
已知段 CD 2 3 ，CD 的中点 O，点A足 AC AD2a （a正常数）．（ 1）成立适合的直角坐系，求点 A 所在的曲方程；
（ 2）若 a2，点B足 BC BD4，且 OA OB ，求AOB 面的最大和最小．解（ 1）以O心，CD所在直成立平面直角坐系.若AC AD2a 2 3，即
0 a3，点 A所在的曲不存在；若AC AD2a 2 3 ，即 a 3 ，点A所在的曲方程 y0( 3 x 3) ；若 AC AD2a2 3 ，即 a 3 ，点A所在的
曲方程
x2y2
a21.⋯⋯4分
a 2 3
x2x2
(2)当a2，其曲方程y2 1 .由条件知A,B两点均在y2 1 上，且OA OB
44
A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ， OA 的斜率 k (k0) ， OA 的方程 y kx ， OB 的方程
1
y
kx
y
解方程 2
k x
x
y
2
1
4 得 12
4
， y 12
4k 2
x
1 4k 2
1
4k 2
4k 2
同理可求得 x 22
， y 22 4 4 k 2 4 k 2
AOB 面 S
1 1 k
2 x 1 1 1 x 2 = 2
(1 k 2 ) 2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯分
2
k
2
(1 4k 2 )( k
2
4)
8
令 1 k 2 t( t 1)
S
2
t 2 2
1
2
9t
9
9 9
4t
4
t
2
t
令
g(t )
9 9
1 1 )
2 25 所以
4 g(t)
25，即 4 S 1
t 2 t 4
9( t 2
4 (t 1) 4 5
当 k
0 ，可求得 S 1,故
4
S 1 ，
5
故 S 的最小 4
，最大 1. ⋯⋯12 分
5
（ 2）另解：令
A(r 1 cos , r 1 sin ), B( r 2 sin , r 2 cos ) ，
1 2 2
2
2
4
r
1
cos r 1 sin
1
1
r 2
,
2 sin 2 r 2 2 cos 2
1
4
r 1 2
2 4
2
1 4 2
解得
cos
4sin
3sin
4
4
r 2 2
sin 2
1
4cos 2
3cos 2
所以
r 1 2
r 2 2
16
16 64
，而 sin 2 2
0,1
4 9sin
2
cos
2
9sin 2 2
所以 S
1
r 1r 2 4
,1 ，即最大 是
1，最小 是
4
.
2
5
5
3．（本小 分
12 分）
函 数 f (x)
x
(0 x 1) 的 反 函 数f 1 ( x) ， 数 列 { a n } 和 { b n }足 ： a 1
1 ，
1
(a
1 x
1 ( x) 的 象在点 n , f 1
(n) (n
2 a n 1
f ) ，函数 y
f N ) 的切 在 y 上的截距
b
n
n
.
（ 1）求数列 { a n }的通 公式；
（ 2）若数列 {
b n
} 的 中 b 5
最小 ,求 的取 范 ；
2
a n 2
a n
a 5 a 5
（ 3）令函数
g(x) [ f 1( x)
f (x)] 1 x 2
, 0 x 1 .数列 {
x
n
} 足 : x 1 1 , 0 x n 1 且 x
g( x ) ， (此中
1 2 2
n 1
n
x n N ). 明 :
2
2
(x 1 x 2 ) 2
( x n 1
2 1
( x 2 x 3 )
⋯ x n )
x 1x 2
x 2 x 3
x n x n 1
8
解 :(1)令 y
x , 解得 x y ; 由 0 x 1, 解得 y 0.
1 x
1 y
∴函数 f ( x) 的反函数 f 1 (x)
x ( x 0).
a n
1 x
a n 1
f 1 (a n )
1 ,
a n
得
1
1 1.
a n 1
a n
{1
}是以 2 首 ，1 公差的等差数列，故
a n
1 . ⋯⋯⋯⋯3分
a n
n 1
(2)Q f
1
( x)
x (x 0),
1 x [ f 1 ( x)] '
(1 1 2 ,
x)
y
f 1 ( x) 在 点 (n, f
1
(n))
的 切 方 程y
n 1
(1 1 ( x n), 令 x 0 得
n n)2
n 2
b n
2
2
2
b n (1 n) 2 .
a n 2
a n n
(n 1) ( n
2 )
4 .
当 n
5 获得最小 ，
4.5
2
5.5.
(9,11). ⋯⋯⋯6 分
∴
的取 范
g ( x) [ f 1
( x)
f (x)]
1
x 2 (3)
1
x 2
x
x ] 1
x 2
x
[ 1 x 1 , x (0,1).
1 x 1 x 2
x 2
所以
x n 1
x n
x n (1 x n )
1 x
n ,
x n
2
1
又因 0
x n
1, x n 1
x n .
然
1
x
n 1
x n L x 2
1 . ⋯⋯⋯⋯8
分
x n (1 x n ) 1
2 x n 1 1
2
x
n 1
x n
x n 1 4 x n 1 2 2
x n 1
1
1
2 1 4 2 2 2
8
( x n 1 x n )2
x n 1 x n (x n 1
x n )
x n x n 1
x n x n 1
(x n 1 x n )( 1
1 )
2 1(1
1 )
x n x n 1
8 x n
x n 1
2 1(1
1 ) 2
1
(2
1
)⋯10分
8 x 1 x n 1
8
x n 1
Q
1
x n
1
1,
2
(x 1 x 2 )2
( x 2 x 3 )2
x 1 x 2
x 2x 3 2 1[( 1
1 ) ( 1
8
x 1 x 2
x 2
1
1
2,
x
n 1
2
⋯ (x n 1 x n )
x n x n 1
1 ) ⋯ ( 1
1
)]
x 3
x n x n 1
( x 1 x 2 )2 ( x 2 x 3 ) 2 ⋯ (x n 1 x n )2
1
x 1x 2 x 2 x 3 x n x
n 1 0
2
1
1
1
2 1
x
n 1
2 (2 )
分
8
8
(12)
x
n 1。