以二次函数为例,看初、高中数学学习的区别与联系 (2)

第六章 特殊与一般的思想
关键词 特殊化 一般化
A ．特殊化思想
对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决问题的思想称之为特殊化思想.
B ．一般化思想
当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用来指导解决问题的思想称之为一般化思想.
由特殊到一般,再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一，通过对个例认识与研究，形成对事物的认识，由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。

对数学而言，这种由特殊到一般,再由一般到特殊的研究数学问题的基本认识的过程,就是数学研究的特殊与一般的思想。

在高考中，会设计一些构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程，由特殊到一般进行归纳法猜想和类比法猜想的试题。

1. 特殊化与一般化
【例1】 已知函数1()lg 1x f x x
-=+，若()f a b =，则()f a -= （Ａ）b （Ｂ）b - （Ｃ）1b （Ｄ）1b
-
2. 取特殊数值
【例2】 若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意12,x x R ∈有()()()12121f x x f x f x +=++,则下列说法一定正确的是（ ）
(A) ()f x 为奇函数 （B ）()f x 为偶函数
(C) ()1f x +为奇函数 （D ）()1f x +为偶函数
【例3】 若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是
A ．1122a b a b +
B ．1212a a b b +
C ．1221a b a b +
D ．
12
【例4】 已知)(x f 对一切实数y x ,都有()()()f x y f x f y +=+，且当x ＞0时，)(x f ＜0 证明)(x f 为奇函数且是R 上的减函数.
3．取特殊函数
【例5】定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)1f =，则(3)f -等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
4．取特殊位置
【例6】如图，设三棱柱111ABC A B C -的体积为,,V P Q 分别是侧棱11
,AA CC 上的点，且1PA QC =，则四棱锥B APQC -的体积为 （Ａ）16V （Ｂ）14V （Ｃ）13V （Ｄ）12V
5．取特殊的点 【例7】 已知函数()()12
2(1)
log
1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则()1f x -的图象是（ ）
A B C D
6．由一般到特殊和由特殊到一般
【例8】 已知函数()log (21)(01)x
a f x
b a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（
）
A ．101a b -<<<
B ．101b a -<<<
C ．101b a -<<<-
D ．1101a b --<<<
x
A B
C
A 1
B 1
C 1
P
Q。