【与名师对话】高考数学总复习 2-4 基本不等式及应用课件 文 新人教A版

基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，“一 正”是指各项均为正数； “二定”就是若积为定值则和有最小 值，若和为定值则积有最大值；“三相等”就是必须验证等号 成立的条件，这也是最容易出错的地方，若等号不在给定的区 间内，通常利用函数的单调性求最值．
基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化， 使用基本 不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式， 往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)， 构造出基本不等式的形式再进行求解．
问题探究： 当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时， 如何处理？
提示：若最值取不到可考虑函数的单调性．
1．(2012 年福建)下列不等式一定成立的是
1 2 A．lgx ＋ >lg x(x>0) 4
(
)
1 B． sin x＋ ≥2(x≠kπ，k∈Z) sin x C．x2＋1≥2|x|(x∈R) 1 D. 2 >1(x∈R) x ＋1
1 1 (1)已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证： ＋ ≥4. a b 1 (2)(2012 年湖北)设 a，b，c∈R＋，则“abc＝1”是“ ＋ a 1 1 ＋ ≤a＋b＋c”的 b c A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要的条件 ( )
a＋b 2 2 (a，b∈R)
a＋b a2＋b2 2 ≥ (4) 2 (a，b∈R) 2
(5)
a2＋b2 a＋b 2 ≥ ≥ ab≥ (a>0，b>0) 2 2 1 1 ＋ a b
上述五个不等式等号成立的条件都是 a＝b.
3．利用基本不等式求最值 设 x，y 都是正数， (1)如果积 xy 是定值 P，那么当 x＝y 时和 x＋y 有最小值 2 P. 1 2 x ＝ y (2)如果和 x＋y 是定值 S， 那么当 时积 xy 有最大值4S .
解析：∵x2＋1≥2|x|⇔x2－2|x|＋1≥0， ∴当 x≥0 时，x2－2|x|＋1＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0 成立； 当 x<0 时，x2－2|x|＋1＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0 成立． 故 x2＋1≥2|x|( x∈R)一定成立．
答案：C
2．(2011 年上海)若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中， 恒成立的是 A．a2＋b2>2ab 1 1 2 C. ＋ ≥ a b ab B．a＋b≥2 ab b a D. ＋ ≥2 a b ( )
解析：ab>0，∴a 与 b 同正或同负，∴B，C 不正确．对 b a 任意 a，b∈R，a ＋b ≥2ab，∴选项 A 不正确．∵ >0， >0， a b
2 2
b a ∴ ＋ ≥2 当且仅当 b＝a 时取等号，∴D 正确． a b
答案：D
3．若 x＋2y＝4，则 2x＋4y 的最小值是 A．4 C．2 2 B．8 D．4 2
答案：3
1 x－1· x－1 ＋1＝3.
x y 5． 已知 x， y>0， 且满足3＋4＝1， 则 xy 的最大值为______．
x y 解析：∵x>0，y>0 且 1＝3＋4≥2 x y 当且仅当 ＝ 时取等号． 3 4
答案：3
xy 12，∴xy≤3.
6．某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨， 运费为 4 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元，要使一年的 总运费与总存储费用之和最小，则 x＝________.
(对应学生用书 P24)
1．基本不等式
基本不等式 不等式成立的条件 等号成立的条件 a＋b ab≤ 2
a>0，b>0
a＝b
a＋b 其中 2 为 a，b 的算术平均数， ab为几何平均数，基 本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几
何平均数 ．
2．常用的几个重要不等式 (1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R) b a (2) ＋ ≥ 2 (a，b 同号且不为零) a b (3)ab ≤
考纲要求 1.了解基本不 等式的证明 过程． 2．会用基本 不等式解决 简单的最大 (小)值问题． 3．了解证明 不等式的基 本方统计和分析可以发现，本节主要考查利用基本不 等式求函数的最值．若单纯考查基本不等式，一般难度不大，通常出现在 选择题和填空题中，如 2012 年陕西卷 10；若考查基本不等式的变形，即 通过对代数式进行拆添项或配凑因式，构造出基本不等式的形式再进行求 解，难度就会提升，如 2012 年浙江卷 9，湖北卷 9.对基本不等式的考查， 若以解答题的形式出现时，往往是作为工具使用，用来证明不等式或解决 实际问题．如 2012 年江苏卷 17. a＋b 预测：2013 年高考对本节内容的考查仍将以 ab≤ 的应用为主，题型 2 以选择题、填空题或解答题的形式出现，它的应用范围涉及高中数学很多 章节，且常考常新，但它在高考中却不外乎大小判断、求最值、求取值范 围等．在复习中应予以关注.
400 解析：每年购买次数为 . x 400 ∴总费用＝ · 4＋4x≥2 6 400＝160， x 1 600 当且仅当 ＝4x，即 x＝20 时等号成立，故 x＝20. x
答案：20
(对应学生用书 P24)
1. 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一 种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和 基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特 征是“由因导果”． 2．证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式 时，注意每次等号是否都成立．同时也要注意应用基本不等式 的变形形式．
＋2y
(
)
解析：∵2x＋4y≥2· 2x· 22y＝2· 2x ＝2· 24＝8，
当且仅当 2x＝22y，即 x＝2y＝2 时取等号， ∴2x＋4y 的最小值为 8.
答案：B
1 4．当 x>1 时，求函数 f(x)＝x＋ 的最小值________． x－1
解析：∵x>1，∴x－1>0， 1 1 x＋ ＝(x－1)＋ ＋1≥2 x－1 x－1