2018年高考数学文一轮复习文档：第六章 不等式 第2讲二元一次不等式组及简单的线性规划问题 含答案 精品

第2讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
,)
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念
1．辨明两个易误点
(1)画出平面区域，避免失误的重要方法就是首先将二元一次不等式化为ax＋by＋
c>0(a>0)的形式；
(2)线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．
2．求z＝ax＋by(ab≠0)的最值方法
将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距z b
的最值间接求出z 的最值．
(1)当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距z b
取最小值时，z 也取最小值； (2)当b <0时，截距z b
取最大值时，z 取最小值；截距z b
取最小值时，z 取最大值．
1.教材习题改编 不等式x －2y ＋6<0表示的区域在直线x －2y ＋6＝0的( ) A ．右上方 B ．右下方 C ．左上方
D ．左下方
C 画出x －2y ＋6<0的图象如图所示，可知该区域在直线x －2y ＋6＝0的左上方．故选C.
2.教材习题改编 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，
则z ＝2x ＋y 的最大值为
( )
A ．3
B ．32
C ．－3
2
D ．－3
A 画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝2x ＋y ，知y ＝－2x ＋z ，当目标函数过点(2，－1)时直线在y 轴上的截距最大，为3.
3．(2016·高考北京卷)已知A (2，5)，B (4，1)．若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( )
A ．－1
B ．3
C ．7
D ．8
C 依题意得k AB ＝5－1
2－4＝－2，所以线段l AB ：y －1＝－2(x －4)，x ∈，即y ＝－2x ＋
9，x ∈，故2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9，x ∈．设h (x )＝4x －9，易知h (x )＝4x －9在上单调递增，故当x ＝4时，h (x )max ＝4×4－9＝7.
4．(2017·扬州模拟)点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是__________．
因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，
t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞2
3
.
⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，＋∞ 5．约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y ≤2x －y ≥－2y ≥0
表示的平面区域的面积为________．
作出⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y ≤2x －y ≥－2y ≥0
所表示的平面区域如图中阴影部分所示．
则A (0，2)，B (－2，0)，C (2，0)， 所以S 阴＝S △ABC ＝1
2×4×2＝4.
4
二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0
表示的平面区域的面积为________．
(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，
2x ＋y ≤2，
y ≥0，x ＋y ≤a
表示的平面区域是一个三角形，则
a 的取值范围是
________．
【解析】 (1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，
由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋3y －2＝0，
x ＋2y －4＝0得A (8，－2)． 由x ＋y －2＝0得B (0，2)．又|CD |＝2，故S 阴影＝12×2×2＋1
2
×2×2＝
4.
(2)不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0
表示的平面区域如图所示(阴影部分)．
解⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝x ，
2x ＋y ＝2得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23；解⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B (1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一
个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥4
3
.
【答案】 (1)4 (2)(0，1]∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫43，＋∞
若本例(2)条件变为：若不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2
表示的平面区域是一个三角形，则a
的取值范围是________．
如图，当直线y ＝a 位于直线y ＝5和y ＝7之间(不含y ＝7)时满足条件．
1．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是( )
C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩
⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，与选项C 符
合．故选C.
2．若满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ≥0x ＋y －2≤0y ≥a
的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整
数的点，则整数a 的值为________．
不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1，1)，(0，0)，(1，0)，(2，0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．
－1
求线性目标函数的最值(范围)(高频考点)
线性目标函数的最值(范围)问题是每年高考的热点，属必考内容，题型多为选择题和填
空题，属中档题．
高考对线性目标函数最值(范围)问题的考查主要有以下两个命题角度： (1)求线性目标函数的最值(范围)；
(2)已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)．
(1)(2016·高考全国卷丙)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，
则z ＝2x ＋3y
－5的最小值为________．
(2)设x ，y 满足约束条件⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，
x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )
A ．－5
B ．3
C ．－5或3
D ．5或－3
【解析】
(1)
作出不等式组表示的平面区域， 如图中阴影部分所示，
由图知当z ＝2x ＋3y －5经过点A (－1，－1)时，
z 取得最小值，z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.
(2)联立方程组⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a
x －y ＝－1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －1
2y ＝a ＋12
，
代入x ＋ay ＝7中， 解得a ＝3或－5，
当a ＝－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7，故选B. 【答案】 (1)－10
(2)B
利用线性规划求目标函数最值的步骤
(1)画出约束条件对应的可行域；
(2)将目标函数视为动直线，并将其平移经过可行域，找到最优解对应的点； (3)将最优解代入目标函数，求出最大值或最小值．
对于已知目标函数的最值，求参数问题，把参数当作已知数，找出最优解代入目标函数．
角度一 求线性目标函数的最值(范围)
1．(2016·高考全国卷甲)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，
则z ＝x －2y 的最小值
为________．
法一：
(通性通法)作出可行域，如图中阴影部分所示，由z ＝x －2y 得y ＝12x －1
2z ，作直线y
＝1
2
x 并平移，观察可知，当直线经过点A (3，4)时，z min ＝3－2×4＝－5. 法二：(光速解法)因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3，4)，(1，2)，(3，0)，依次代入目标函数可求得z min ＝－5.
－5
角度二 已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)
2．(2017·郑州第二次质量预测)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的
最小值为－2，则b 的最大值为________．
画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y 得，y ＝12x －b
2.易知在点(a ，a )处b 取
最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.
10
线性规划的实际应用
(2016·高考全国卷乙)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型
材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．
【解析】 由题意，设产品A 生产x 件， 产品B 生产y 件， 利润z ＝2 100x ＋900y ， 线性约束条件为
⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，
x ＋0.3y ≤90，
5
x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，
作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示， 又由x ∈N ，y ∈N ，
可知取得最大值时的最优解为(60，100)， 所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 【答案】 216 000
(2016·高考天津卷)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
现有A种原料200吨，B
肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，
8x ＋5y ≤360，
3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.
设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．
(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .
考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3， 这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.
z
3为直线在y 轴上的截距，当z
3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由
图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z
3
最大，即z 最大．
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，
3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20，24)．
所以z max ＝2×20＋3×24＝112.
即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．
, )
——数形结合思想求解非线性规划问题
(2015·高考全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，
则y x
的最大值为
________．
【解析】 画出可行域如图阴影所示，因为 y
x
表示过点(x ，y )与原点(0，0)的直线的斜率，
所以点(x ，y )在点A 处时y
x
最大． 由⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，
得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. 所以A (1，3)． 所以y x
的最大值为3. 【答案】 3
(1)本题在求y x 的取值范围时，利用数形结合思想，把y x
转化为动点(x ，
y )与定点(0，0)连线的斜率．解决这类问题时，需充分把握目标函数的几何含义，在几何含
义的基础上加以处理．
(2)常见代数式的几何意义：
① x 2
＋y 2
表示点(x ，y )与原点(0，0)的距离；
② （x －a ）2
＋（y －b ）2
表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离； ③y x
表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率值； ④
y －b
x －a
表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率值．
1.(2016·高考山东卷)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，
则x 2＋y 2
的最大
值是( )
A ．4
B ．9
C ．10
D ．12
C 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设P (x ，y )为平面区域内任意一点，则x 2
＋y 2
表示|OP |2
.显然，当点P 与点A 重合时，|OP |2
即x 2
＋y 2
取得最大值．由
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3，
y ＝－1，故A (3，－1)．
所以x 2＋y 2的最大值为32＋(－1)2
＝10.故选C.
2．(2017·洛阳统考)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥0，y ≥m
表示的平面区域的面积为2，则
x ＋y ＋2x ＋1
的最小值为( )
A ．3
2 B ．4
3 C ．2 D ．4
B 画出不等式组所表示的区域，由区域面积为2，可得m ＝0.而
x ＋y ＋2x ＋1＝1＋y ＋1
x ＋1
，y ＋1x ＋1表示可行域内任意一点与点(－1，－1)连线的斜率，所以y ＋1x ＋1的最小值为0－（－1）
2－（－1）
＝13，所以x ＋y ＋2x ＋1的最小值为43
.
, )
1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24，7) B ．(－7，24)
C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
B 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0.
即(a ＋7)(a －24)<0， 解得－7<a <24.
2．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为( )
A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≥0
B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0
x －2y ＋2≤0 C ．⎩
⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋2y ＋2≥0 D ．⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y －1>0x －2y ＋2>0 A 两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0，0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0，0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0， 即⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0
为所表示的可行域．
3．不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1
表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则
实数k 的取值范围为( )
A ．(0，3]
B ．
C ．(－∞，3]
D ． 直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，
由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1，2)时，k 最小，
此时k CM ＝2－（－1）
1－0＝3，
因此k ≥3，
即k ∈ 可行域如图，平移直线y ＝2x 至过点(5，3)时，z 取得最小值－7.
5．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0
表示的平面区域为三角形，且其面积等于4
3
，则m 的值
为( )
A ．－3
B ．1
C ．43
D ．3
B 作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，
C ，
D 的坐标分别为A (2，0)，
B (1－m ，1＋m )，
C ⎝
⎛⎭
⎪⎫2－4m 3，2＋2m 3，D (－2m ，0)．
S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12
|AD |·|y B －y C |
＝12(2＋2m )(1＋m －2＋2m 3) ＝(1＋m )⎝
⎛
⎭
⎪⎫1＋
m －23＝4
3，
解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．
6．(2017·河南省六市第一次联考)已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，
如果目标函数z ＝x
－y 的最小值为－1，则实数m ＝( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
B 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l 可知，当直线l 经过A (2，3)时符合题意，又A (2，3)在直线x ＋y ＝m 上，所以m ＝5，故选B.
7．(2017·安徽安庆二模)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋2y －2≥0，x －y ＋1≥0，2x ＋y －4≤0，
z ＝x －2y ，则z 的取
值范围是________．
作出不等式组表示的平面区域，如图，
由图可知当z ＝x －2y 过点A 时，z 取得最大值； 当z ＝x －2y 过点B 时，z 取得最小值，
由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0解得B (1，2)，则z min ＝1－2×2＝－3， 由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －4＝0解得A (2，0)，则z max ＝2－2×0＝2， 故z ＝x －2y 的取值范围是．
8．(2017·贵州黔东南州模拟)若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，
则(x －2)2＋y
2的最小值为________．
作出不等式组对应的平面区域如图，
设z ＝(x －2)2
＋y 2
，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方， 由图知C 、D 间的距离最小，此时z 最小．
由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，
y ＝1，即C (0，1)， 此时z min ＝(x －2)2＋y 2
＝4＋1＝5. 5
9．(2016·高考浙江卷改编)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在
直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪
⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为
AB ，则|AB |＝________．
作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，又C (2，－2)，
D (－1，1)，所以|AB |＝|CD |＝（2＋1）2＋（－2－1）2＝3 2.
3 2
10．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，
若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实
数a 的值为________．
法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0，2)，B (2，0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.
法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0
∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2.
－1或2
11．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，
(1)求目标函数z ＝12x －y ＋1
2
的最值；
(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围． (1)作出可行域如图，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)．
平移初始直线12x －y ＋1
2＝0，过A (3，4)时z 取最小值－2，过C (1，0)时z 取最大值1.
所以z 的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a
2<2，
解得－4<a <2.
故a 的取值范围是(－4，2)．
12．(2017·江西高安中学联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，
z ＝|2x －2y －1|，
则z 的取值范围是( )
A ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤53，5
B ． D ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫53，5 B 作出可行域如图所示：
易求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，C (2，－1)，令μ＝2x －2y －1，则y ＝x －μ＋12，当直线y ＝x －μ＋12过点C (2，－1)时，μ有最大值5，过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23时，μ有最小值－53，因为可行
域不包括x ＝2的边界，所以z ＝|2x －2y －1|的取值范围是 (1)法一：因为PA →＋PB →＋PC →
＝0，
又PA →＋PB →＋PC →
＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )，所以
⎩
⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，
y ＝2，
即OP →＝(2，2)，故|OP →
|＝2 2.
法二：因为PA →＋PB →＋PC →
＝0，
则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →
)＝0， 所以OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →
)＝(2，2)，
所以|OP →
|＝2 2.
(2)
因为OP →＝mAB →＋nAC →，
所以(x ，y )＝(m ＋2n ，2m ＋n )，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，
两式相减得，m －n ＝y －x .
令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.
14．某小型工厂安排甲、乙两种产品的生产，已知工厂生产甲、乙两种产品每吨所需要的原材料A ，B ，C 的数量和一周内可用资源数量如下表所示：
工厂每周才可获得最大利润？
设工厂一周内安排生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，所获周利润为z 元．依据题意，得
目标函数为z ＝300x ＋200y ，约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，
4x ≤160，
2x ＋5y ≤200，y ≥0，x ≥0.
欲求目标函数z ＝300x ＋200y ＝100(3x ＋2y )的最大值，先画出约束条件表示的可行域，
如图中阴影部分所示，
则点A (40，0)，B (40，10)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫503
，1003，D (0，40)．
作直线3x ＋2y ＝0，当移动该直线过点B (40，10)时，3x ＋2y 取得最大值，
则z ＝300x ＋200y 取得最大值(也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得)． 故z max ＝300×40＋200×10＝14 000.
所以工厂每周生产甲产品40吨，乙产品10吨时，才可获得最大周利润，为14 000元．。