四川省眉山市仁寿一中2017届高三数学三模试卷文科 含

2017年四川省眉山市仁寿一中高考数学三模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项目符合题目要求的.
1．已知全集U={1，2，3，4，5}，M={3，4，5}，N={2，3}，则集合（∁U N）∩M=（）A．{2} B．{1，3} C．{2，5} D．{4，5}
2．已知i是虚数单位，则复数的虚部为（）
A．﹣ B．C．﹣ i D． i
3．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待时间大于10分钟的概率为（）
A．B．C．D．
4．已知两组数据x，y的对应值如下表，若已知x，y是线性相关的且线性回归方程为：，
经计算知：，则=（）
A．﹣0.6 B．0.6 C．﹣17.4 D．17.4
5．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）
A．4 B．5 C．2 D．3
6．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．2 B．1 C．D．
7．函数 f（x）=的大致图象是（）
A．B．
C．
D．
8．记等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=2，S6=18，则等于（）
A．﹣3 B．5 C．﹣31 D．33
9．已知圆C：（x﹣）2+（y﹣1）2=1和两点A（﹣t，0），B（t，0），（t＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则t的最大值是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．定义运算： =a1a4﹣a2a3，将函数f（x）=（ω
＞0）的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则ω的最小值是（）
A．B．C．2 D．
11．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|=6，
P是E右支上一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆在边AF2上的切点为Q，若|AQ|=，则E的离心率是（）
A．2B．C．D．
12．设函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=a
有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则+的取值范围是（）
A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，3）C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知向量=（m，1）与向量=（4，m）共线且方向相同，则m的值为．
14．若不等式组满足，则z=2x+y的最大值为．
15．已知A，B，C三点都在体积为的球O的表面上，若AB=4，∠ACB=30°，则球心O到平面ABC的距离为．
16．若数列{a n}是正项数列，且+++…+=n2+n，则
++…+= ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑．
17．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且b=acosC+csinA，（1）求角A的值；
（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．
18．已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查．抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：
成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42人．
（1）在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；
（2）在地理成绩及格的学生中，已知a≥10，b≥7，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．
19．如图，PA⊥平面ABCD，矩形ABCD的边长AB=1，BC=2，E为BC的中点．
（1）证明：PE⊥DE；
（2）已知PE=，求A到平面PED的距离．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（1，），离心率为，点A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点P（x1，y1），Q（x2，y2）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）当⊥=0时，求△OPQ面积的最大值．
21．已知函数f（x）=lnx﹣（1+a）x﹣1
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a＜1时，证明：对任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜﹣﹣a（x+1）．22．以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，
已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），曲线C的
极坐标方程ρ=．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，已知定点P（），当α=时，求|PA|+|PB|的值．
23．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|，（m＞0）
（I）证明：f（x）≥4
（II）若f（1）＞5，求m的取值范围．
2017年四川省眉山市仁寿一中高考数学三模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项目符合题目要求的.
1．已知全集U={1，2，3，4，5}，M={3，4，5}，N={2，3}，则集合（∁U N ）∩M=（ ） A ．{2} B ．{1，3} C ．{2，5} D ．{4，5} 【考点】1H ：交、并、补集的混合运算． 【分析】求出N 的补集，然后求解交集即可．
【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，N={2，3}，则集合∁U N={1，4，5}，M={3，4，5}， 集合（∁U N ）∩M={4，5}． 故选：D ．
2．已知i 是虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A ．﹣
B ．
C ．﹣
i D ．
i
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵ =，
∴的虚部为
．
故选：A ．
3．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待时间大于10分钟的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】CF ：几何概型．
【分析】由电台整点报时的时刻是任意的知这是一个几何概型，电台整点报时知事件总数包含的时间长度是60，而他等待的时间大于10分钟的事件包含的时间长度是50，代入数据，
得到结果
【解答】解：由题意知这是一个几何概型，
∵电台整点报时，
∴事件总数包含的时间长度是60，
∵满足他等待的时间大于10分钟的事件包含的时间长度是50，
由几何概型公式得到P=，
故选：B．
4．已知两组数据x，y的对应值如下表，若已知x，y是线性相关的且线性回归方程为：
，经计算知：，则=（）
A．﹣0.6 B．0.6 C．﹣17.4 D．17.4
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】求出、，线性回归方程为：，必经过点（），即
得．
【解答】解： =，
线性回归方程为：，必经过点（），即9=﹣1.4×6+，则
=17.4
故选：D
5．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）
A．4 B．5 C．2 D．3
【考点】E8：设计程序框图解决实际问题．
【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，A，S的值，当S=时，满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4，从而得解．
【解答】解：模拟执行程序，可得
a=1，A=1，S=0，n=1
S=2
不满足条件S≥10，执行循环体，n=2，a=，A=2，S=
不满足条件S≥10，执行循环体，n=3，a=，A=4，S=
不满足条件S≥10，执行循环体，n=4，a=，A=8，S=
满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4．
故选：A．
6．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．2 B．1 C．D．
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】由题意可知图形的形状，求解即可．
【解答】解：本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为
．
7．函数 f（x）=的大致图象是（）
A．B．
C．
D．
【考点】4A：指数函数的图象变换．
【分析】利用排除法，取特殊值验证即可
【解答】解：∵f（x）=，
当x=0时，f（0）=﹣3，故排除AB
当x=时，f（）=0，故排除D，
故选：C
8．记等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=2，S6=18，则等于（）
A．﹣3 B．5 C．﹣31 D．33
【考点】8G：等比数列的性质．
【分析】先由题设条件结合等比数列的前n项和公式，可以求出公比q，然后再利用等比数列
前n项和公式求．
【解答】解：根据题意，S3=2，S6=18，易得q≠1；
∵S3=2，S6=18，
∴，∴q=2．
∴==．
故选D．
9．已知圆C：（x﹣）2+（y﹣1）2=1和两点A（﹣t，0），B（t，0），（t＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则t的最大值是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】J9：直线与圆的位置关系．
【分析】（x﹣）2+（y﹣1）2=1的圆心C（，1），半径r=1，设P（a，b）在圆C
上，则=（a+t，b），=（a﹣t，b），由已知得t2=a2+b2=|OP|2，t的最大值即为|OP|的最大值．
【解答】解：圆C：（x﹣）2+（y﹣1）2=1的圆心C（，1），半径r=1，
设P（a，b）在圆C上，则=（a+t，b），=（a﹣t，b），
∵∠APB=90°，∴⊥，
∴•=（a+t）（a﹣t）+b2=0，
∴t2=a2+b2=|OP|2，
∴t的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|+r=2+1=3．
故选：C．
10．定义运算： =a1a4﹣a2a3，将函数f（x）=（ω
＞0）的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则ω的最小值是（）
A．B．C．2 D．
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；GI：三角函数的化简求值．
【分析】利用三角恒等变换，化简f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的奇偶性、诱导公式，求得ω的最小值．
【解答】解：将函数f（x）==cosωx﹣sinωx=2sin（
﹣ωx）=﹣2sin（ωx﹣）的图象向左平移个单位，
可得函数y=﹣2sin（ωx+﹣）的图象，根据所得图象对应的函数为奇函数，
可得﹣=kπ，k∈Z，故当k=0时，ω取得最小值为，
故选：A．
11．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|=6，
P是E右支上一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆在边AF2上的切点为Q，若|AQ|=，则E的离心率是（）
A．2B．C．D．
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】由双曲线的定义和内切圆的切线性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合离心率公式即可得到所求值．
【解答】解：设△PAF2的内切圆在边PF2上的切点为M，在AP上的切点为N，
则|PM|=|PN|，|AQ|=|AN|=，|QF2|=|MF2|，
由双曲线的对称性可得|AF1|=|AF2|=|AQ|+|QF2|=+|QF2|，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=|PA|+|AF1|﹣|PM|﹣|MF2|
=+|QF2|+|AN|+|NP|﹣|PM|﹣|MF2|
=2=2a，解得a=，
又|F1F2|=6，即有c=3，
离心率e==．
故选：C．
12．设函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=a
有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则+的取值范围是（）
A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，3）C．
【考点】5B：分段函数的应用．
【分析】作出函数f（x）的图象，由图象可得x1+x2=﹣4，x3x4=1；1＜x4≤4；从而化简
+，再利用函数的单调性求出它的取值范围．
【解答】解：作出函数f（x）的图象，
由图可知，x1+x2=﹣4，x3x4=1；
当|log2x|=2时，x=4或x=，
则1＜x4≤4
故+=+=+x4，
其在1＜x4≤4上是增函数，
故﹣4+1＜+x4≤﹣1+4；
即﹣3＜+x4≤3；
即+的取值范围是（﹣3，3]，
故选：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知向量=（m，1）与向量=（4，m）共线且方向相同，则m的值为 2 ．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：向量=（m，1）与向量=（4，m）共线，∴m2﹣4=0，解得m=±2．
经过验证m=﹣2时方向相反．
因此m=2．
故答案为：2．
14．若不等式组满足，则z=2x+y的最大值为 6 ．
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用目标函数的几何意义，求出目标函数的最值，即可求解比值．
【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：
由z=2x+y可得y=﹣2x+z，则z表示直线z=2x+y在y轴上的截距，截距越大，z越大，
由可得A（2，2），
当直线z=2x+y过A（2，2）时，Z取得最大值6，
故答案为：6．
15．已知A，B，C三点都在体积为的球O的表面上，若AB=4，∠ACB=30°，则球心O到平面ABC的距离为 3 ．
【考点】M1：空间向量的概念．
【分析】设球的半径为R，则=，解得R．设△ABC的外接圆的半
径为r，2r=，解得r．可得球心O到平面ABC的距离d=．
【解答】解：设球的半径为R，则=，解得R=5．
设△ABC的外接圆的半径为r，2r===8，解得r=4．
∴球心O到平面ABC的距离d===3．
故答案为：3．
16．若数列{a n}是正项数列，且+++…+=n2+n，则
++…+= ．
【考点】8H：数列递推式．
【分析】+++…+=n2+n，n=1时，a1=4．n≥2时，
+++…+=（n﹣1）2+（n﹣1），相减可得： =2n，即
a n=4n2. = =．即可得出．
【解答】解：∵ +++…+=n2+n，
∴n≥2时， +++…+=（n﹣1）2+（n﹣1），
∴=n2+n﹣=2n，
∴a n=4n2．
n=1时， =2，可得a1=4，对于上式也成立．
∴==．
则
++…+=+…
+
=
=．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑．
17．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且b=acosC+csinA，（1）求角A的值；
（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】（1）由正弦定理得：
，即
，化简得：
，解得A=．
（2）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA⇒4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，即bc≤4，故
．
【解答】解：（1）在三角形ABC中，因为，
由正弦定理得：，即
化简得：
因为sinC≠0，所以
因为A∈（0，π），所以A=…
（2）因为a=2，，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA⇒4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，即bc≤4，当且仅当b=c时取等号．
故，
所以，当三角形为等边三角形时，三角形的面积有最大值为…
18．已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查．抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：
成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42人．
（1）在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；
（2）在地理成绩及格的学生中，已知a≥10，b≥7，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）由该样本中，数学成绩优秀率是30%，能求出a，b的值．
（2）在地里及格学生中，a+b=31，再由∵a≥10，b≥7，利用列举法能求出数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．
【解答】（本小题满分为12分）
解：（1）∵该样本中，数学成绩优秀率是30%，
∴，
解得a=14，b=100﹣30﹣（20+18+4）﹣（5+6）=17…
（2）在地里及格学生中，a+b=100﹣（7+20+5）﹣（9+18+6）﹣4=31…
∵a≥10，b≥7，∴a，b的搭配有：
（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），
（17，14），（18，13），（19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8），
（24，7）（22，9），（23，8），（24，7），共有15种…
记“数学成绩优秀的人数比及格的人数少”为事件A，可得7+9+a＜5+6+b，即a+5＜b．事件A包括：（10，21），（11，20），（12，19），共3个基本事件；…
所以，数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率P（A）==．…
19．如图，PA⊥平面ABCD，矩形ABCD的边长AB=1，BC=2，E为BC的中点．
（1）证明：PE⊥DE；
（2）已知PE=，求A到平面PED的距离．
【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（1）连结AE，证明DE⊥AE，结合DE⊥PA得出DE⊥平面PAE，故DE⊥PE；（2）利用V P﹣ADE=V A﹣PDE，列方程求出A到平面PED的距离．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，E为BC的中点，
∴BE=EC=1，∴△ABE与△ECD为等腰直角三角形，
∴∠AEB=∠DEC=45°，∴∠AED=90°，即DE⊥AE，
∵PA⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD，
∴PA⊥DE，又AE∩PA=A，
∴DE⊥平面PAE，∵PE⊂平面PAE，
∴DE⊥PE．
（2）解：∵PE=，AE=AB=，∴PA==2，
∴V P﹣ADE===，
又S△PDE===，
设A到平面PED的距离为h，则V A﹣PDE==，
∵V P﹣ADE=V A﹣PDE，
∴=，解得h=．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（1，），离心率为，点A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点P（x1，y1），Q（x2，y2）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）当⊥=0时，求△OPQ面积的最大值．
【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）将点代入椭圆方程，根据椭圆的离心率公式，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）分类讨论．当直线l的斜率不存在时，求得P，Q点坐标，由⊥=0即可求得m的值，求得丨PQ丨，即可求得△OPQ面积；
当直线l的斜率存在，且不为0，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式及向量数量积的坐标运算，根据函数的单调性即可求得△OPQ面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知：且，可得：，
椭圆C的标准方程为…
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，设l：x=m，与，联立得
．
由于，得，解得或
m=2（舍去）．
此时，△OPQ的面积为…
当直线l的斜率存在时，由题知k≠0，设l：y=kx+m，与联立，
整理得：（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．由△＞0，得4k2﹣m2+1＞0；
且，…
由于，得：
．
代入（*）式得：12k2+5m2+16km=0，即或m=﹣2k（此时直线l过点A，舍去）．
，
点O到直线l的距离为：…
S△OPQ=，将代入得：
，
令0＜p＜1，
，由y=﹣9p2﹣7p+16，
在（0，1）上递减，
∴0＜y＜16，故，
综上（S△OPQ）max=…
21．已知函数f（x）=lnx﹣（1+a）x﹣1
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a＜1时，证明：对任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜﹣﹣a（x+1）．
【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数以及函数的定义域，（1）当a≤﹣1时，f′（x）的符号，判断f（x）的单调性．（2）当a＞﹣1时，由f′（x）的符号以及好的单调性．
（Ⅱ）当a＜1时，要证在（0，+∞）上恒成
立，转化为只需证在（0，+∞）上恒成立，
构造函数，求出两个函数的导函数，然后求解两个函数的最值，通过F（x）max＜g（x）min，得到a＜1时，对任意的
x∈（0，+∞），恒成立．
【解答】解：（Ⅰ）由题知
…
（1）当a≤﹣1时，f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增…
（2）当a＞﹣1时，由f′（x）＞0得，由f′（x）＜0得
即f（x）在上递增；在上上递减…
综上所述：当a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上递增；
当a＞﹣1时，f（x）在上递增，在
上递减…
（Ⅱ）当a＜1时，要证在（0，+∞）上恒成立
只需证在（0，+∞）上恒成立
令，因为
易得F（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，故F（x）≤F（1）=﹣1…
由得
当0＜x＜e时，g′（x）＜0；当x＞e时，g′（x）＞0．
所以g（x）在（0，e）上递减，在（e，+∞）上递增．
所以…
又a＜1，∴，即F（x）max＜g（x）min
所以在（0，+∞）上恒成立
故当a＜1时，对任意的x∈（0，+∞），恒成立…
22．以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，
已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），曲线C的
极坐标方程ρ=．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，已知定点P（），当α=时，求|PA|+|PB|的值．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．
【分析】（1）由
，由此能求出曲线C的直角坐标方程．
（2）直线l的参数方程为，代入y2=2x，得
3t2﹣4t﹣4=0，由此能求出|PA|+|PB|的值．
【解答】（本小题满分10分）
解：（1）由
，
所以曲线C的直角坐标方程为y2=2x…
（2）因为，直线l的参数方程为
，
代入y2=2x，得3t2﹣4t﹣4=0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
则，
所以
|PA|+|PB|==．…
23．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|，（m＞0）
（I）证明：f（x）≥4
（II）若f（1）＞5，求m的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．
【分析】（Ⅰ）根据绝对值的性质以及基本不等式的性质求出f（x）的最小值，证明即可；（Ⅱ）通过讨论m的范围，得到关于m的不等式，取并集即可．
【解答】（I）证明：
，
因为m＞0，所以，
当且仅当m=2时，等号成立…
（II）解：由m＞0及f（1）＞5得，（*），
①当0＜m≤4时，不等式（*）可化为：
，
解得，m＞4，或m＜1所以，0＜m＜1，
②当m＞4时，不等式（*）可化为：
，解得，m＞4，或m＜﹣1所以，m＞4，
综上，m的取值范围是（0，1）∪（4，+∞）…
2017年6月19日。