高中数学《导数的概念与基本运算》教案1 新人教A版选修1-1

导数的概念与基本运算
1．导数的概念
设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，自变量x 在点x 0有增量△x ，函数y ＝f (x )相应有增量
△y ＝f (x 0＋△x )－f (x 0)，比值
x
x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00是函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋△x 的平均变化率。

如果当0→∆x 时，
x
y
∆∆有极限，则称函数y ＝f (x )在点x 0处有导数（又称可导），而这个极限值就叫做函数y ＝f (x )在点x 0处的导数（或变化率），记作f ' (x 0)或y'|0x x =，即
)(x f '=x y
x ∆∆→∆0lim
＝x
x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000。

2．导数概念的某些实际背景
瞬时速度是导数概念的一个物理背景，切线的斜率是导数概念的一个几何背景。

3．求导数的方法
导数应用很广泛，经常需要求导，如果都用定义求一遍，不胜其烦，人们就用定义推导出一些常见函数的导函数，并作为公式加以应用。

教科书上只介绍了两个求导公式：C'=0，
及()n x
'=
（n 为正整数）；两个法则：[f(x)±g(x)]'=f '(x)±g '(x)， [Cf
（x ）]'=C f '(x) 。

根据定义不难证明上述两个法则：
[f(x)±g(x)]'=
=
= ±
=()f x '()g x '±；
()Cf x '⎡⎤⎣⎦0
lim x C ∆→==()Cf x '。

有了这些工具，我们就能求出一切多项式函数的导数了。

另外，∵=≈，
∴当△x 很小时，可把它作为一个简单易记的近似计算公式。

（1）几种常用函数的导数公式如下：
C ′=0（C 为常数）； (x m )′=mx m-1
(m ∈Q)； (sin x )′=cos x ； (cos x )′= -sin x ； (e x )′= e x ； (a x )′= a x
ln a (ln x )′=
x 1； (log a x )′=x
1
log a e （2）两个函数四则运算的导数
(u +v )′=u ′+v ′； (uv )′=v u v u '+'； )0()(2
≠'
-'='v v v u v u v u 。

注意事项
1．在导数的定义中，应注意：
⑴当△x →0时，
x
y
∆∆有极限是函数y ＝f (x )在点x 0处有导数的前提，不可忽视。

⑵函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，是借助于函数的极限来定义的，这时△x 是自变量，
x 0是事先固定好的，是常量，而
x
x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00是△x 的函数，导数f ' (x 0)就是自变量△x 无限趋近于0时，函数
x
y
∆∆的极限。

（3）要注意函数的变化（增量），变化率（增量之比），局部变化率（求增量比的极限）的区别。

2．导数的另一个定义式
令x ＝x 0＋△x ，得△x ＝x －x 0，于是
f ' (x 0)＝00)()(lim
x x x f x f x x --→，它与f ' (x 0)＝x
x f x x f x ∆-∆+→∆)
()(lim 000是一个意思。

3．导数的几何意义
函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ' (x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点M(x 0，f (x 0))处的切线的斜率。

4．导函数与在一点处的导数的区别与联系
在点x 处求得的函数f ' (x )是随着点x 而变的，所以f ' (x )又可以看成x 的一个新的函数，称为原来的函数y ＝f (x )的导函数，简称导数。

函数f (x )的导数仍然是一个函数，而函数f (x )在定点x 0的导数则是一个常数。

f (x )在点x 0处的导数就是导函数f ' (x )在点x 0处的函数值。

导函数简称导数，如不特别指明求某一点处的导数，求导数就是指求导函数。

5．函数的可导性与连续性的关系
函数y ＝f (x )在点x 0处可导，则函数在该点必连续，但反之未必。

即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。

因此若函数f (x )在点x 0处不连续，则f (x )在点x 0处必不可导。

典型例题讲评
例1．n ∈N * ，求函数y=x —n
（x≠0）的导函数 分析：我们现在除了两个基本公式和两个法则之外，只有定义可用，本题应用导数定义无疑。

解： y'==
=
=－
=－=－ .
说明：这与n 为正整数时(x n
)'= 法则相合（即以－n 代n ，即得上式），这会使我们
猜测α∈R 时，
=α
，这个猜测正确与否还需进一步证明，且证明方法肯定与上
面的方程不同（不能再用二项式定理了）.
例2．求证：若函数f (x )在点x 0处可导，则f (x )在点x 0处连续。

分析：运用可导和连续的概念。

解：设x =x 0+△x ，当0x x →时，0→∆x 。

∵函数f (x )在点x 0处可导，∴)(x f '＝x
x f x x f x ∆-∆+→∆)
()(lim
000，
∴[])()()(lim )(lim )(lim 0000
000x f x f x x f x x f x f x x x +-∆+=∆+=→∆→∆→∆ =)]()
()([
lim 0000x f x x
x f x x f x +∆⋅∆-∆+→∆ =)(lim )
()(lim 00000x f x x
x f x x f x x +∆⋅∆-∆+→∆→∆=)(0)(00x f x f +⋅'=f （x 0）。

∴)()(lim 00
x f x f x x =→，即f (x )在点x 0处连续。

例3．物体在地球上作自由落体运动时，下落距离S=
12
gt 2其中t 为经历的时间，g=9.8m/s 2
， 若V==g=9.8m/s ，则下列说法正确的是（ ）
（A ）0～1s 时间段内的速率为9.8m/s. （B ）在1～1+△ts 时间段内的速率为9.8m/s. （C ）在1s 末的速率为9.8m/s
（D ）若△t ＞0，则9.8m/s 是1～1+△ts 时段的速率. 若△t ＜0，则9.8m/s 是1+△ts ～1时段的速率.
分析：本题旨在强化对导数意义的理解，无论是从极限的本质，还是从导数的物理意义考虑，都应选（C ），但值得指出的是：中的△t 可正可负.
答案：（C ）
例4。

求下列函数的导数：
（1）y =(1-x )(1-2x )； （2）y=(5x -4)3
； （3）y =4x
+ x 4
-ln4； （4）y =ln(21x +-x )。

分析：根据函数的四则运算求导法则和复合函数求导法则进行求导。

解：（1）y ′=-(1-2x )-2(1-x )= 4x -3。

说明：也可以先将表达式化为y =1-3x +2x 2
，再求导。

（2）y ′=3(5x -4)2
·5=15(5x -4)2。

（3）y ′=4x ln4 + 4x 3
-0=4x ln4
+ 4x 3。

（4）y ′=
x
x -+211·(
1211212-⋅+x x )=-211
x
+。

例5．定义在（α、β）上的函数f(x)满足f(1)=2，f ' (1)=3. （α＜1＜β）.
（1）求 的值;
（2）求 的值
分析：本题无具体的函数解析式，但所求两极限的形式很象导数的定义，故应该往导数定义
的形式上去凑，这就需要设法把x→1转化为△x→0的形式.
解：（1） ＝＝ （f(x)+2）
f '(1)0
lim x ∆→ [f(1+△x)+2]= f '(1)·(f(1)+2)=3·(2+2)＝12；
（2）＝
()1x +
f '(1)0
lim x ∆→ (1+1)=6.
例6．已知f(x)=(x －a)(x －b)，g(x)=cx+d.（a 、b 、c 、d 为常数），G(x)=f(x)g(x). 求证：G'x=f'xg(x)+f(x)g'(x)
解：f(x)=x 2
－(a+b)x+ab ()f x '=2x －(a+b). ()g x '=c
∴()f x 'g(x)+f(x) ()g x '=[2x －(a+b)](cx+d)+c(x 2
－(a+b)x+ab)=3cx 2
+2(d －ac －
bc)x+abc －ad －bd.
又G(x)=[x 2
－(a+b)x+ab](d+cx)
=cx 3+(d －ac －bc)x 2
+(abc －ab －bd)x+abd.
∴G'(x)=3cx 2
+2(d －ac －bc)x+abc －ad －bd ∴G'(x)= ()f x 'g(x)+f(x) ()g x '.
例7．（1）（1982年·全国高考试题）求y=cos 2
3x
的导数；
（2）（1987年·全国高考附加题）设y = x ln(1+x 2
)，求y ′。

分析：（1）根据复合函数求导法则进行求导。

解：（1）y'=2cos
3x ·(cos 3x )′=-2 cos 3x sin 3x ·(3x )′=-32 os 3x sin 3x =-3
2sin 31x。

（2）y'=ln(1+x 2
)+2
2
12x
x +。

例8．（1）已知函数y =
x
x x x x 4
323--+，求1|='x y
（2）设f (x ) =x x )11(+
，求)2
1
(f '。

分析：（1）先将函数化为几个指数函数的和，再求导；（2）先将f (x )化为以e 为底的复合指数函数，再求)(x f '，最后求值。

解：（1）∵y = 2
31
2
12
3432-
--
--+x
x x
x ，
∴y ′=25
223
21
)23(4)1()21(3232----⋅----⋅+⋅x x x x =25
2
23
21
6233---++-x x x x 。

∴1|='x y =25
2
23
2
116112313---⋅++⋅-⋅=2
17；
(2)∵f (x )= )
11ln(x
x e
+，
∴)(x f '=)
1
1ln(x
x e +[)11ln(x x +]′=x x )11(+[)11ln(x
++x
x x 1112+-
⋅] =x x )11(+[)11ln(x +-11+x ]。

∴)3
23(ln 3)21(-='f 。

说明：第（1）题如果直接用四则运算求导法则求导，将增加运算量。

例9．宽为a 的走廊与另一走廊垂直相连，如果长为8a 的细杆能水平地
通过拐角，向另一走廊的宽度至少是多少？ 解：设细杆与另一走廊一边的夹角为)2
0(πθθ<<，
又设另一走廊的宽为y ，由θθcos 8,cos a a BC a AB -==
知)20(cos sin sin 8sin )(πθθθθθθ<<-==a a BC y 依题意必存在一个适当的θ值使y 最小，
由θ
θθθθθθ2
222cos cos 8cos cos sin cos 8)(a
a a a a y -=+-
='. 令81cos 03=='θ得y ，,3,21cos πθθ==∴ 因为)(θy 只有一个极值，所以它是最小值，这时y=a 33， 即另一走廊的宽度至少是a 33。

例10．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷21）） 已知n a ,0>为正整数.
（Ⅰ）设1)(,)(--='-=n n a x n y a x y 证明；
（Ⅱ）设).()1()1(,,)()(1n f n n f a n a x x x f n n n n n '+>+'≥--=+证明对任意
分析：本例主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力。

证明：（Ⅰ）因为n
k k
n
n
C a x 0)(=∑=-k k
n x a --)(，
所以1
)
(--=-='∑k k
n n
k k
n x
a kC y n
k n 0
=∑=.)()
(11
11------=-n k k n k n a x n x a C （Ⅱ）对函数n
n n a x x x f )()(--=求导数:
∴))()(1(])1()1)[(1()1(1n n n n n a n n n a n n n n f --+>-+-++=+'
+ 即对任意).()1()1(,1n f n n f a n n n '
+>+'≥+ 巩固练习
1．已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x 0∈（a ，b ）则
000
()()
lim
n f x h f x h h
→+--的
值为 （ B ）
A 、f’(x 0)
B 、2 f’(x 0)
C 、-2 f’(x 0)
D 、0 2．f(x)=ax 3+3x 2
+2，若f’(-1)=4，则a 的值为 （ D ）
A ．19/3
B ．16/3
C ．13/3
D ．10/3
3．设f (x )在x =0处有导数，则f ' (0)等于 （ C ）
(A) x
f x f x ∆-∆-→∆)
0()(lim
(B) )]0()([lim 0
f x f x +∆→∆
(C) x
f x f x ∆-∆→∆)
0()(lim 0
(D) x
f x f x ∆+∆→∆)
0()(lim
3．提示：运用导数的定义，选C ，。

4．已知3
)
(32lim ,2)3(,2)3(,)()(lim )(30000
--='=--='→→x x f x f f x x x f x f x f x x x 则的值为（ C ）
A ．－4
B ．0
C ．8
D ．不存在 5．函数0)(x x x f =在处连续是0)(x x x f =在处可导的
（ B ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．不充分不必要条件
6
．
设
y=log a
x
x
-1
(a>0,a ≠1)，则y’=
( D )
A.
)1(1x x - B. )1(1x x -lna C. —)1(1x x -log a e D. )
1(1
x x -log a e
7．关于函数)(x f y =，下列说法中，正确的是 （ A ）
A ．若)(x f 在0x x =处连续，则)(lim )(lim 0
x f x f x x x x +-→→=
B ．若)(x f 在0x x =处连续，则)(x f 在0x x =处可导
C ．若)(x f 在0x x =处有极限，则)(x f 在0x x =处可导
D ．若)(x f 在0x x =处的导数等于0，则)(x f 在0x x =处有极值 8．已知3
)
(32lim ,2)3(,2)3(,)()(lim )(30000
--='=--='→→x x f x f f x x x f x f x f x x x 则的值为（ C ）
A ．－4
B ．0
C ．8
D ．不存在
9．函数y=
x
x
ln 1ln 1+-的导数是 （ C ）
A. —
2)ln 1(2x + B.2)ln 1(2x x + C.—2
)
ln 1(2
x x + D.—2)ln 1(1x x + 10．若函数y=x ·2x
且y’=0 ，则x= ( A )
A.-1/ln2
B.1/ln2
C.-ln2
D.ln2 11．已知f(x)=3x ·sin(x+1)，则f’(1)= （
3
1
sin2+cos2） 12．函数y=
1
14-++x x (x>1)，则y’= （y=
1
1+x -
1
1-x ）
13．21lg x y -=的导数='y _________________ （1
lg 2
-=
'x e
x y ）
14．问a 、b 、c 为何值时，函数⎪⎩
⎪
⎨⎧+=>+=,,0,0,0,)(2c bx x x a x x f 在x =0处可导。

14.提示：根据可导与连续的关系，欲使函数在x =0处可导，则函数在x =0处必连续。

由函数在x =0处必连续的定义可求出a 、c 的值，由函数在x =0处可导可求出b 的值。

解：根据可导与连续的关系，欲使函数在x =0处可导，则函数在x =0处必连续。

由于a a x x f x x =+=++→→)(lim )(lim 2
，c c bx x f x x =+=+-→→)(lim )(lim 0
0，
故应有a =c =f (0)=0。

从而⎪⎩
⎪
⎨⎧<=>=.0,,0,0,0,)(2x bx x x x x f
又∵0lim lim 0)0()(lim 0200===--+++→→→x x x x f x f x x x ，b x
bx
x f x f x x ==----→→00lim 0)0()(lim ，
所以，要使f (x)在x =0处可导，应有b =0。

也就是说，当a =b =c=0时，f (x)在点x =0处可导。

15.当f(x)，g(x)为其它可导函数时，本节例6的结论能否成立？若能成立，请用定义证明；若不能成立，试举一反例说明.
解：结论[f(x)g(x)]'=f'' (x)g(x)+f(x)g'(x)仍成立，证明如下： [f(x)g(x)]'
=
=[g(x+△x )]+[f(x)]
= ()f x 'g(x)+f(x)()g x '.。