2020年河南省安阳市数学高二下期末联考试题含解析

2020年河南省安阳市数学高二(下)期末联考试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．下列四个结论：
①在回归分析模型中，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好；
②某学校有男教师60名、女教师40名，为了解教师的体育爱好情况，在全体教师中抽取20名调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样；
③线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越弱；反之，线性相关性越强；
④在回归方程$0.52y x =+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量$y 增加0.5个单位. 其中正确的结论是（ ） A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．②④
2．如果(
)
12f
x x x +=+，则()f x 的解析式为（ ）
A ．()()2
1f x x x =≥ B ．()()2
10f x x x =-≥
C ．()()211f x x x =-≥
D ．()()2
0f x x
x =≥
3．已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为
A ．1
B ．2
C ．-1
D ．-2
4．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则MN =（ ） A ．2
B ．8
C ．4
D ．10
5．下列导数运算正确的是（ ） A ．1()x x a xa -=' B ．(sin cos )cos 2x x x ='⋅ C ．1
(lg )x x
'=
D ．12()x x --'=
6．若命题22:,421p x ax x a x ∀∈++≥-+R 是真命题，则实数a 的取值范围是 A ．(,2]-∞ B ．[2,)+∞ C ．(2,)-+∞
D ．(2,2)-
7．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为
4
5，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ） A ．
49125
B ．
48125
C ．
1625
D ．
925
8．已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫
⎛⎫=+>∈
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的部分图像如图所示，其||213AB =
()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移2个单位长
度，得到函数()y g x =的图像，则()y g x =的解析式为( )
A ．()2sin
12
g x x π
=-
B ．2()2sin 12
3g x x ππ⎛⎫=-+
⎪⎝⎭
C ．()2sin 12
3g x x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
D ．()2cos
3
g x x π
=
9．设(){},|0,01A x y x m y =
<<<<，
s 为()e 1n
+的展开式的第一项（e 为自然对数的底数），n
m s =
,
若任取(),a b A ∈，则满足1ab >的概率是( )
A ．
2
e
B ．
1e
C ．
e 2
e
- D ．
e 1
e
- 10．已知直线l 1：310ax y +-=与直线l 2：6430x y +-=垂直，则a 的值为（ ）
A ．﹣2
B ．92
-
C ．2
D ．
92
11．设命题甲：关于x 的不等式2240x ax ++>对一切x ∈R 恒成立，命题乙：对数函数42log a y x -=（）在(0,)+∞上递减，那么甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
12．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（ ）
A ．2
B ．4
C ．442+
D ．642+
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．设椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标
原点．若直线PA 与PB 的斜率之积为1
2
-
，则椭圆的离心率为_____． 14．球的表面积是其大圆面积的________倍．
15．若以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点A 的极坐标2,3π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
化成直角坐标为_________.
16．已知平面上1个三角形最多把平面分成2个部分，2个三角形最多把平面分成8个部分，3个三角形最多把平面分成20个部分，
4个三角形最多把平面分成38个部分，5个三角形最多把平面分成62个部分…，以此类推，平面上n 个三角形最多把平面分成 ____________个部分. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．已知矩阵12a M b ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
对应的变换将点()1,2P 变换成()4,5P '． （1）求矩阵M 的逆矩阵1M -； （2）求矩阵M 的特征向量．
18．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 1sin x r y r ϕ
ϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩
（0r >，ϕ为参数），以坐标原
点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()106
π
ρθ++=.若直线l 与曲
线C 相切.
（1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）在曲线C 上任取两点M ，N ，该两点与原点O 构成MON ∆，且满足6
MON π
∠=，求MON ∆面
积的最大值.
19．（6分） [选修4-4：坐标系及参数方程]
已知曲线1C 的参数方程为3cos sin x y α
α
=⎧⎨=⎩（α为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos()4
π
ρθ+
=（1）求曲线2C 的直角坐标方程及曲线1C 上的动点P 到坐标原点O 的距离OP 的最大值； （2）若曲线2C 与曲线1C 相交于A ，B 两点，且与x 轴相交于点E ，求EA EB +的值.
20．（6分）为回馈顾客，新华都购物商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球（球的大小、形状一模一样），球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为40元，其余3个所标的面值均为20元，求顾客所获的奖励额ξ的分布列及数学期望；
（2）商场对奖励总额的预算是30000元，并规定袋中的4个球由标有面值为20元和40元的两种球共同组成，或标有面值为15元和45元的两种球共同组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡．请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由． 提示：袋中的4个球由标有面值为a 元和b 元的两种球共同组成，即袋中的4个球所标的面值“既有a 元又有b 元”．
21．（6分）已知函数()(1)x f x e a x =-+，其中a R ∈.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若0a >时，函数()f x 恰有一个零点，求实数a 的值.
（3）已知数列{}n a 满足1
n a n =，其前n 项和为n S ，求证：ln(1)n S n >+（其中n N ∈）. 22．（8分）已知函数1
()1ln f x x x
=--.
（1）求()f x 的单调区间；
（2）求函数()f x 在1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值；
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】
根据残差的意义可判断①；根据分成抽样特征，判断②；根据相关系数r 的意义即可判断③；由回归方程
的系数，可判断④． 【详解】
根据残差的意义，可知当残差的平方和越小，模拟效果越好，所以①错误； 当个体差异明显时，选用分层抽样法抽样，所以②正确；
根据线性相关系数特征，当相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强，所以③错误； 根据回归方程的系数为0.5，所以当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量$y 增加0.5个单位. 综上，②④正确，故选D. 【点睛】
本题考查了统计的概念和基本应用，抽样方法、回归方程和相关系数的概念和性质，属于基础题． 2．C 【解析】 【分析】
根据配凑法，即可求得()f x 的解析式，注意定义域的范围即可． 【详解】 因为(
)
12f x x x +=+，即(
)(
)
2
111f x x +=
+-
令1t x =
+ ，1t ≥
则()2
1f t t =-，1t ≥ 即()()2
11f x x x =-≥
所以选C 【点睛】
本题考查了配凑法在求函数解析式中的应用，注意定义域的范围，属于基础题． 3．B 【解析】 设切点
，则
，又
，故答案选B 。

4．C 【解析】 【分析】 【详解】
由已知得321143AB k -=
=--，27
341
CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ∆为直角三角形，其外接圆圆心为AC 中点(1,2)-，半径为长为AC
52
=，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，
令0x =，得2y =±，所以MN =C ． 考点：圆的方程． 5．B 【解析】 【分析】 由()'x
x
a
a lna =判断A ；由()()()22
sinxcosx 'sinx 'cosx sinx cosx 'cos x sin x =+=-判断B ；由判断
()1lgx 'xln10
=
判断C ；由()12
x 'x --=-判断D . 【详解】
根据题意，依次分析选项， 对于A ，()x
x
'ln a
a a =，A 错误；
对于B ，()()()2
2
sinxcosx 'sinx 'cosx sinx cosx 'cos x sin x cos2x =+=-=，B 正确；
对于C ，()1
lgx 'xln10
=，C 错误； 对于D ，()1
2
x 'x
--=-，D 错误；故选B ．
【点睛】
本题主要考查指数函数、对数函数与幂函数的求导公式以及导数乘法的运算法则，意在考查对基本公式与基本运算掌握的熟练程度，属于中档题． 6．B 【解析】
因为命题2
2
:421p x R ax x a x ∀∈++≥-+，是真命题，即不等式22421ax x a x ++≥-+对x R ∀∈恒成
立，即()()2
2410a x x a +++-≥恒成立，当a ＋2＝0时，不符合题意，故有200a +>⎧⎨∆≤⎩
，即
2
20164480
a a a +>⎧
⎨--+≤⎩，解得2a ≥，则实数a 的取值范围是[)2,+∞．故选：B ． 7．B 【解析】 【分析】
根据题意得到2
234155p C ⎛⎫⎛⎫
=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，计算得到答案.
【详解】
播下3粒种子恰有2粒发芽的概率2
23
414855125
p C ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭. 故选：B . 【点睛】
本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力. 8．A 【解析】 【分析】
根据条件先求出ϕ和ω，结合函数图象变换关系进行求解即可． 【详解】
解：()02sin 1f ϕ==Q ，即1sin 2
ϕ=
， ,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
Q
56
πϕ∴=
， 则5()2sin 6f x x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
Q
||AB =2
2
224T ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭⎝⎭
， 即2
41316
T +=， 则2
916T =，则34T =，即212T πω==，得6
π=ω，
即5()2sin 6
6f x x ππ⎛⎫=+
⎪⎝⎭
， 把函()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到52sin 12
6y x π
π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
， 再把所得曲线向左平移2个单位长度，得到函数()g x 的图象， 即()()52sin 22sin 2sin 1261212g x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫
=++=+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
，
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查三角函数图象的应用，根据条件求出ω 和ϕ的值以及利用三角函数图象平移变换关系是解决本题的关键，属于中档题． 9．C 【解析】
由题意得，n s e =，则m e =，即0a e <<，01b <<，如图所示，作曲线()1
01a
b b
=
<<，交直线1,b a e ==于点()11A ，，1,B e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则满足事件1ab >的实验区域为曲边形ABC ，其面积为
1
11112e
S e dx e e x ⎛⎫
=⋅--=- ⎪⎝⎭⎰，所以所求概率为221e e P e e
--==⨯，故选C.
10．A 【解析】 【分析】
根据两直线垂直的条件，得到6340a ⨯+⨯=，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，直线l 1：310ax y +-=与直线l 2：6430x y +-=垂直， 则满足6340a ⨯+⨯=，解得2a =-，故选A. 【点睛】
本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线垂直的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 11．A 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：若x 的不等式2240x ax ++>对一切x ∈R 恒成立，则2
(2)440a -⨯<，解得22a -<<；
42log a y x -=（）在(0,)+∞上递减，则0421a <-<，解得
3
22
a <<，易知甲是乙的必要不充分条件，故选B.
考点：1.充分条件与充要条件；2.二次函数与对数函数的性质. 12．A 【解析】
【分析】
根据三视图的特点可以分析该物体是一个直三棱柱，即可求得体积. 【详解】
由三视图可得该物体是一个以侧视图为底面的直三棱柱， 所以其体积为1
21222
⨯⨯⨯=. 故选：A 【点睛】
此题考查三视图的认识，根据三视图求几何体的体积，关键在于准确识别三视图的特征. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．
2
． 【解析】 【分析】
设点P 的坐标为()00,x y ，代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求离心率． 【详解】
设点P 的坐标为()00,x y ． 由题意，有22
00221x y a b
+=，①
由A （﹣a ，0），B （a ，0），得00AP y k x a =
+，0
0BP y k x a
=-． 由12
AP BP k k ⋅=-
，可得222
002x a y =-， 代入①并整理得(
)22
20
20a b
y
-=．
由于00y ≠，故222a b =，于是222
2
1
2
a b e a -==，
∴椭圆的离心率2
e =
．
． 【点睛】
本题考查椭圆的方程和性质，考查椭圆离心率的求法，是中档题．求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c
e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合
222b a c =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围). 14．4 【解析】 【分析】
设球的半径为R ，可得出球的表面积和球的大圆面积，从而可得出结果. 【详解】
设球的半径为R ，则球的表面积为24R π，球的大圆面积为2R π， 因此，球的表面积是其大圆面积的4倍，故答案为：4. 【点睛】
本题考查球的表面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
15． 【解析】 【分析】
利用极坐标化直角坐标公式将点A 的极坐标化为直角坐标. 【详解】
由题意可知，点A 的横坐标为12cos
213
2π
=⨯
=，纵坐标为2sin 23π==
因此，点A 的直角坐标为(，故答案为(. 【点睛】
本题考查点的极坐标化直角坐标，解题时要熟悉极坐标与直角坐标的互化公式，考查计算能力，属于基础题.
16．2332n n -+ 【解析】 【分析】
设面上n 个三角形最多把平面分成n a 个部分，归纳出16(1)n n a a n --=-，利用累加法的到答案. 【详解】
设面上n 个三角形最多把平面分成n a 个部分.
123452,8,20,38,62a a a a a ===== 21661a a -==⨯
321262a a -==⨯ 431863a a -==⨯ 542464a a -==⨯
归纳：16(1)n n a a n --=- 利用累加法：
112211()()...()6(1)6(2)...62n n n n n a a a a a a a a n n ---=-+-++-+=-+-+++ 2332n n n a -+=
故答案为：2332n n -+ 【点睛】
本题考查了归纳推理，累加法，综合性强，意在考查学生归纳推理和解决问题的能力. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．（1）1
21331233M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
；（2）11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦和11⎡⎤⎢⎥⎣⎦.
【解析】 【分析】
（1）由题中点的变换得到411522a b ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤
=⋅⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，列方程组解出a 、b 的值，再利用逆矩阵变换求出1M -； （2）求出矩阵M 的特征多项式，解出特征根，即可得出特征值和相应的特征向量. 【详解】
（1）由题意得411522a b ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2445a b +=⎧⎨+=⎩，解得21
a b =⎧⎨=⎩，2112M ⎡⎤
∴=⎢⎥⎣⎦， 由于矩阵()0m n my nz x y ⎡⎤
-≠⎢⎥⎣⎦
的逆矩阵为y
n my nz my nz x m my nz my nz -⎡⎤
⎢⎥
--⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣
⎦
， 因此，矩阵2112M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
的逆矩阵为1
21331233M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
；
（2）矩阵2112M ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦
的特征多项式为()()2212112f λλλλ--==----，
解特征方程()0f λ=，得1λ=或3.
①当1λ=时，由2112x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得22x y x x y y +=⎧⎨+=⎩，即0x y +=，
可取1x =，则1y =-，即属于1的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
；
②当3λ=时，由21312x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⋅=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得2323x y x x y y +=⎧⎨+=⎩
，即0x y -=， 可取1x =，则1y =，即属于3的一个特征向量为11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
综上，矩阵M 的特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦和11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题考查矩阵的变换和逆矩阵的求法，考查矩阵的特征值和特征向量的求法，考查方程思想与运算能力，属于中等题.
18．（1）4sin()3
π
ρθ=+；（2）2+
【解析】 【分析】
（1）由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，列方程求解,进而由直角坐标转化为极坐标即可； （2）设()1,M ρθ，2,6N πρθ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
（10ρ>，20ρ>，23
3
π
πθ-
<<
），由1211sin 4sin sin 26432MON S OM ON πππρρθθ∆⎛
⎫⎛⎫=
==++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，展开利用三角函数求最值即可. 【详解】
（1）由题意可知，直线l 20y -+=.
曲线C 是圆心为
)
，半径为r 的圆，由直线l 与曲线C 相切可得2r =
=.
可知曲线C 的直角坐标方程为(()2
2
14x y +-=.
所以曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，即4sin 3πρθ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
. （2）由（1）不妨设()1,M ρθ，2,6N πρθ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭（10ρ>，20ρ>，233
ππ
θ-<<
）.
1211
sin 264
MON S OM ON πρρ∆=
=
24sin sin 2sin cos 32ππθθθθθ⎛
⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
sin2θθ=++
2sin 23πθ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭当12
π
θ=
时，MON ∆
面积的最大值为2.
【点睛】
本题主要考查了直角坐标与极坐标的互化，考查了极坐标系下三角形的面积公式，考查了三角函数的最值问题，属于中档题.
19．（1）20x y --=，max ||3OP =（2
）EA EB += 【解析】
【试题分析】(I)将2C 方程展开后化为直角坐标方程,利用勾股定理求得OP 的长度并求得其最大值.(II)求出直线的参数方程,代入椭圆方程,利用直线参数的几何意义求得EA EB +的值. 【试题解析】
（Ⅰ）由cos 4πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
得ρθθ⎫-=⎪⎪⎝⎭
即曲线2C 的直角坐标方程为20x y --=
根据题意得OP ==，
因此曲线1C 上的动点P 到原点O 的距离OP 的最大值为max ||3OP =
（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线20x y --=与x 轴交点E 的坐标为()2,0，曲线2C 的参数方程
为
:()22x t y t
⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
为参数，曲线1C 的直角坐标方程为2219x y +=
联立得2550t +-=……8分 又12EA EB t t +=+， 所以
12EA EB t t +=-=
=
20．（1）分布列见解析；期望为50；（2）应该选择面值设计方案“20,20,40,40”，即标有面值20元和
面值40元的球各两个 【解析】 【分析】
（1）设顾客获得的奖励额为ξ，随机变量ξ的可能取值为40,60,分别求出对应概率，列出分布列并求出期望即可；（2）分析可知期望为60元，讨论两种方案：若选择“20,20,20,40”的面值设计，只有“20,20,40,40”的面值组合符合期望为60元，求出方差；当球标有的面值为15元和45元时，面值设计是“15,15,45,45”符合期望为60元，求出方差，比较两种情况的方差，即可得出结论. 【详解】
解：（1）设顾客获得的奖励额为ξ，随机变量ξ的可能取值为40,60.
23241(40)2C P C ξ=== ，11
13241
(60)2
C C P C ξ===，
所以X 的分布列如下：
所以顾客所获的奖励额的期望为11
()406050.22
E ξ=⨯
+⨯= （2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为3000050060÷=元. 所以可先寻找使期望为60元的可能方案： 当球标有的面值为20元和40元时，
若选择“20,20,20,40”的面值设计，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60； 若选择“40,40,40,20”的面值设计，因为60元是面值之和的最小值，所以期望不可能为60. 因此可能的面值设计是选择“20,20,40,40”，
设此方案中顾客所获得奖励额为1X ，则1X 的可能取值为40,60,80.
221241(40)6C P X C ===，11221242(60)3C C P X C ===，2
21241
(80)6
C P X C ===.
1X 的分布列如下：
所以1X 的期望为1121
()40608060.636E X =⨯
+⨯+⨯= 1X 的方差为2221121400
()(4060)(6060)(8060).6
3
6
3
D X =-⨯+-⨯+-⨯=
当球标有的面值为15元和45元时，同理可排除“15,15,15,45”、“ 45,45,45,15”的面值设计， 所以可能的面值设计是选择“15,15,45,45”，
设此方案中顾客所获的奖励额为2X ，则2X 的可能取值为30,60,90.
222241(30)6C P X C ===，11222242(60)3C C P X C ===，222241
(90)6
C P X C ===.
2X 的分布列如下：
所以2X 的期望为2121
()3060+9060.636E X =⨯
+⨯⨯= 2X 的方差为2222121()(3060)(6060)+(9060)300.6
3
6
D X =-⨯+-⨯-⨯=
因为1212()()()()E X E X D X D X =<， 即两种方案奖励额的期望都符合要求，
但面值设计方案“20,20,40,40”的奖励额的方差要比面值设计方案“15,15,45,45”的方差小， 所以应该选择面值设计方案“20,20,40,40”，即标有面值20元和面值40元的球各两个. 【点睛】
本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了期望与方差的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题. 21．（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增，当0a >时，()f x 在[ln ,)a +∞上单调递增，在(,ln ]a -∞上单调递减；（2）1a =；（3）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）求出()x
f x e a '=-，然后分0a ≤和0a >两种情况讨论
（2）由（1）中的结论，要使()f x 恰有1个零点，只需函数()f x 的最小值为0
（3）由（1）知，当1a =时，min ()(1)()0x
f x e x f x =-+≥=，即(1)(0)x
e x x >+≠，然后可得111
1n
n e n n
+>
+=
，由此可证明111112311n n e n +++++->+L ，然后两边同时取对数即可 【详解】
（1）()x
f x e a '=-
当0a ≤时，()0f x '>，从而()f x 在R 上单调递增； 当0a >时，()0ln f x x a '>⇒>，()0ln f x x a '<⇒< 从而()f x 在[ln ,)a +∞上单调递增，在(,ln ]a -∞上单调递减
（2）由（1）知，当0a >时()f x 在[ln ,)a +∞上单调递增，在(,ln ]a -∞上单调递减， 要使()f x 恰有1个零点，只需函数()f x 的最小值为0， 即min ()(ln )0f x f a ==，解得1a =
（3）由（1）知，当1a =时，min ()(1)()0x
f x e x f x =-+≥=，即(1)(0)x
e x x >+≠ 令1x n =，得1
111n n e n n
+>+=
则1
21e >，1232e >，1343e >，…，111
n n e n ->-，11n n e n +> 11111
31
22341
1231n n
n n e e e e
e n n
-+⋅⋅⋅⋯⋅⋅>
⋅⋅⋅⋯⋅⋅
- 即111112311n n
e
n +++++->+L
两边取以e 为底的对数得：1111
1ln(1)231n n n
+++⋯++>+- 【点睛】
本题考查的是利用导数研究函数的单调性、零点个数及证明不等式，属于较难题. 22． (1) 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减.(2) 最大值为0，最小值为2e -. 【解析】 【分析】
通过求导函数2
1'()x f x x -=判断函数单调性，进而判断函数()f x 在1,1e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的最值. 【详解】
（1）
11
()ln 1ln x f x x x x x
-=
-=--的定义域为(0,)+∞. 对()f x 求导得22111'()x
f x x x x
-=
-=， 因函数定义域有0x >，故'()001f x x >⇔<<，由'()01f x x <⇔>. ∴1
()1ln f x x x
=-
-在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减. （2）由（1）得()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，在[1,]e 上单调递减，
∴()f x 在1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
上的最大值为1
(1)1ln101f =--=.
又111ln 2f e e e e ⎛⎫
=--=-
⎪⎝⎭，11()1ln f e e e e =--=-，且1()f f e e ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
， ∴()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为12f e e ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，
∴()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值为0，最小值为2e -.
【点睛】
此题是函数单调性和函数最值的常见题，通常利用导数来处理．。