高考物理(浙江通用)名师考点点拨专题讲义：题型15带电粒子在磁场中的运动

题型15 带电粒子在磁场中的运动
1．图1甲是中国自行设计、研制的最大的受控核聚变实验装置：其原理如图乙，带电粒子被强电流线圈产生的磁场约束在一个半经为r 的“容器”中，通电线圈产生的圆形磁场可看作匀强磁场，磁场圆半径为R ，R >r 且两圆同心，磁感应强度为B ，它们的截面如图丙所示．“容器”中有质量均为m ，带电量均为q 的带电粒子，在“容器”内运动，有些粒子会运动到“容器”的边缘，观察到在“容器”的边缘各处，有向各个方向离开“容器”的粒子，且每个方向的粒子的速度都从0到v 分布．不久，所有粒子都能返回“容器”．(本题只考虑运动方向与磁场垂直的粒子，不计粒子重力和粒子间相互作用和碰撞)
图1
(1)要产生如图乙所示的磁场，逆着磁场方向看，线圈中的电流方向如何？不改变装置结构，要改变磁场，可采取什么方法？
(2)为保证所有粒子从“容器”边缘处离开又能返回，求带电粒子的最大速度v ；
(3)如果“容器”中带电粒子是核聚变的原料11H 、21H ，它们具有相同的动能，但被该装置约束后，它
们的“容器”半径会不同．现用该装置约束这两种粒子，设它们“容器”的最大的半径分别为r 1、r 2，试推导r 1、r 2和R 应满足的关系式．
答案 (1)逆时针方向；改变线圈中电流方向，就改变磁场方向，改变线圈中电流大小，就改变磁感应强度大小．
(2)Bq (R －r )2m
(3)2r 1－r 2＝(2－1)R 解析 (1)由安培定则可知，电流为逆时针方向．改变线圈中的电流方向，就可以改变磁场方向；改变线圈中的电流大小，就可以改变磁感应强度大小．
(2)从“容器”边缘切线方向离开，最大速率为v 的粒子，在磁场中做圆周运动的轨迹刚好与磁场圆内切，那么其他粒子都返回“容器”中，
设这个轨迹圆半径为r ′，由几何关系，R －r ＝2r ′①
粒子做圆周运动向心力由洛伦兹力提供Bq v ＝m v 2r ′② 由①②得R －r ＝2r ′＝2m v qB
所以v ＝Bq (R －r )2m
. (3)11H 、21H 两粒子，电量相同，动能相同，
所以m 1v 1∶m 2v 2＝m 1∶m 2＝1∶2③
由(2)得R －r 1＝2m 1v 1qB
④ R －r 2＝2m 2v 2qB
⑤ 由③④⑤得2r 1－r 2＝(2－1)R .
2．在真空室内取坐标系xOy ，在x 轴上方存在二个方向都垂直于纸面向外的磁场区域Ⅰ和Ⅱ(如图
2)，平行于x 轴的直线aa ′和bb ′是区域的边界线，两个区域在y 方向上的宽度都为d ，在x 方向
上都足够长．Ⅰ区和Ⅱ区内分别充满磁感应强度为B 和23
B 的匀强磁场，边界bb ′上装有足够长的平面感光板．一质量为m 、电荷量为＋q 的带电粒子，从坐标原点O 以大小为v 的速度沿y 轴正方向射入Ⅰ区的磁场中．不计粒子的重力作用．
图2
(1)粒子射入的速度v 大小满足什么条件时可使粒子只在Ⅰ区内运动而不会进入Ⅱ区？
(2)粒子射入的速度v 大小满足什么条件时可使粒子击中bb ′上的感光板？并求感光板可能被粒子击中的范围？
答案 (1)v ≤qBd m (2)v ≥5qBd 3m 0<x ≤73
d 解析 (1)粒子在Ⅰ区内做匀速圆周运动，有q v B ＝m v 2
r 1
得粒子运动的轨道半径r 1＝m v qB
粒子只在Ⅰ区内运动而不会进入Ⅱ区，则r 1≤d
解得速度v 满足的条件v ≤qBd m
.
(2)粒子在Ⅱ区内做匀速圆周运动，有q v ·23B ＝m v 2r 2
得粒子运动的轨道半径r 2＝3m v 2qB ＝32r 1
粒子恰好能运动到感光板的运动情况如图所示
粒子在Ⅰ区中运动的圆心为A 1、在Ⅱ区中运动的圆心为A 2，在图中△A 1CD 相似于△CA 2E ，因此CD A 1C
＝A 2E CA 2
即d r 1＝r 2－d r 2，解得r 1＝53d ，v ＝5qBd 3m
因此，要使粒子击中感光板，粒子射入的速度应满足
v ≥5qBd 3m
在△A 1CD 中，可得cos θ＝d r 1＝35
粒子经过感光板上的F 点的横坐标
x F ＝r 1＋(r 2－r 1)sin θ
解得x F ＝73
d 因此，感光板可能被粒子击中的横坐标范围0<x ≤73
d . 3．如图3所示，圆形区域中，圆心角为30°的扇面MON 之外分布着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，一质量为m 、带电量为－q 的粒子，自圆心O 点垂直于OM 以速度v 射入磁场，粒子能两次经过边界OM ，不计粒子重力．
图3
(1)求粒子从射入到第一次穿过边界ON ，在磁场中运动的时间；
(2)求圆形区域的最小半径；
(3)若圆形区域无限大，现保持其它条件不变而将∠MON 变为10°，粒子射出后穿越磁场边界的次数．
答案 (1)2πm 3qB (2)(1＋7)m v qB
(3)15 解析 (1)粒子第一次穿过边界，偏转角θ＝120°
时间t ＝120°360°·T ，其中T ＝2πm qB ，得t ＝2πm 3qB
.
(2)粒子在磁场中运动轨迹如图
q v B ＝m v 2R
半径R ＝m v qB 要保证粒子两次穿过OM ，磁场最小区域应与粒子圆周运动在E 点相切．
在△O 1AB 中，O 1B ＝2R
在△O 2BD 中，BD ＝R 2
在△ODO 2中，OD ＝OB －BD ＝52
R O 2D ＝32
R 得OO 2＝7R OE ＝7R ＋R ＝(7＋1)R
最小半径r ＝OE ＝(7＋1)R ＝(1＋7)m v qB
. (3)∠MON 变为10°，首次从ON 边界向下穿出时与之夹角为80°，首次向上穿出OM 时与之夹角为70°，每次从边界向扇面区穿出，均比上次夹角减小10°，直到向上穿出时，与OM 夹角为10°，不再进入磁场，故穿越边界的次数为15次．
【必考模型3】 带电粒子在磁场中的临界、极值问题
1.模型特点：一群粒子在磁场中做圆周运动或一个粒子在磁场中做圆周运动，不论是一群粒子，还是一个粒子，研究的问题往往都是粒子的速度的大小、方向或磁感应强度变化时的极值问题或临界问题或边界问题.
2.表现形式：(1)同源粒子发射问题.此形式常有两类情况，一类是粒子的速率相同，发射方向各异；另一类是速率不同，但发射方向唯一.(2)自某一边界射入磁场.这种形式也常有两类情况：一类是射入磁场的位置不同，但速度的大小、方向唯一；另一类是位置相同，速度大小一定，但速度方向各异.
3.应对模式：不论哪种模型，都是研究一系列的圆周运动问题，这时要抓住不变量采用动态圆的方法找到临界点或极值.。