高一数学A版必修二第4章《圆与方程》第四章 章末复习提升 教学课件

2 2 2 2 2
a－3 ＋b－6 ＝a－5 ＋b－2 ＝r ， 得b－6 4 × ＝－1. a－3 3 9 25 解得 a＝5，b＝2，r2＝ 4 . 92 25 ∴圆的方程为(x－5)2＋ y－2 ＝ 4 . 方法二 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 圆心为 C， 由 CA⊥l， A(3,6)、 B(5,2)在圆上，
2 ＋5D＋2E＋F＝0， 5 ＋ 得 －E－6 2 4 ×3＝－1， D － 2 －3
2 2
32＋62＋3D＋6E＋F＝0， D＝－10， 解得E＝－9， F＝39.
Байду номын сангаас
∴所求圆的方程为：x2＋y2－10x－9y＋39＝0. 方法三 －3)， 即 3x＋4y－33＝0. 又 kAB＝ 6－2 1 ＝－2，∴kBP＝2， 3－5 3 设圆心为 C，则 CA⊥l，又设 AC 与圆的另一交点为 P，则 CA 方程为 y－6＝－4(x
a＝2， 解得 1 b＝－2
5
a＝－2， 或 13 b＝ 2 .
3
5 1 3 13 这样点 P 只可能是点 P1 2，－2或点 P2－2， 2 . 经检验点 P1 和 P2 满足题目条件. 跟踪训练 2 已知圆 M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线 l 过点 P(2,3)且与圆 M 交于 A，B 两点， 且|AB|＝2 3，求直线 l 的方程. 解 (1)当直线 l 存在斜率时，设直线 l 的方程为 y－3＝k(x－2)，即 kx－y
题型一
求圆的方程
求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题 .采用待 定系数法求圆的方程的一般步骤为： (1)选择圆的方程的某一形式；(2)由题意得 a，b，r(或 D，E，F)的方程(组)；(3)解出 a，b， r(或 D，E，F)；(4)代入圆的方程. 例1 解 有一圆与直线 l：4x－3y＋6＝0 相切于点 A(3,6)，且经过点 B(5,2)，求此圆的方程. 方法一 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心为 C(a，b)，由|CA|＝|CB|，CA⊥l，
(1)直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置 关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程. (2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、 差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系， 以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析 问题. 例2 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：(x＋3)2＋(y－1)2
②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内. 注意：若 P 点是圆 C 外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：dmax＝|PC|＋r；最小距离： dmin＝|PC|－r. 3.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线 方程与圆的方程组成的方 程组， 根据解的个数来判断)、 几何法(由圆心到直线的距离 d 与半径长 r 的大小关系来判断). (1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为 d＋r，最小距离为 d－r，其中 d 为圆 心到直线的距离. (2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形. (3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线. ①若切线所过点(x0，y0)在圆 x2＋y2＝r2 上，则切线方程为 x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x －a)2＋(y－b)2＝r2 上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜 率不存在的情况也可能符合题意. (4)过直线 l： Ax＋By＋C＝0(A， B 不同时为 0)与圆 C： x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 的交点的圆系方程是 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ 是待定的系数. 4.圆与圆的位置关系 两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种： 代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距 d 与半径长 r，R 的大小关系来判断). (1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性 质和勾股定理来求弦长. (2)过圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 与圆 C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 的交点的直线方程 为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 5.空间直角坐标系 (1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一 一对应. (2)空间中 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离 |P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22. (3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对 称点.
∴直线 BP 的方程为 x－2y－1＝0.
3x＋4y－33＝0， x＝7， 解方程组 得 x－2y－1＝0， y＝3.
9 9 5 25 5，2，半径为|AC|＝ .∴所求圆的方程为(x－5)2＋y－22＝ . ∴P(7,3).∴圆心为 AP 中点 2 4 跟踪训练 1 若圆 C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线 y＝1 相切，则圆 C 的方程是______. 答案 解析
圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d， 因为直线 l 被圆 C1 截得的弦长为 2 3， 所以 d＝ 22－ 32 ＝1.由点到直线的距离公式得 d＝ 7 即 k＝0 或 k＝－24， 所以直线 l 的方程为 y＝0 或 7x＋24y－28＝0. (2)设点 P(a，b)满足条件，不妨设直线 l1 的方程为 y－b＝k(x－a)，k≠0，则直线 l2 的方程为 1 y－b＝－k (x－a).因为圆 C1 和圆 C2 的半径相等，且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等， 所以圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等， 即 |1－k－3－a－b| ＝ 1＋k2 |－3k－1－4k| ，从而 k(24k＋7)＝0. 1＋k2
1.圆的方程 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是 C(a，b)，半径长是 r.特别地，圆心在 原点的圆的标准方程为 x2＋y2＝r2. 圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0). (2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r 或 D，E，F)， 而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆. (3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知 圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通 常可用圆的一般方程. 2.点与圆的位置关系 (1)点在圆上 ①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上. ②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上. (2)点不在圆上 ①若点的坐标满足 F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足 F(x，y)<0，则该点在圆内.
2 (x－2)2＋ y＋2 ＝ 4
3
25
因为圆的弦的垂直平分线必过圆心，且圆经过点 (0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m).
又因为圆与直线 y＝1 相切，所以 4－22＋0－m2＝|1－m|，所以 m2＋4＝m2－2m＋1，解 3 3 25 y＋22＝ . 得 m＝－2，所以圆的方程为(x－2)2＋ 4 题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系
5＋14－a－b k
1 1＋k2
，
整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|， 从而 1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk 或 1＋3k＋ak－b＝ －5k－4＋a＋bk， 即(a＋b－2)k＝b－a＋3 或(a－b＋8)k＝a＋b－5， 因为 k 的取值范围有无穷多个，
a＋b－2＝0， a－b＋8＝0， 所以 或 b－a＋3＝0 a＋b－5＝0，
|PO|为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值. 解 如图所示，建立平面直角坐标系，
使 A，B，O 三点的坐标分别为 A(4,0)，B(0,3)，O(0,0). 设内切圆的半径为 r，点 P 的坐标为(x，y)， 则 2r＋|AB|＝|OA|＋|OB|，∴r＝1.
故内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1， 整理得 x2＋y2－2x－2y＝－1.① 由已知得|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2 ＝3x2＋3y2－8x－6y＋25.② 由①可知 x2＋y2－2y＝2x－1，③ 将③代入②得|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝3(2x－1)－8x＋25＝－2x＋22. ∵0≤x≤2， ∴|PA|2＋|PB|2＋|PO|2 的最大值为 22，最小值为 18. |PA|2 2 2 2 |PB|2 |PO|2 π 又三个圆的面积之和为 π 2 ＋π 2 ＋π 2 ＝4(|PA| ＋|PB| ＋|PO| )， 11 9 ∴以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆面积之和的最大值为 2 π，最小值为2π. 跟踪训练 3 已知实数 x，y 满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求 x＋y 的最大值和最小值. 解 设 x＋y＝t，由题意，知直线 x＋y＝t 与圆(x－3)2＋(y－3)2＝6 有公共点， |3＋3－t| ≤ 6. 2
＝4 和圆 C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4. (1)若直线 l 过点 A(4,0)，且被圆 C1 截得的弦长为 2 3，求直线 l 的方程； (2)设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2，它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交，且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的 弦长相等，试求所有满足条件的点 P 的坐标. 解 (1)由于直线 x＝4 与圆 C1 不相交， 所以直线 l 的斜率存在.设直线 l 的方程为 y＝k(x－4)，
在解决有关直线与圆的最值和范围问题时， 最常用的方法是函数法， 把要求的最值或范围表 示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之 外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位 置关系得出要求的范围. 例3 在△ABO 中， |OB|＝3， |OA|＝4， |AB|＝5， P 是△ABO 的内切圆上一点， 求以|PA|， |PB|，
＋3－2k＝0. 作示意图如图，作 MC⊥AB 于 C. 在 Rt△MBC 中， |BC|＝ 3，|MB|＝2， 故|MC|＝ |MB|2－|BC|2＝1， 由点到直线的距离公式得 3 解得 k＝4. 所以直线 l 的方程为 3x－4y＋6＝0. (2)当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x＝2， 且|AB|＝2 3，所以适合题意. 综上所述，直线 l 的方程为 3x－4y＋6＝0 或 x＝2. 题型三 与圆有关的最值问题 |k－1＋3－2k| ＝1， k2＋1
所以 d≤r，即
所以 6－2 3≤t≤6＋2 3. 所以 x＋y 的最小值为 6－2 3，最大值为 6＋2 3.
题型四
分类讨论思想
分类讨论思想是中学数学的基本思想之一， 是历年高考的重点， 其实质就是将整体问题化为 部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件 .在用二元二次方程表示圆时要 分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论. 例4 已知直线 l 经过点 P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 截得的弦长为 8，求直线