分层流体中点涡对非线性界面波的影响分析

分层流体中点涡对非线性界面波的影响分析
王振;吴常红;邹丽
【摘要】This paper is concerned with the interfacial wave of stratified fluiddue to a point vortex in the upper layer liquid or in the upper layer liquid,respectively,when the two-layer of fluids are moving parallel to theinter-face at different velocities.When the point vortex is locatedin the upper layer, the stratified flow is modeled based on the incompressiblepotential flow theory,with the nonlinear boundary conditions at the interface.An in-tegral-differential equation is formulated for the nonlinear interfacial wave.The numerical results for nonlinear in-terfacial waves are given by solving nonlinearboundary integral equations based on the quasi -Newton method, which are compared with the fully nonlinear numerical results for the interfacial wave when the pointvortex is lo -cated in the lower layer.It is found that when the point vortex strength and thestratified flow condition are kept same,the interfacial wave amplitude for the point vortex locatedin the upper layer is far less than that for the point vortex locatedin the lower layer.And its amplitude ratio increases as the density of the upper layer and low-er layer,but it's always less than 1.%在分层流体模型中,两层流体分别以不同的速度平行于界面流动.文中探讨当点涡分别位于上层和下层流体中时,对界面波的影响.当点涡位于上层流体中时,应用势流理论和边界积分方程建立完全非线性的数学模型,构造关于非线性界面波的积分微分方程组,通过基于拟牛顿法的数值方法得到界面波的数值结果.与点涡在下层流体时引起的界面波比较,数值结果显示在等强度的点涡和相同的来流条件
下,点涡位于上层流体中所引起的界面波振幅远小于点涡位于下层流体中所引起的界面波振幅,并且它们的振幅比值随着上层和下层流体密度比的增大而增大,但总是小于1.
【期刊名称】《江苏科技大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2017(031)005
【总页数】6页(P561-566)
【关键词】边界积分方程;点涡;非线性界面波
【作者】王振;吴常红;邹丽
【作者单位】大连理工大学数学科学学院,大连116024;大连理工大学数学科学学院,大连116024;大连理工大学船舶工程学院,大连116024
【正文语种】中文
【中图分类】O35
海水呈现不同的密度分层是常见的自然现象．随着深度的变化,海水的温度、压强和盐度也随之变化．当分层流遇到扰动时,比如起伏的地形和障碍,潮汐和大气扰动等,就会产生内波[1-3]．海洋内波不仅会改变着海水的温度、盐度和营养物质的分布,同时,海洋内波对海上建筑物也有严重的破坏力,比如,海上钻井平台,海洋船舶等．人们普遍认为海洋内波与海洋生态学、海洋工程等应用有着密切联系．因此,关于海洋内波的产生和传播[4-8]的研究引起越来越多研究者的重视．
两层理想流体模型经常作为研究内波的简化模型．在弱非线性的假定下,两层流体间的内波可以用KdV方程描述[9]．文献[10]在三维空间中利用格林函数研究分层流体中振荡源引起的内波的线性解析表达．
在单层理想流体的假定条件下,Forbes通过建立积分微分方程,研究点涡[11]和水翼[12]在均匀稳定流中产生的自由表面波,并用牛顿迭代法求解边界积分方程得到自由表面波的数值结果．在双层理想流体中,点涡的影响也可以通过边界积分方程方法进行研究,比如双层流体中的超临界取水[13],双层流体中的线涡[14],由环状源或汇所产生的稳定自由表面流[15]．文献[16]应用两层流体模型研究点涡位于下层流体中产生的完全非线性稳定界面波,并分析点涡强度、Froude 数和上下层流体密度比对界面波的影响,数值结果显示非线性数值结果和线性解析结果具有较大差别．在二维稳态两层流体模型中,两层流体分别以不同的速度平行于界面运动,其中,假定上层流体是有限水深的,并采用刚盖假定,下层流体是无限水深的．假定两层流体均为无旋、无粘、不可压缩的理想流体．点涡位于上层流体中,当上游来流遇到点涡,在两层流体界面处产生内波．文中从完全非线性的角度,应用无量纲变量,研究点涡所引起的界面波的性质．应用势流理论和边界积分方程建立完全非线性的数学模型,并构造关于非线性界面的积分微分方程．运用基于拟牛顿法的数值方法,对积分微分方程进行数值模拟,得到界面波的数值解．文中研究两层流体稳定流通过位于上层流体中的点涡后的界面现象,并比较点涡位于上层流体和下层流体所产生的界面波,分析点涡位于上层流体和下层流体对界面波的影响．
考虑不同密度的两层流体,以不同的速度沿着相同的方向运动,如图1(无量纲参数和变量如图)．首先,建立直角坐标系,取没有扰动的界面为x轴,流体运动的方向为正方向,垂直于界面并通过点涡的直线为y轴．假定两层流体均为无旋、无粘、不可压缩的理想流体．上层流体、下层流体的密度分别为ρ1,ρ2,流速分别为c1,c2．文中仅考虑稳定情况:ρ1<ρ2．上层流体为有限深度T,一个强度为K的点涡位于原点上方H处,假定上表面为刚性面;下层流体为无限水深(物理量或参数的下标1,2分别为上层流体和下层流体)．
速度势φ和流函数ψ可以表示为关于c1H乘积的形式．因此,此问题表示成关于
流速c1和距离H的无量纲形式．用y=η(x)描述产生的扰动界面．首先,对参数进行无量纲处理,得到下列无量纲参数:
F=,=,θ=,ρ=,γ=
式中：F为上层流体的Froude数,为点涡强度．在下文中,所有的变量均为无量纲变量．
由势流理论,得到除点涡外,速度势和流函数均满足柯西-黎曼条件:
引入关于复变量z=x+iy的复速度势fj=φj+iψj(j=1,2),在两层流体中,除了点涡外复速度势f1,f2处处解析．在点涡处,复速度势f1满足
上层流体和下层流体满足无穷远边界条件:
在刚性面y=θ处,满足边界条件
在界面y=η(x)处,满足动力学边界条件
界面坐标(x,y)用弧长s表示,即(x,y)=(x(s),y(s)),并且满足弧长公式：
上层流体和下层流体分别满足伯努利方程
在界面y=η(x)处,p1=p2,联立方程(6)和(7)得到
对于下层流体,考虑解析函数
G(z)处处解析,由柯西积分公式得
其中积分路径Γ1包括整个界面和以原点为圆心的半径无穷大的下半圆．将动力学边界条件(4)和弧长公式(5)代入方程(9),化简取虚部得
对于上层流体,考虑解析函数
F(z)除点涡外处处解析．由柯西积分公式得
πiF(z)+∮Γ2dξ=2πiRes{i}+2πiRes{2θ-i}，
其中积分路径Γ2包括整个界面及其关于y=θ的镜像和两条垂线ξ=±L，
L→∞．由于解析函数F(z)的渐进性,关于两条垂线的积分为零．利用刚性面y=θ处的边界条件(3)和留数定理得
其中z(t)表示界面上的点表示界面关于y=θ镜像上的点．
由于z(t)=i是函数的一个极点,计算得到留数
另外,z(t)=i关于y=θ的镜像是函数的一个极点,计算得到留数
将动力学边界条件(4)和弧长公式(5)代入方程(10),然后化简取虚部得
因此,关于界面的所有未知物理量x(s),y(s),φ1(s)和φ2(s),都可以由控制方程(5),(8),(10),(15)和边界条件计算得到．
首先,对界面的计算区间(-∞，+∞)进行截断,将区间[E1,E2]进行N-1等分,
其中Δs=．
关于界面的未知物理量x(s),y(s),φ1(s)和φ2(s)用弧长s=si进行离散,并记为
xi,yi,φ1(si)和φ2(si)．为了去除积分公式中的奇点,引入N-1个中点
=(si+si+1) i=1,2，...,N-1
x(s)在点的值表示为
同理,得到y(s),x′(s),y′(s),(s),(s)在点的值．
在s1点采用无穷远边界条件,由无穷远条件(2)和伯努利方程(6)和(7)得
初始近似解[(s1),(s2),...,y′(sN)]T假定为零向量．利用弧长公式(5)和梯形积分公式计算得到,xi,yi,φ1(si),φ2(si)．
因此,方程(10)写成关于(si)的线性代数方程组,如下所示:
i=2,3,...,N
式中：w1=wN=,wj=1,j=2,3,...,N-1．通过求解方程组(19)得到(si)的值．然后计算方程(8)得到(si)的值,将积分微分方程(15)变换成关于,...,的非线性方程组,
运用拟牛顿迭代法[17]求解方程组(20)．通过计算方程
得到校正向量[Δ2,Δ3,...,ΔN]T,不断更新向量[,...,]T,直到剩余误差向量的范数‖Q‖足够小．
假定上层流体和下层流体的流速相同,即γ=1，上层流体的深度取为θ=20，控制误差精度为ε=10-9．用上文介绍的基于拟牛顿法的数值方法进行matlab数值模拟,数值结果收敛于较高精度．
3.1 点涡方向对界面波影响分析
把计算区间[-20,20]进行N=400等分,取 Froude数F=0.4,上层流体的密度比
ρ=0.5,点涡的强度=0.4．通过数值模拟,得到两层流的界面波如图2．观察发现:界面波的第一个波谷要比其余的波谷要大,并且后面的波形趋于稳定．当点涡的强度=-0.4时,其余参数与图2相同,得到的界面波如图3．界面波的第一个波峰要比其余的波峰要大,并且后面的波形趋于稳定．比较图2、3,点涡强度为正时,第一个波形为波谷;点涡强度为负时,第一个波形为波峰．当点涡强度大小相同时,点涡强度为负产生的界面波的振幅大于点涡强度为正的界面波的振幅,这和参考文献[16]的结论相同．
3.2 点涡位于上层流体和下层流体对界面波的影响
当点涡位于上层流体和下层流体时,分别进行数值模拟得到界面波．设定的参数与图2相同,得到如图4的界面波．通过比较图中的两个界面波,发现当点涡位于下层流体时,产生的界面波的振幅比点涡位于上层流体产生的界面波的振幅大,而波长基本相等．
对于点涡位于上层流体和下层流体产生的界面波,取不同的流体密度比值,比较两层流遇到点涡后产生的界面波的振幅．把计算区间[-20,20]进行N=400等分,取Froude数F=0.25,点涡的强度=0.3,分别取上层流体的密度比ρ为0.50,0.75,0.90,数值模拟得到界面波的振幅和点涡位于上层和下层流体所产生的界面波的振幅比,如表1．把计算区间[-40,40]进行N=400等分,取F=0.15,=0.3,分别取上层流体的密度比ρ为0.90,0.95,0.97,数值模拟得到界面波的振幅和点涡位于上层和下层流体所产生的界面波的振幅比,如表2．通过观察可以发现,当Froude数相同时,随着
密度的增大,点涡位于上层和下层流体中引起的界面波波幅都增大．随着上层和下层流体密度比增大并逐渐接近1,点涡位于上层和下层流体产生的界面波的振幅比值也增大并逐渐接近1．
在二维两层理想流体模型中,点涡位于上层流体时,上游稳定来流遇到点涡会产生界面波,文中利用势流理论和边界积分方程,构造关于非线性界面波的积分微分方程组,通过基于拟牛顿法的数值方法得到界面波的数值结果,并与点涡位于下层流体时产生的界面波进行比较,分析其影响．数值结果显示,当点涡位于下层流体时所产生的界面波的振幅比点涡位于上层流体所产生的界面波的振幅大．当Froude数相同时,随着密度的增大,点涡位于上层流体和下层流体中所引起的界面波波幅都增大．并且随着上层和下层流体密度比增大并逐渐接近1,点涡位于上层和下层流体产生的界面波的振幅比值也增大并逐渐接近1．文中应用全非线性数值模拟得到点涡位置对界面内波振幅的影响,对于未来研究自然海洋中的大振幅内波十分有益．
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