平行断面法和不平行断面法

平⾏断⾯法和不平⾏断⾯法
凡在矿床勘探阶段，应⽤若⼲勘探剖⾯把矿床横切截为若⼲个块段，分别计算这些块段的储量，将各块段的储量合起来即矿体的总储量，这种⽅法称断⾯法或剖⾯法。

断⾯法还可分为垂直断⾯法、⽔平断⾯法及不平⾏断⾯法。

⼀、平⾏断⾯法
平⾏断⾯法储量计算按以下步骤进⾏：
（⼀）⾸先在各个勘探剖⾯图上测定矿体的⾯积；
（⼆）其次，在两个勘探剖⾯⾯积之间计算矿体的体积。

为此，必须根据相邻两剖⾯矿体之相对⾯积差的⼤⼩来分别选择不同的公式进⾏计算。

当相邻两剖⾯上矿体之相对⾯积差＜40%时，⼀般选⽤梯形体积公式（图1），其公式为：
式中：
V－两剖⾯间矿体体积（⽴⽅⽶）；
L－两相邻剖⾯之间距（⽶）；
S1S2－两相邻剖⾯上的矿体⾯积（平⽅⽶）。

图1 相邻剖⾯间之梯形块段
当相邻两剖⾯上矿体之相对⾯积差＞40%时，⼀般选⽤截锥体积公式计算体积（图2），其公式为：
图2 相邻剖⾯间之锥块段
在应⽤截锥公式，要进⾏开平⽅计算，实际计算较繁琐，为了简化计算，有⼈提出改⽤校正的梯形公式，其⽅法如下：
假如使相邻两剖⾯的间距为L，则这些剖⾯间块段的体积V⼤致等于两剖⾯⾯积总和之半与某⼀修正系数F的乘积，即：
修正系数F的⼤⼩等于该块段精确体积与近似体积之⽐：
把F值代⼊公式中，则得：
当S1＝S2时，则F＝1，因⽽。

在这种情况下，⽤近似公式也可得到精确的结果。

在S1或S2＝0时则F=2/3，这时V＝L/3·S成为规则⾓锥体体积公式。

现将F值公式作如下之改变：
由上式可见，F值显然取决于剖⾯⾯积S1及S2之⽐的平⽅根，⽽不取决于这些⾯积的绝对值的⼤⼩。

此外，当S1与S2之值互换时，F值亦不受影响。

C·C·依扎
值曲线图查出F值，故其体积公式为：
断⾯平均⾯积
当相邻的两剖⾯中只有⼀个剖⾯有⾯积，⽽另⼀剖⾯上矿体已尖灭，这时根据剖⾯上矿体⾯积形状不同，可分别选择楔形（图4）或锥形（图5）公式计算⾯积。

图4 楔形⾯积
图5 锥形体积
⽤楔形公式计算体积的公式为：
⽤锥形公式计算体积的公式为：
（三）计算各相邻两剖⾯间块段的矿⽯储量：
式中：
Q－块段的矿⽯储量；
V－块段的矿⽯体积；
－块段矿⽯平均体重。

（四）计算各相邻剖⾯间的⾦属储量：
式中：
P－块段的⾦属储量；
－块段矿⽯的平均品位。

（五）计算整个矿体的体积、矿⽯量及⾦属量。

将所有块段的体积、矿⽯量、⾦属量各⾃相加，即
式中：
V、Q、P－整个矿体的体积、储量及⾦属量；
V1…；Q1…，P1…－各块段的矿体体积、矿⽯储量及⾦属量。

在平⾏断⾯法中，还有⼀种“线储量法”，所谓线储量即剖⾯线上的储量，然⽽剖⾯线本⾝没有宽度，所以它不具有储量，是⼀种抽象的储量，为便于理解，可以想象为宽⼀⽶的勘探线储量（图6）。

图6 勘探线剖⾯附近⼀⽶宽地带的储量
“线储量法”的计算步骤如下：
1、测量各剖⾯的⾯积，然后根据剖⾯的平均体重及平均品位计算每个剖⾯的线⾦属储量：
式中：
－某⼀剖⾯的线⾦属储量；
－某⼀剖⾯的矿体⾯积；
－某⼀剖⾯的矿⽯平均体重；
－某⼀剖⾯的矿⽯平均品位。

2、计算相邻剖⾯间块段的⾦属量：
当两剖⾯⾯积相对差＜40%时，应⽤以下公式：
当两剖⾯⾯积相对差＞40%时，则应⽤公式：
式中：
P－两剖⾯间块段的⾦属储量；
L－两剖⾯间的距离；
P1、P2－两个相邻剖⾯的线⾦属量。

3、整个矿体的⾦属储量，为所有块段⾦属量之和，即
⼆、不平⾏断⾯法
当矿体⽤不平⾏勘探线进⾏勘探时，或者⽤平⾏勘探线的同时，由于矿体⾛向有变化，⽽采⽤了不平⾏勘探线，这时应⽤不平⾏断⾯法是必要的。

这种⽅法在于求矿体不平⾏剖⾯间的矿体体积和储量。

不平⾏断⾯法常⽤的有两种：
（⼀）断⾯控制距离法
这种⽅法的实质是沿两个勘探线的每个断⾯上矿体的⾯积乘相应的控制距离。

计算不平⾏断⾯间之块段体积时⽤作辅助线的⽅法（图7）。

图7 断⾯控制⾯积法简化图
如图7中Ⅰ－Ⅰ′与Ⅱ－Ⅱ′两条勘探线不平⾏，α1、α2及b1、b2为勘探线与矿体边界线的交点，连接α1α2及b1b2的中点c1及α1α2的中点c′1，连接c1 c′1将块段分为两部分，也就是将块段在平⾯图上的⾯积分为s′1及s′2两个部分，在勘探线剖⾯上矿体的截⾯积s1及s2可以⽤求积仪或其它⽅法求出，同时也求出s′1及s′2的⾯积。

这样就可以求出被中线c1c2所分割的这两部分的矿体体积，其公式为：
式中：
－勘探线I上α1b1的长度；
－勘探线II上α2b2的长度。

不平⾏断⾯间块段的总体积V＝V1＋V2。

也可以⽤线储量法进⾏，这时需将断⾯⾯积S1及S2的相应的由线矿⽯量Q1、Q2或线⾦属量P1、P2的值来代替。

应⽤此种⽅法计算不够⼗分准确。

但⼀般在矿床勘探时，勘探线不平⾏的地段是不多的，或仅有局部的地段的断⾯的不平⾏的，对整个矿床的储量影响不⼤。

（⼆）佐洛塔列夫法
佐洛塔列夫所提出的全部公式都是以⼀个剖⾯的⾯积之逐渐⽽均匀地转变为另⼀个剖⾯的⾯积值的剖⾯旋转法为依据。

如图8所⽰，当⼀个均匀的平⾯图形转动⽆限⼩的⾓度dα时，此图形轨迹所包含的体积等于该图形的⾯积S与图形重⼼所画弧长的乘积：
dV＝S·ρ·dα
式中：
ρ－⾃图形重⼼到旋转轴AA′的距离；
ρdα－当转动断⾯的平⾯旋转时，图形重⼼所画的弧长。

图8 断⾯平⾯的旋转定理
A.C.佐洛塔列夫⼜⽤这个公式推导出确定两个不平⾏断⾯内矿体储量的⼀些精确的和近似的公式。

精确公式为：
式中：
α－在勘探⼯程平⾯图上所确定的断⾯之夹⾓（图9）；
ρ1与ρ2－由断⾯交点分别到断⾯重⼼S1及S2的距离；
S1与S2－两个勘探剖⾯上的矿体⾯积。

图9 不平⾏断⾯间矿体储量计算
近似公式为：
式中：H1及H2－为从⼀个断⾯中⼼到另⼀个断⾯所作的垂线（平⾯图上）的长度。

当断⾯夹⾓α不⼤，S1与S2或ρ1与ρ2相差不⼤时，可⽤近似公式计算。

当断⾯夹⾓α相当⼤，S1与S2或ρ1与ρ2有明显的差别时，则⽤精确公式计算。

不论⽤精确公式或近似公式，均需确定每⼀个断⾯⾯积的重⼼。

确定断⾯⾯积重⼼的⽅法是：取⼀张透明⽅格纸（⽅格⼤⼩视要求精度⽽定，例如每边长为0.5cm）蒙在剖⾯图的⾯积之上，⽅格纸的横线与⽔平线x平⾏，选⼀适当位置作座标之原点，使矿体图形在靠近旋转轴的⽅向的端点x＝0，然后分别对x＝0.5，x＝2.5，……等各纵⾏数出在图形中的⽅格数n，记录在图上⽅，这样所有各数ni之和即为矿体断⾯的⾯积，即∑ni＝S。

断⾯上各个单元⼩条带围绕某⼀旋转轴的静⼒矩∑nx与断⾯⾯积S之⽐，等于此断⾯重⼼到旋转轴的距离x0。

x0＝∑nx/S （12）
式中：
n－断⾯上单位⼩条带的⾯积；
x－⾃⼩条带重⼼到旋转轴的距离；
x0－⾃断⾯⾯积重⼼到旋转轴的距离。

在图10的例⼦中：
图10 ⽤图解解析法在剖⾯上确定⾯积重⼼位置
x0＝∑nx/S＝8620.8m3/268㎡＝32.2m
x0＝32.2m就是断⾯⾯积的重⼼到旋转轴的距离，也就是ρ。

三、断⾯法的应⽤条件
断⾯法储量计算在⽬前应⽤仍较⼴泛，只要勘探⼯程是有系统地⼤致按勘探线或勘探⽹布置时均可采⽤。

⽔平的和缓倾斜的矿体常⽤垂直钻孔的勘探线进⾏勘探，因⽽常⽤垂直断⾯法计算储量。

⽽那些急倾斜矿体、矿柱，⽹脉状矿床常⽤⽔平坑道勘探，因⽽适于⽤⽔平断⾯法计算储量。

在勘探砂矿床或侵⼊岩接触带上的矿床，因矿床的⾛向经常改变，所以常出现不平⾏的断⾯，故时常⽤不平⾏断⾯法计算储量。

我们知道，断⾯法储量计算实质上是把断⾯上⼯程中的品位外延到断⾯⾯积上去，接着⼜把⾯积上的品位⼜外延到块段的体积上去。

有外延就有误差，所以说断⾯法储量计算虽说有它计算体积⽅⾯的简单的优点，但它存在着品位外延所形成的误差⽆法克服的缺点，对这⼀点必须有所认识。