2020年河南省开封市新世纪高级中学高三数学理模拟试卷含解析

2020年河南省开封市新世纪高级中学高三数学理模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设函数，则下列结论错误的是（）
A. D（x）的值域为{0,1}
B. D（x）是偶函数
C. D（x）不是周期函数
D. D（x）不是单调函数
参考答案：
C
略
2. 设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）
A．（1，2）B．[1，2] C．[1，2）D．（1，2]
参考答案：
D
【考点】对数函数的定义域；交集及其运算．
【分析】解指数不等式求出集合A，求出对数函数的定义域即求出集合B，然后求解它们的交集．【解答】解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，
由x﹣1＞0得x＞1
∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}
∴A∩B={x|1＜x≤2}
故选D．
3. 设复数z满足z（1+i）=2，i为虚数单位，则复数z的虚部是（）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
参考答案：
B
【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由z（1+i）=2，得，∴复数z的虚部是﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
4. 设定义域为的单调函数，对任意的，都有,若是方程
的一个解，则可能存在的区间是
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
参考答案：
B
略
5. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )
A. B.
C. D.
参考答案：
C
所求几何体为一个圆柱体和圆锥体构成.其中圆锥的高为.体积
=.选C.
6. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）
A．[，1] B．[，1] C．[，] D．[，1]
参考答案：
B
【分析】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是
∪．再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出．【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是
∪．
不妨取AB=2．
在Rt△AOA1中，==．
sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=，=1．
∴sinα的取值范围是．
故选：B．
7. 某班准备从含甲、乙的7名男生中选取4人参加米接力赛，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们在赛道上顺序不能相邻，那么不同的排法种数为
A. 360
B. 520
C. 600
D. 720 参考答案：
C
略
8. 若，则关于x的不等式的解集为（）
A. B. C. ? D. R
参考答案：
D
【分析】
根据求得的取值范围，由此求得不等式的解集.
【详解】原不等式可化为，由于，故，根据绝对值的定义可知恒成立，故原不等式的解集为.故选D.
【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的运算，属于基础题.
9. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a10+a12为一确定的常数，则下列各式中，也为确定的常数的是（）
A．S13 B．S15 C．S17 D．S19
参考答案：
B
略
10. （5分）已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
参考答案：
A
考点：不等式比较大小．
专题：不等式的解法及应用．
分析： 由函数y=2x 在R 上是增函数可得a ＞b ＞20
=1，再由c=2log 52=log 54＜log 55=1，从而得到a ，b ，c 的大小关系
解答： 解：由于函数y=2x 在R 上是增函数，a=21.2，b=（）﹣0.8 =20.8，1.2＞0.8＞0， ∴a＞b ＞20=1．
再由c=2log 52=log 54＜log 55=1， 可得 a ＞b ＞c ， 故选A ．
点评： 本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设，向量，，若，则______________ .
参考答案：
2 略
12. 若平面向量
满足
且
,则
的最大值
为
.
参考答案：
13. 定义在R 上的函数
满足
，
，且
时，
则
____________.
参考答案： -1
14. 已知椭圆
的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为
、
、
、F ，延长
与
交于点P ，若
为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为 _____________．
参考答案：
15. （2015春?黑龙江期末）已知平面向量=（2，4），
，若
，则
||= ．
参考答案：
8
考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用．
分析： 由已知求出的坐标，然后进行模的计算． 解答： 解：
， ∴，
∴
，
∴
故答案为：8
．
点评： 本题考查了平面向量的坐标运算以及向量模的求法；属于基础题．
16. 由直线y=x+1上的一点向圆（x ﹣3）2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为__________．
参考答案：
考点：圆的切线方程；直线和圆的方程的应用．
分析：从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小．
解答： 解：从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理， 显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小．
圆心到直线的距离为：．
切线长的最小值为：，
故答案为：
点评：本题考查直线和圆的方程的应用，圆的切线方程，考查转化的数学思想，是基础题
17. 的展开式中的系数等于8，则实数_________．
参考答案：
中含的一项为，令，则，即．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的，满足关系式
(1）求数列的通项公式；
(2）设数列的通项公式是，前项和为，求证：对于任意的正整数，总有
参考答案：
解（1）由已知得
故
即
故数列为等比数列，且
又当时，
而亦适合上式
-----------------------------------6分 (2）
所以
--------------------------------12分
略
19. （本小题满分12分）
在边长为的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
参考答案：
设箱底边长为，则无盖的方底箱子的高为，……………1分
其体积为，则………5分
，令，得，解得，……………8分当时，；当时，.…………………………10分
所以函数在时取得极大值，结合实际情况，这个极大值就是函数的最大
值.，……………………………………11分
答：当箱底边长为时，箱子容积最大，最大容积是.………………12分
20. （本小题12分）已知在中，角A、B、C的对边长分别为，已知向量
，且，
（1）求角C的大小；
（2）若，试求的值。

参考答案：
解：（1）由题意得：
即，由正弦定理得
，再由余弦定理得
……………6分
（2）方法一：，，即从而，即
即，从而
=……………12分
方法二：设R为外接圆半径，
=
方法三：
，21. （本小题满分12分）在中，为锐角，角所对的边分别为，且
（I）求的值；
（II）若，求的值。

参考答案：
解（I）∵为锐角，
∴ ……2分
4分
∵
∴ …………………………………………6分
（II）由（I）知，∴ 7分
由得
，即 9分
又∵
∴∴
∴…………………………………………12分
略
22. 如图，在棱长为1的正方体ABCD—中，E是BC的中点，平面交于点
F.
（Ⅰ）指出点F在上的位置，并证明；
（Ⅱ）判断四边形的形状,并求其面积；
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
参考答案：
（本小题满分12分）
解: （Ⅰ）F为上的中点.
证明如下:
取上的中点F,连接DF, ED,
,
平面交于的中点F . ------------------4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平行四边形. 又
,,.
. --------8分（Ⅲ）过F作与H,连结EH,则,且
. ------12分略。