初三几何问题之中点题型

如图,线段AD 是ABC ∆的中线,延长线段AD 至E ,使DE AD =即延长1倍的中线,再连接
BE CE 、;
①总的来说,就可以得到一个平行四边形ABCD 和两对中心选转型全等三角形
ABD ECD ∆≅∆、ACD EBD ∆≅∆,且每对全等三角形都关于点D 中心对称；
②详细地说,就是可以转移角：
BAD CED ∠=∠,CAD BED ∠=∠,ABD ECD ∠=∠,ACD EBD ∠=∠,ADB ECD ∠=∠,ADC EDB ∠=∠；
可以移边：AB EC =,AC EB =；可以构造平行线：AB ∥EC ,AC ∥EB ；可以构造边长与AB 、
AC 、AD 有关的三角形：ABE ∆、ACE ∆;
（1）延k 长倍的中线：0k >且1k ≠
如左右下图,点E 为ABC ∆中线AD DA 延长线上的点,延长AD 至F ,使ED FD =,连接BE 、
CE 、BF 、CF .在平行四边形BFCE 中就可以得到类似1中的结论;
注意：通常在已知条件或结论中测及到与BE 、CE 有关的边与角时,会用这种辅助线. 整体做题思路：⎧⇒⇒⎨
⎩全等三角形中线倍长利用性质解决问题平行四边形
.如图,ABC ∆中,AB AC <,AD 是中线.求证：DAC DAB ∠<∠; 证明：延长AD 到点E 使得AD DE =,联结CE ∵AD 是ABC ∆中线 ∴BD CD =
在ADB ∆和EDC ∆中:
∵ AD DE ADB EDC BD CD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
； ∴ADB ∆≌EDC ∆
例题
∴AB CE
=,DAB E
∠=∠
又∵AB AC
<
∴CE AC
<
∴DAC E
∠<∠
∴DAC DAB
∠<∠
点评：1.比较角度大小,常用两个方法：一是利用三角形的角度关系,将其中一个角表示为另外一个角加上第三个角；二是利同一三角形中大边对大角进行比较大小；
2.倍长中线是常用构造辅助线方法,并再结合同一三角形中大边对大
.如图,已知在ABC
∆中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE AC
=,延长BE交AC于F.求证：AF EF
=;
证明：延长ED到点H使得ED DH
=,联结CH
∵AD是ABC
∆中线
∴BD CD
=
在EDB
∆和CDH
∆中:
∵
DE DH
EDB CDH
BD CD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
；∴EDB
∆≌CDH
∆
∴CH BE
=,BED H
∠=∠
又∵BE AC
=
∴CH AC
=
∴CAD H
∠=∠
∴AEF DEB H CAD ∠=∠=∠=∠
例题
∴AEF CAD ∠=∠ ∴AF EF =
.已知ABC ∆中,12AB =,30AC =,求BC 边上的中线
AD 的范围;
解答：延长AD 到点E 使得AD DE =,联结CE ∵AD 是ABC ∆中线 ∴BD CD =
在ADB ∆和EDC ∆中:
∵ AD DE ADB EDC BD CD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
； ∴ADB ∆≌EDC ∆
∴AB CE =
∴在AEC ∆中,由两边之和大于第三边、两边之差小于第三边,可得： ∴AC AB AE AC AB -<<+ ∴18242AD << ∴921AD <<
点评：求线段的范围,一般利用三角形中“两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”; 1.如图1,在ABC ∆中,5AB AC ==,6BC =,点M 为BC 中点,MN AC ⊥于点N ,则MN 等于C
A ．65
B ．95
C ．
125 D ．165
2.如图,ABC ∆中,=90A ∠,D 为斜边BC 的中点,E 、F 分别为AB 、AC 上的点,且DE DF ⊥,若
3BE =,4CF =,试求EF 的长;
分析：如下图,可以把ED 看作EBC ∆的一条中线;延长ED 至点G ,使DG ED =,连接CG 、FG ;则CDG BDE ∆∆≌；所以3CG BE ==,2B ∠=∠;
例题
A
B
C
E
F
D
,所以=90
垂直平分EG
由勾股定理得2
+
CF
90,直
D,且∠
∠=
DAC
∴∠, ∠=,90
ACB
90
又90
∠+∠,
ACD BCD
∴∠=∠,
BCD ABC
=,
BD CD
==
BD CD
二、出现三角形边上的中点,作中位线
1.中位线：连接三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线；也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线；
以上是中位线的两种作法,第一种可以直接用中位线的性质,第二种需要说明理由为什么是中位线,再用中位线的性质.
2.中位线的性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半；
3.中位线辅助线能起到的作用：
① 在线段大小关系上,三角形的中位线是三角形第三边的一半,起着传递线段长度的功能. ② 在位置上,三角形的中位线平行三角形的第三边,起着角的位置转移和计算角的的功能. 4.通常在以下两种情况下,会作中位线辅助线： ① 有两个或两个以上的中点时；
② 有一边中点,并且已知或求证中涉及到线段的倍分关系时; 熟悉以下两个图形：
.如图,在四边形ABCD 中,AB CD =,点E 、F 分别是BC 、AD 的中点,BA 、CD 的延长线分别交
EF 的延长线G 、H ;求证：BGE CHE ∠=∠;
证明：
证法一：如图1：连结BD ,并取BD 的中点为M ,连结ME 、MF ,
则ME 是BCD ∆的中位线, ∴ME
1
2CD , ∴ MEF CHE ∠=∠ 由MF 是ABD ∆的中位线, ∴ MF 1
2
AB , ∴ MFE BGE ∠=∠, ∵ AB CD =, ∴ ME MF =,∴ MEF MFE ∠=∠,从而BGE CHE ∠=∠;
证法二：如图2,延长GE 到K ,使EK EH =,连结BK 略; 或者延长GE 到K ,使EK GE =,连结CK
例题
也行;其余方法略
已知：如图,ABC ∆中,AB AC =,在AB 上取点D ,在AC 延长线上取点E ,连结DE 交BC 于点F ,若F 是DE 中点,求证：BD CE =;
分析：要证的BD ,CE 不在同一个三角形中,而它们所在的三角形又不是同类三角形,无法证明它们全等,由于F 是DE 的中点,想到利用中点构造中心对称图形或中位线来移动BD 或CE 的位置,把它们集中到同一个三角形中或把不同类三角形转化为同类三角形,使问题得以解决; 证明：
方法一：如图2,过D 作DM CE ∥交BC 于M ,易证DMF ECF ∆∆≌,再证BD DM =; 方法二：如图3,过E 作EG AB ∥交BC 的延长线于G ;易证BDF GEF ∆∆≌,再证： EC EG =;
方法三：如图4,在AC 上取点H ,使CH CE =,连结DH ;则CF 为EDH ∆的中位线; 再证：BD CH =;
方法四: 如图5,在AB 的延长线上取点N ,使BN BD =,连结NE ;则FB 为DNE ∆的 中位线. 再证BN CE =;
方法五: 如图6, 连结BE ,取BE 的中点K ,取BC 的中点M ,连结MK 、KF ;则MK 、 KF 分别为中位线;再证KM KF =,得BD CE =;
图4
F
A
B
C
E
D
H
图3
A
B
C
E
G
D
F
图2
F
A
B
C
E
D
M
例题
图1
F
G B
C
H
E A D
M 图2
F
G
B
C
H
k
E
A D
方法六: 如图7, 连结CD ,取CD 的中点H ,取BC 的中点I ,连结HI 、HF ;则HI 、 HF 分别为中位线; 再证HI HF =,得BD CE =;
.已知如图,ABC ∆中,D 是BC 边的中点,E 是AD 边的中点,连结BE 并延长交AC 于点F ;求证：
2FC AF =;
证明：如图1,过点D 做DG BF ∥,交AC 于G
∵D 是BC 边的中点,DG BF ∥ ∴FG GC =; 同理,AF FG = ∴22AF FG FG GC FC ==+=
即2FC AF =
例7. 如图1-1,已知Rt ABC ∆中,AB AC =,在Rt ADE ∆中,AD DE =,连结EC ,取EC 中点M ,连结DM 和BM ,1若点D 在边AC 上,点E 在边AB 上且与点B 不重合,如图1-1,求证：BM DM =且BM DM ⊥；
2将图1-1中的ADE ∆绕点A 逆时针转小于45的角,如图1-2,那么1中的结论是否仍成立如果不成立,请举出反例；如果成立,请给予证明;
例题例题A
B
C
E
D
F
H
I
图7
F A
B C
E
D
K
M
图6
图5
F
A B C
E
N
D
分析：图1-1中由于点M 为直角三角形斜边EC 的中点,显然要利用斜边中线的性质求解.图1-2中尽管ADE ∆绕点A 进行了旋转,但M 为EC 的中点的条件依然未变,于是仍然可以利用中点还原出中心对称基本图形,使问题得解；另一方面,由于旋转之后直角仍然存在,于是仍可以利用斜边中线及中位线来解决;
证明:1如图2,在Rt ABC ∆和Rt ADE ∆中,∵M 为公共斜边EC 的中点,
∴12
DM EC BM == ∴32∠=∠,65∠=∠ ∵12322∠=∠+∠=∠,45625∠=∠+∠=∠ ∴142(25)90∠+∠=∠+∠= ∴ BM DM =且BM DM ⊥
2成立;
方法一：如图3：延长DM 至F ,使MF DM =,连结CF ,BF ,延长ED 交AC 于N 易证：EMD CMF ∆∆≌
∴DEM FCM ∠=∠ ∴EN FC ∥
∴25455ACB ∠=∠+∠=+∠
∵290190()45BAC αα∠=-∠=-∠+∠=+∠
5
α
4
2
3
1
N F
M
E
B
A
C
D
图3
图2
图1-1 图1-2
∴5α∠=∠
∵AB BC =,AD DE CF ==
∴BAD BCF ∆∆≌ ∴BD BF =,ABD CBF ∠= ∴90DBF ABC ∠=∠=
∵BD BF = ∴BDF ∆为等腰直角三角形 ∵MF DM =
∴BM DM =且BM DM ⊥
方法二:如图4,取AC 的中点F ,取AE 的中点G ,连结MF ,BF ,MG ,DG
∴MF ,MG 为中位线 ∴MF
1
2
AE ,MG 1
2
AC ∵DG 为斜边中线 ∴1
2DG AE =
∴DG MF =;同理,1
2
GM AC BF ==
∴MF AG
∴四边形AFMG 为平行四边形.
∴1234∠+∠=∠+∠,1490∠=∠= ∴23∠=∠ ∴DGM MFB ∆∆≌
∴BM DM =, GMD MBF ∠=∠
∴90GMD BMG MBF BMG ∠+∠=∠+∠= ∴BM DM =且BM DM ⊥
5.如图,ABC ∆中,D 是BC 边的中点,BE AC ⊥于点E ,若30DAC ∠=,求证： 提示：
证法一：如图1,取CE 的中点G , 连结DG ,所以,DG 为中位线,得DG
1
2
BE , 由BE AC ⊥得90AGD ∠=,在ADG ∆中,30DAC ∠=,得1
2
DG AD =
,于是AD BE =;证法二：如图2,取BE 的中点M , 连结DM ,类似法一可证AD BE =;其余方法略
6.如图,已知正方形ABCD 中,点E 、F 分别是BC 、AB 的中点;求证：
AG AD =
提示：
证法一,如图1,延长CF 、DA 交于H ,易证AHF BCF ∆∆≌,得
AH BC AD ==,A 为线段HD 的中点,由CBF DCE ∆∆≌能证明DE CF ⊥,因
此
AG 为直角三角形HGD 斜边中线,所以1
2
AG HD AD =
=; 证法二：如图2,取CD 中点H ,连结AH ,用中位线的性质证明;
图2
A
B
C
E D
M
A
B
C
E D
G 图1 图4
B
C
D
E
G
F
A
图1
B
C D
H
G
F
E
A 图2
B
C
D G
F E
A
H
横向拓展
7.如图,正方形CGEF 的边CG 与正方形ABCD 的边BC 在同一直线上CG BC ＞,连结AE ,取线段AE 的中点M ;探究：线段MD 、MF 的关系,并加以证明;
解答
猜想：MD MF =并且MD MF ⊥
证明：如图1,延长DM 交EF 于点N ,M 是线段AE 的中点,
∴MA ME =;由题意可知： EAD FEM ∠=∠,AMD EMG ∠=∠,得MAD MEG ∆∆≌ ∴MD MN =,AD NE = ∵FG FE =,AD DC = ∴FD FN =
∴DEN ∆为等腰直角三角形,∴MD MF =并且MD MF ⊥;
分钟
1.本节课学习了中点问题的常用图形,以及中位线在几何证明中的应用 2需要掌握常用的辅助性,看到特定的条件要联想到经常使用的方法; 3.几何证明要有理有据,不可以主观臆断 临下课前的结束语建议：
图1
教师：你有哪些收获和感悟。