福建省福州第二中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

福建省福州第二中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 已知复合命题p ∧（￢q ）是真命题，则下列命题中也是真命题的是（ ）
A ．（￢p ）∨q
B ．p ∨q
C ．p ∧q
D ．（￢p ）∧（￢q ）
2． 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，则集合{0，1}可以表示为（ ） A ．M ∪N B ．（∁U M ）∩N C ．M ∩（∁U N ） D ．（∁U M ）∩（∁U N ）
3． 下列四组函数中表示同一函数的是（ ）
A ．()f x x =，2()g x =
B ．2()f x x =，2()(1)g x x =+
C ．()f x =()||g x x =
D ．()0f x =，()g x =1111]
4． 在ABC ∆中，b =3c =，30B =，则等于（ ）
A B ． C 或 D ．2 5． 已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A ．m ⊂α，n ∥m ⇒n ∥α
B ．m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥α
C ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ⇒α∥β
D ．n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β
6． 一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是边AB 上的动点，记四面体FMC E -的体
积为1V ，多面体BCE ADF -的体积为2V ，则
=2
1V V （ ）1111] A ．41 B ．31 C ．21 D ．不是定值，随点M 的变化而变化
7． 已知α，[,]βππ∈-，则“||||βα>”是“βαβαcos cos ||||->-”的（ ）
A. 充分必要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力.
8． 在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为1,BC BB 的中点，则下列直线中与直线 EF 相交
的是（ ）
A ．直线1AA
B ．直线11A B C. 直线11A D D ．直线11B C
9． 已知向量(1,2)a =，(1,0)b =，(3,4)c =，若λ为实数，()//a b c λ+，则λ=（ ） A ．
14 B ．12
C ．1
D ．2 10．函数()()f x x R Î是周期为4的奇函数，且在02[,]上的解析式为(1),01()sin ,12
x x x f x x x ì-＃ï=íp <?ïî，则 1741()()46
f f +=（ ） A ．716 B ．916 C ．1116 D ．1316 【命题意图】本题考查函数的奇偶性和周期性、分段函数等基础知识，意在考查转化和化归思想和基本运算能力．
11．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（ ）
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
12．已知函数f （x ）=2x
﹣+cosx ，设x 1，x 2∈（0，π）（x 1≠x 2），且f （x 1）=f （x 2），若x 1，x 0，x 2成等差数列，f ′（x ）是f （x ）的导函数，则（ ）
A ．f ′（x 0）＜0
B ．f ′（x 0）=0
C ．f ′（x 0）＞0
D ．f ′（x 0）的符号无法确定
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．设R m ∈，实数x ，y 满足23603260y m x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若182≤+y x ，则实数m 的取值范围是___________．
【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力．
14．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数
1212
||z z z +在复平面内对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力．
15．对于函数(),,y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”
的 ▲ 条件． （填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”） 16．不等式0＜1﹣x 2≤1的解集为 ．
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的短轴长为2，且离心率e=，设F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，过F 2的直线与椭圆右侧（如图）相交于M ，N 两点，直线F 1M ，F 1N 分别与直线x=4相交于P ，Q 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）求△F 2PQ 面积的最小值．
18．（本小题满分14分）
已知函数()1ln ,f x a x a R x
=+∈． （1） 求函数()f x 的单调递减区间；
（2） 当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，()f x 的最小值是，求实数的值．
19．（本题满分12分）如图1在直角三角形ABC 中，∠A=90°，AB=2，AC=4，D ，E 分别是AC ，BC 边上的中点，M 为CD 的中点，现将△CDE 沿DE 折起，使点A 在平面CDE 内的射影恰好为M ．
（I ）求AM 的长；
（Ⅱ）求面DCE 与面BCE 夹角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
两个人在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中 放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设,,x y z 分别表示甲，乙，丙3个 盒中的球数.
（1）求0x =，1y =，2z =的概率；
（2）记x y ξ=+，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.
【命题意图】本题考查频离散型随机变量及其分布列等基础知识，意在考查学生的统计思想和基本的运算能力．
21．（本小题满分12分）已知椭圆1C ：14
82
2=+y x 的左、右焦点分别为21F F 、，过点1F 作垂直 于轴的直线，直线2l 垂直于点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M .
（1）求点M 的轨迹2C 的方程；
（2）过点2F 作两条互相垂直的直线BD AC 、，且分别交椭圆于D C B A 、、、，求四边形ABCD 面积 的最小值.
22．（本小题满分12分） 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率12e =，圆22127x y +=与直线1x y a b
+=相切，O 为坐标原 点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点(4,0)Q -任作一直线交椭圆C 于,M N 两点，记MQ QN λ=，若在线段MN 上取一点R ,使 得MR RN λ=-，试判断当直线运动时，点R 是否在某一定直一上运动？若是，请求出该定直线的方 程；若不是，请说明理由.
福建省福州第二中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案（参考答案）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．【答案】B
【解析】解：命题p∧（￢q）是真命题，则p为真命题，￢q也为真命题，
可推出￢p为假命题，q为假命题，
故为真命题的是p∨q，
故选：B．
【点评】本题考查复合命题的真假判断，注意p∨q全假时假，p∧q全真时真．
2．【答案】B
【解析】解：全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，
∴∁U M={0，1}，
∴N∩（∁U M）={0，1}，
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的子交并补运算，属于基础题．
3．【答案】C
【解析】
试题分析：A定义域值域均不相同，B对应法则不相同，D定义域不相同，故选C.
考点：定义域与值域．
4．【答案】C
【解析】
考点：余弦定理．
5．【答案】D
【解析】解：在A选项中，可能有n⊂α，故A错误；
在B选项中，可能有n⊂α，故B错误；
在C选项中，两平面有可能相交，故C错误；
在D选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D正确．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
6． 【答案】B
【解析】
考
点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
7． 【答案】A.
【解析】||||cos cos ||cos ||cos αβαβααββ->-⇔->-，设()||cos f x x x =-，[,]x ππ∈-，
显然()f x 是偶函数，且在[0,]π上单调递增，故()f x 在[,0]π-上单调递减，∴()()||||f f αβαβ>⇔>，故是充分必要条件，故选A.
8． 【答案】D
【解析】
试题分析：根据已满治安的概念可得直线11111,,AA A B A D 都和直线EF 为异面直线，11B C 和EF 在同一个平面内，且这两条直线不平行；所以直线11B C 和EF 相交，故选D.
考点：异面直线的概念与判断.
9． 【答案】B
【解析】
试题分析：因为(1,2)a =，(1,0)b =，所以()()1,2a b λλ+=+，又因为()//a b c λ+，所以()14160,2λλ+-==
，故选B. 考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质.
10．【答案】C
11．【答案】C
【解析】
试题分析：因为2cos a b C =，由正弦定理得sin 2sin cos A B C =，因为()A B C π=-+，
所以sin sin[()]sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C π=-+=+=+，
即sin cos cos sin 2sin cos B C B C B C +=，所以sin()0B C -=，所以B C =，所以三角形为等腰三角形，故选C ．1
考点：三角形形状的判定．
12．【答案】 A
【解析】解：∵函数f （x ）=2x ﹣
+cosx ，设x 1，x 2∈（0，π）（x 1≠x 2），且f （x 1）=f （x 2），
∴
， ∴存在x 1＜a ＜x 2，f '（a ）=0，
∴，∴，解得a=，
假设x 1，x 2在a 的邻域内，即x 2﹣x 1≈0．
∵
，
∴， ∴f （x ）的图象在a 的邻域内的斜率不断减少小，斜率的导数为正，
∴x 0＞a ，
又∵x ＞x 0，又∵x ＞x 0时，f ''
（x ）递减，
∴
．
故选：A ． 【点评】本题考查导数的性质的应用，是难题，解题时要认真审题，注意二阶导数和三阶导数的性质的合理运用．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．【答案】[3,6]-.
【解析】
14．【答案】D
【解析】
15．【答案】必要而不充分
【解析】
试题分析：充分性不成立，如2y x =图象关于y 轴对称，但不是奇函数；必要性成立，()y f x =是奇函数，
|()||()||()|f x f x f x -=-=，所以|()|y f x =的图象关于y 轴对称.
考点：充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1.定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2.等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否
定式的命题，一般运用等价法．
3.集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．16．【答案】（﹣1，1）．
【解析】解：不等式0＜1﹣x2≤1，可得不等式0＜1﹣x2化为x2＜1解得﹣1＜x＜1，又1﹣x2≤1的解集为x∈R．∴不等式0＜1﹣x2≤1的解集为（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
【点评】本题考查二次不等式的解法，基本知识的考查．
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）17．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且离心率e=，
∴，解得a2=4，b2=3，
∴椭圆C的方程为=1．
（Ⅱ）设直线MN的方程为x=ty+1，（﹣），
代入椭圆，化简，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，
∴，，
设M（x1，y1），N（x2，y2），又F1（﹣1，0），F2（1，0），
则直线F1M：，令x=4，得P（4，），同理，Q（4，），
∴=||=15×||=180×||，
令μ=∈[1，），则=180×，
∵y==在[1，）上是增函数，
∴当μ=1时，即t=0时，（）min=．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线方程、弦长公式、函数单调性、椭圆性质的合理运用．
18．【答案】（1） 0a ≤时，()f x 的单调递减区间为()0,+∞，0a >时，()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫
⎪⎝⎭
．（2）
2ln 2
a =
则
()f x 的单调递减区间为()0,+∞， ………………………………………4分
0a >时，令()0f x <′
得：10x a
<<， 则()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫
⎪⎝⎭． ………………………………………6分
①1a ≤
时，()f x 在1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减， min ()(1)10f x f ==≠，无解 ………………………………………8分
②2a ≥时， ()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，()min 112ln 022f x f a ⎛⎫
==+= ⎪⎝⎭，
解得：2
2ln 2
a =≥，适合题意； ………………………………………12分 ③12a <<时，()f x 在11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，()min 11ln 0f x f a a a a ⎛⎫
∴==+= ⎪⎝⎭，
解得：a e =，舍去；
综上：2
ln 2
a =． ………………………………………14分
考点：利用导数求函数单调区间，利用导数研究函数最值 【思路点睛】导数与函数的单调性
（1）函数单调性的判定方法：设函数y ＝f （x ）在某个区间内可导，如果f ′（x ）＞0，则
y ＝f （x ）在该区间为增函数；如果f ′（x ）＜0，则y ＝f （x ）在该区间为减函数.
（2）函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法. 19．【答案】解：（I ）由已知可得AM ⊥CD ，又M 为CD 的中点， ∴
； 3分
（II ）在平面ABED 内，过AD 的中点O 作AD 的垂线OF ，交BE 于F 点， 以OA 为x 轴，OF 为y 轴，OC 为z 轴建立坐标系， 可得
，
∴，
，5分
设
为面BCE 的法向量，由
可得=（1，2，﹣
），
∴cos ＜，
＞=
=
，∴面DCE 与面BCE 夹角的余弦值为
4分
20．【答案】
【解析】（1）由0x =，1y =，2z =知，甲、乙、丙3个盒中的球数分别为0，1，2，
此时的概率2
1
3111324
P C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭.
（4分）
21．【答案】（1）x y 82
=；（2）9
64. 【解析】
试题分析：（1）求得椭圆的焦点坐标，连接2MF ，由垂直平分线的性质可得2MF MP =，运用抛物线的定义，即可得到所求轨迹方程；（2）分类讨论：当AC 或BD 中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时，此时四边形ABCD 面积2
2b S =．当直线AC 和BD 的斜率都存在时，不妨设直线AC 的方程为()2-=x k y ，则直
线BD 的方程为()21
--
=x k
y ．分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式可得AC ，
BD ．利用四边形ABCD 面积BD AC S 2
1
=即可得到关于斜率的式子，
再利用配方和二次函数的最值求法，即可得出．
（2）当直线AC 的斜率存在且不为零时，直线AC 的斜率为，),(11y x A ，),(22y x C ，则直线BD 的斜率为k
1
-
，直线AC 的方程为)2(-=x k y ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=148
)2(22y x x k y ，得0888)12(2
222=-+-+k x k x k .111]
∴2
2
21218k
k x x +=+，22212188k k x x +-=. 12)1(324)(1||22212
212++=-+⋅+=k k x x x x k AC .由于直线BD
的斜率为k 1-，用k
1-代换上式中的。

可得2
)
1(32||22++=k k BD .
∵BD AC ⊥，∴四边形ABCD 的面积)
12)(2()1(16||||21222
2+++=⋅=k k k BD AC S .
由于222222
2
]2)1(3[]2)12()2([)12)(2(+=+++≤++k k k k k ，∴9
64≥S ，当且仅当1222
2+=+k k ，即
1±=k 时取得等号.
易知，当直线AC 的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD 的面积8=S . 综上，四边形ABCD 面积的最小值为9
64. 考点：椭圆的简单性质．1
【思路点晴】求得椭圆的焦点坐标,由垂直平分线的性质可得||||2MF MP =,运用抛物线的定义,即可得所求的轨迹方程.第二问分类讨论,当AC 或BD 中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时,四边形面积为2
2b .当直线
AC 和BD 的斜率都存在时,分别设出BD AC ,的直线方程与椭圆联立得到根与系数的关系,利用弦长公式求得
BD AC ,,从而利用四边形的面积公式求最值.
22．【答案】（1）22
143
x y +=；（2）点R 在定直线1x =-上. 【解析】
试
题解析：
（1）由12e =，∴2214e a =，∴22
34a b =
7=
，
解得2,a b ==，所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=
.
设点R 的坐标为00(,)x y ，则由MR RN λ=-⋅，得0120()x x x x λ-=--，
解得112
12
21212011224
424()
41()814
x x x x x x x x x x x x x x x λλ
++
⋅-+++=
==+-+++
+
又221212222
64123224
24()24343434k k x x x x k k k
---++=⨯+⨯=+++，
21222
3224
()883434k x x k k
-++=+=++，从而121201224()1()8x x x x x x x ++==-++， 故点R 在定直线1x =-上.
考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.。