【5套打包】锦州市初三九年级数学上期末考试检测试题(含答案解析)

人教版九年级第一学期期末模拟数学试卷及答案
一．选择题（满分30分，每小题3分）
1．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤5B．k≤5，且k≠1C．k＜5，且k≠1D．k＜5
2．下列图形中，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．四边形ABCD内接于圆，∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可能是（）A．1：3：2：4B．7：5：10：8C．13：1：5：17D．1：2：3：4 4．若⊙O的半径为6cm，PO＝8cm，则点P的位置是（）
A．在⊙O外B．在⊙O上C．在⊙O内D．不能确定
5．已知反比例函数y＝﹣，下列结论中不正确的是（）
A．图象必经过点（﹣3，2）
B．图象位于第二、四象限
C．若x＜﹣2，则0＜y＜3
D．在每一个象限内，y随x值的增大而减小
6．如图，抛物线y＝﹣2x2+4x与x轴交于点O、A，把抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1以y铀为对称轴作轴对称得到C2，C2与x轴交于点B，若直线y＝x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）
A．0＜m B．＜m＜
C．0＜m＜D．m＜或m＜
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab ＜0；②b2＞4ac③a+b+c＜0；④2a+b+c＝0，其中正确的是（）
A．①④B．②④C．①②③D．①②③④8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再把△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°得到△A2B2C1，则点A的对应点A2的坐标是（）
A．（5，2）B．（1，0）C．（3，﹣1）D．（5，﹣2）9．某商店现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元利润，应将销售单价定为（）
A．56元B．57元C．59元D．57元或59元10．如图所示双曲线y＝与y＝﹣分别位于第三象限和第二象限，A是y轴上任意一点，B是y＝﹣上的点，C是y＝上的点，线段BC⊥x轴于D，且4BD＝3CD，则下列说法：①双曲线y＝在每个象限内，y随x的增大而减小；②若点B的横坐标为﹣3，则C点的坐标为（﹣3，）；③k＝4；④△ABC的面积为定值7，正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（满分24分，每小题4分）
11．设α，β是方程x2﹣x﹣2019＝0的两个实数根，则α3﹣2021α﹣β的值为；12．抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式是．
13．如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△CO D的位置，则旋转角为．
14．某鱼塘养了200条鲤鱼、若干条草鱼和150条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为．
15．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA＝6，圆心角∠ACB＝120°，则此圆锥高OC的长度是．
16．建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条参照线，使垒的每一层砖在一条直线上．这样做的依据是：．
三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
17．（6分）解一元二次方程：3x2﹣1＝2x+5．
18．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝12，弦CD⊥AB于点E，∠DAB＝30°．（1）求扇形OAC的面积；
（2）求弦CD的长．
19．（6分）某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过xmin时，A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃，y A、y B与x的函数关系式分别为y A＝kx+b，y B＝（x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x＝40时，两组材料的温度相同．
（1）分别求y A、y B关于x的函数关系式；
（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？
（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？
四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）
20．（7分）某镇为打造“绿色小镇”，投入资金进行河道治污．已知2016年投入资金1000万元，2018年投入资金1210万元．
（1）求该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率；
（2）若2019年投入资金保持前两年的年平均增长率不变，求该镇2019年预计投入资金多少万元？
21．（7分）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．
解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而解决问题．
根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是；（直接写出结果）
（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．
22．（7分）一个盒中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．
（Ⅰ）请用列表法（或画树状图法）列出所有可能的结果；
（Ⅱ）求两次取出的小球标号相同的概率；
（Ⅲ）求两次取出的小球标号的和大于6的概率．
五．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）
23．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象经过点A，作AC ⊥x轴于点C．
（1）求k的值；
（2）直线y＝ax+b（a≠0）图象经过点A交x轴于点B，且OB＝2AC．求a的值．
24．（9分）如图，已知AC是⊙O的直径，B为⊙O上一点，D为的中点，过D作EF∥BC交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
（Ⅰ）求证：EF为⊙O的切线；
（Ⅱ）若AB＝2，∠BDC＝2∠A，求的长．
25．（9分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AD＝15，AO＝12．动点P以每秒2个单位的速度从点A出发，沿AC向点C匀速运动．同时，动点Q以每秒1个单位的速度从点D出发，沿DB向点B匀速运动．当其中有一点列达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）求线段DO的长；
（2）设运动过程中△POQ两直角边的和为y，请求出y关于x的函数解析式；
（3）请直接写出点P在线段OC上，点Q在线段DO上运动时，△POQ面积的最大值，并写出此时的t值．
参考答案
一．选择题
1．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤5B．k≤5，且k≠1C．k＜5，且k≠1D．k＜5
【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，
∴，
解得：k≤5且k≠1．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据旋转180°后与原图重合的图形是中心对称图形，进而分析即可．
解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．四边形ABCD内接于圆，∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可能是（）A．1：3：2：4B．7：5：10：8C．13：1：5：17D．1：2：3：4
【分析】根据圆内接四边形的对角互补得到∠A和∠C的份数和等于∠B和∠D的份数的和，由此分别进行判断即可．
解：A、1+2≠3+4，所以A选项不正确；
B、7+10≠5+8，所以B选项不正确；
C、13+5＝1+17，所以C选项正确；
D、1+3≠2+4，所以D选项不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．
4．若⊙O的半径为6cm，PO＝8cm，则点P的位置是（）
A．在⊙O外B．在⊙O上C．在⊙O内D．不能确定
【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；
点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．
解：根据点到圆心的距离8cm大于圆的半径6cm，则该点在圆外．
故选：A．
【点评】本题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：当点到圆心的距离大于圆的半径时，则点在圆外．
5．已知反比例函数y＝﹣，下列结论中不正确的是（）
A．图象必经过点（﹣3，2）
B．图象位于第二、四象限
C．若x＜﹣2，则0＜y＜3
D．在每一个象限内，y随x值的增大而减小
【分析】根据反比例函数的性质进行选择即可．
解：A、图象必经过点（﹣3，2），故A正确；
B、图象位于第二、四象限，故B正确；
C、若x＜﹣2，则y＜3，故C正确；
D、在每一个象限内，y随x值的增大而增大，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的选择，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
6．如图，抛物线y＝﹣2x2+4x与x轴交于点O、A，把抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1以y铀为对称轴作轴对称得到C2，C2与x轴交于点B，若直线y＝x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）
A．0＜m B．＜m＜
C．0＜m＜D．m＜或m＜
【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y＝x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝x+m过原点时m的值，结合图形即可得到答案．
解：令y＝﹣2x2+4x＝0，
解得：x＝0或x＝2，
则点A（2，0），B（﹣2，0），
∵C1与C2关于y铀对称，C1：y＝﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）2+2，
∴C2解析式为y＝﹣2（x+1）2+2＝﹣2x2﹣4x（﹣2≤x≤0），
当y＝x+m与C2相切时，如图所示：
令y＝x+m＝y＝﹣2x2+4x，
即2x2﹣3x+m＝0，
△＝﹣8m+9＝0，
解得：m＝，
当y＝x+m过原点时，m＝0，
∴当0＜m＜时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
故选：A．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的
关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab ＜0；②b2＞4ac③a+b+c＜0；④2a+b+c＝0，其中正确的是（）
A．①④B．②④C．①②③D．①②③④
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
解：①由图象可知：＞0，
∴ab＜0，故①正确；
②由抛物线与x轴的图象可知：
△＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
③由图象可知：x＝1，y＜0，
∴a+b+c＜0，故③正确；
④∵＝1，
∴b＝﹣2a，
令x＝﹣1，y＞0，
∴2a+b+c＝c＜0，故④错误
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用数形结合的思想，本题属于中等题型．
8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再把△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°得到△A2B2C1，则点A的对应点A2的坐标是（）
A．（5，2）B．（1，0）C．（3，﹣1）D．（5，﹣2）
【分析】根据平移变换，旋转变换的性质画出图象即可解决问题；
解：如图，△A2B2C1即为所求．
观察图象可知：A2（5，2）
故选：A．
【点评】本题考查旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确作出图形是解决问题的关键．
9．某商店现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元利润，应将销售单价定为（）
A．56元B．57元C．59元D．57元或59元【分析】将销售单价定为x元/件，则每星期可卖出[20（60﹣x）+300]件，根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．解：将销售单价定为x元/件，则每星期可卖出[20（60﹣x）+300]件，
根据题意得：（x﹣40）[20（60﹣x）+300]＝6080，
整理得：x2﹣115x+3304＝0，
解得：x1＝56，x2＝59．
∵要使顾客获得实惠，
∴x＝56．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．如图所示双曲线y＝与y＝﹣分别位于第三象限和第二象限，A是y轴上任意一点，B是y＝﹣上的点，C是y＝上的点，线段BC⊥x轴于D，且4BD＝3CD，则下列说法：①双曲线y＝在每个象限内，y随x的增大而减小；②若点B的横坐标为﹣3，则C点的坐标为（﹣3，）；③k＝4；④△ABC的面积为定值7，正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①根据函数图象所在象限可得k＞0，根据反比例函数的性质可得①正确；
②再根据函数解析式结合点B的横坐标为﹣3，可得纵坐标，然后再根据4BD＝3CD可得C
点坐标；
③设点B的横坐标为a，则B（a，﹣），表示点C的坐标，可得k的值；
④首先表示出B，C点坐标，进而得出BC的长，即可得出△ABC的面积．
解：①y＝的图象在一、三象限，故在每个象限内，y随x的增大而减小，故①正确；②点B的横坐标为﹣3，则B（﹣3，1），由4BD＝3CD，可得CD＝，故C（﹣3，﹣），
故②错误；
③设点B的横坐标为a，则B（a，﹣），由4BD＝3CD，可得CD＝﹣，故C（a，），
由C（a，）可得：k＝a×＝4，故③正确；
④BC＝﹣﹣＝﹣，S
＝＝﹣×（﹣a）×＝，故④错误；
△ABC
所以本题正确的有两个：①③；
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质以及三角形面积等知识，根据题意得出BC的长是解题关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．设α，β是方程x2﹣x﹣2019＝0的两个实数根，则α3﹣2021α﹣β的值为2018；【分析】根据一元二次方程跟与系数的关系，结合“α，β是方程x2﹣x﹣2019＝0的两个实数根”，得到α+β的值，代入α3﹣2021α﹣β，再把α代入方程x2﹣x﹣2019＝0，经过整理变化，即可得到答案．
解：根据题意得：α+β＝1，
α3﹣2021α﹣β
＝α（α2﹣2020）﹣（α+β）
＝α（α2﹣2020）﹣1，
∵α2﹣α﹣2019＝0，
∴α2﹣2020＝α﹣1，
把α2﹣2020＝α﹣1代入原式得：
原式＝α（α﹣1）﹣1
＝α2﹣α﹣1
＝2019﹣1
＝2018．
【点评】本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．12．抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式是y＝（x﹣1）2﹣1．
【分析】先把y＝x2﹣6x+5配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），再把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），
把点（3，﹣4）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到点的坐标为（1，
﹣1），
所以平移后得到的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣1．
故答案是：y＝（x﹣1）2﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
13．如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转角为90°．
【分析】根据旋转的性质，对应边的夹角∠BOD即为旋转角．
解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，
∴对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角，
∴旋转的角度为90°．
故答案为：90°．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟记性质以及旋转角的确定是解题的关键．
14．某鱼塘养了200条鲤鱼、若干条草鱼和150条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为．
【分析】根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率．
解：设草鱼有x条，根据题意得：
＝0.5，
解得：x＝350，
由题意可得，捞到鲤鱼的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查用样本估计总体，解题的关键是明确题意，由草鱼的数量和出现的频率可以计算出鱼的数量．
15．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA＝6，圆心角∠ACB＝120°，则此圆锥高OC的长度是4．
【分析】先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出OA，最后用勾股定理即可得出结论．
解：设圆锥底面圆的半径为r，
∵AC＝6，∠ACB＝120°，
∴＝＝2πr，
∴r＝2，即：OA＝2，
在Rt△AOC中，OA＝2，AC＝6，根据勾股定理得，OC＝＝4，
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了扇形的弧长公式，勾股定理，求出OA是解本题的关键．
16．建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条参照线，使垒的每一层砖在一条直线上．这样做的依据是：两点确定一条直线．
【分析】由直线公理可直接得出答案．
解：建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条参照线，使垒的每一层砖在一条直线上，沿着这条线就可以砌出直的墙，则其中的道理是：两点确定一条直线．
故答案为：两点确定一条直线．
【点评】本题主要考查的是直线的性质，掌握直线的性质是解题的关键．
三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
17．（6分）解一元二次方程：3x2﹣1＝2x+5．
【分析】先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程．
解：3x2﹣1＝2x+5，
3x2﹣2x﹣6＝0
∵a＝3，b＝﹣2，c＝﹣6，△＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣6）＝76，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝12，弦CD⊥AB于点E，∠DAB＝30°．（1）求扇形OAC的面积；
（2）求弦CD的长．
【分析】（1）根据垂径定理得到＝，根据圆周角定理求出∠CAB，根据三角形内角和定理求出∠AOC，根据扇形面积公式计算；
（2）根据正弦的定义求出CE，根据垂径定理计算即可．
解：（1）∵弦CD⊥AB，
∴＝，
∴∠CAB＝∠DAB＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOC＝120°，
∴扇形OAC的面积＝＝12π；
（2）由圆周角定理得，∠COE＝2∠CAB＝60°，
∴CE＝OC×sin∠COE＝3，
∵弦CD⊥AB，
∴CD＝2CE＝6．
【点评】本题考查的是扇形面积计算，圆周角定理，垂径定理的应用，掌握扇形面积公式是解题的关键．
19．（6分）某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过xmin时，A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃，y A、y B与x的函数关系式分别为y A＝kx+b，y B＝（x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x＝40时，两组材料的温度相同．
（1）分别求y A、y B关于x的函数关系式；
（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？
（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？
【分析】（1）首先求出y B函数关系式，进而得出交点坐标，即可得出y A函数关系式；（2）首先将y＝120代入求出x的值，进而代入y B求出答案；
（3）得出y A﹣y B的函数关系式，进而求出最值即可．
解：（1）由题意可得出：y B＝（x﹣60）2+m经过（0，1000），
则1000＝（0﹣60）2+m，
解得：m＝100，
∴y B＝（x﹣60）2+100，
当x＝40时，y B＝×（40﹣60）2+100，
解得：y B＝200，
y A＝kx+b，经过（0，1000），（40，200），则，
解得：，
∴y A＝﹣20x+1000；
（2）当A组材料的温度降至120℃时，
120＝﹣20x+1000，
解得：x＝44，
当x＝44，y B＝（44﹣60）2+100＝164（℃），
∴B组材料的温度是164℃；
（3）当0＜x＜40时，y A﹣y B＝﹣20x+1000﹣（x﹣60）2﹣100＝﹣x2+10x＝﹣（x﹣20）2+100，
∴当x＝20时，两组材料温差最大为100℃．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，得出两种材料的函数关系式是解题关键．
四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）
20．（7分）某镇为打造“绿色小镇”，投入资金进行河道治污．已知2016年投入资金1000万元，2018年投入资金1210万元．
（1）求该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率；
（2）若2019年投入资金保持前两年的年平均增长率不变，求该镇2019年预计投入资金多少万元？
【分析】（1）设该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率为x，根据该镇2016年及2018年投入的资金金额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据2019年投入资金金额＝2018年投入资金金额×（1+增长率），即可求出结论．解：（1）设该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率为x，
根据题意得：1000（1+x）2＝1210，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）．
答：该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率为10%．
（2）1210×（1+10%）＝1331（万元）．
答：该镇2019年预计投入资金1331万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
21．（7分）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．
解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而解决问题．
根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是；（直接写出结果）
（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）结论：DA＝DB+DC．由等边三角形知AB＝AC，∠BAC＝60°，结合∠BDC ＝120°知∠ABD+∠ACD＝180°，由∠ACE+∠ACD＝180°知∠ABD＝∠ACE，证△ABD ≌△A CE得AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA＝DE＝DC+CE ＝DC+DB．
（2）结论：DA＝DB+DC．延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，先证△ABD≌△ACE得AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，据此可得∠DAE＝∠BAC＝90°，由勾股定理知DA2+AE2＝DE2，继而可得2DA2＝（DB+DC）2；
解：（1）结论：DA＝DB+DC．
理由：如图1，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠BDC＝120°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
又∵∠ACE+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∵∠ABC＝60°，即∠BAD+∠DAC＝60°，
∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB，即DA＝DC+DB，
（2）结论：DA＝DB+DC，
理由：如图2，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，
∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
∵∠ACE+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，CE＝BD，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴DA2+AE2＝DE2，
∴2DA2＝（DB+DC）2，
∴DA＝DB+DC；
【点评】此题是三角形的综合题，主要考查了考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
22．（7分）一个盒中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．
（Ⅰ）请用列表法（或画树状图法）列出所有可能的结果；
（Ⅱ）求两次取出的小球标号相同的概率；
（Ⅲ）求两次取出的小球标号的和大于6的概率．
【分析】（Ⅰ）根据题意可画出树状图，由树状图即可求得所有可能的结果．
（Ⅱ）根据树状图，即可求得两次取出的小球标号相同的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
（Ⅲ）根据树状图，即可求得两次取出的小球标号的和大于6的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
解：（Ⅰ）画树状图得：
（Ⅱ）∵共有16种等可能的结果，两次取出的小球的标号相同的有4种情况，
∴两次取出的小球标号相同的概率为＝；
（Ⅲ）∵共有16种等可能的结果，两次取出的小球标号的和大于6的有3种结果，
∴两次取出的小球标号的和大于6的概率为．
【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．此题难度不大，解题的关键是注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．五．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）
23．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象经过点A，作AC ⊥x轴于点C．
（1）求k的值；
（2）直线y＝ax+b（a≠0）图象经过点A交x轴于点B，且OB＝2AC．求a的值．
【分析】（1）将A（2，2）代入y＝，即可求出k的值；
（2）首先根据OB＝2AC求出OB＝4．再分两种情况进行讨论：①B（﹣4，0）；②B（4，0）．将A、B两点的坐标代入y＝ax+b，利用待定系数法即可求出a的值．
解：（1）∵函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，2），
∴k＝2×2＝4；
（2）∵OB＝2AC，AC＝2，
∴OB＝4．
分两种情况：
①如果B（﹣4，0）．
∵直线y＝ax+b（a≠0）图象经过点A交x轴于点B，
∴，解得；
②如果B（4，0）．
∵直线y＝ax+b（a≠0）图象经过点A交x轴于点B，
∴，解得．
综上，所求a的值为或﹣1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，进行分类讨论是解（2）小题的关键．
24．（9分）如图，已知AC是⊙O的直径，B为⊙O上一点，D为的中点，过D作EF∥BC交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
（Ⅰ）求证：EF为⊙O的切线；
（Ⅱ）若AB＝2，∠BDC＝2∠A，求的长．
【分析】（Ⅰ）连接OD，OB，只要证明OD⊥EF即可．
（Ⅱ）根据已知结合圆内接四边形的性质得出∠A＝60°，即可得出△OAB等边三角形，再利用弧长公式计算得出答案．
（Ⅰ）证明：连接OD，OB．
∵D为的中点，
∴∠BOD＝∠COD．
∵OB＝OC，
∴OD⊥BC，
∴∠OGC＝90°．
∵EF∥BC，
∴∠ODF＝∠OGC＝90°，
即OD⊥EF，
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（Ⅱ）解：∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BDC＝180°，
又∵∠BDC＝2∠A，
∴∠A+2∠A＝180°，
∴∠A＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB等边三角形，
∵OB＝AB＝2，
又∵∠BOC＝2∠A＝120°，
∴＝．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质等知识点的综合运用，正确得出△OAB等边三角形是解题关键．
25．（9分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AD＝15，AO＝12．动点P以每秒2个单位的速度从点A出发，沿AC向点C匀速运动．同时，动点Q以每秒1个单位的速度从点D出发，沿DB向点B匀速运动．当其中有一点列达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）求线段DO的长；
（2）设运动过程中△POQ两直角边的和为y，请求出y关于x的函数解析式；
（3）请直接写出点P在线段OC上，点Q在线段DO上运动时，△POQ面积的最大值，并写出此时的t值．
【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分的性质得到直角△AOD，在该直角三角形中利用勾股定理来求线段DO的长度；
（2）需要分类讨论：点P在线段OA上、点Q在线段OD上；点P在线段OC上，点Q在线段OD上；点P在线段OC上，点Q在线段OB上；
（3）由6＜t≤9时OP＝12﹣2t、OQ＝9﹣t可得△POQ的面积S＝（9﹣t）（12﹣2t）＝﹣t2+15t﹣54＝﹣（t﹣）2+，利用二次函数的性质求解可得．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
在Rt△AOD中，AD＝15，AO＝12
由勾股定理得：
OD＝＝9．
（2）①当0≤t≤6时，OP＝12﹣2t，OQ＝9﹣t，则OP+OQ＝12﹣2t+9﹣t＝﹣3t+21
即：y＝﹣3t+21；
②当6＜t≤9时，OP＝2t﹣12，OQ＝9﹣t，则OP+OQ＝2t﹣12+9﹣t＝t﹣3
即：y＝t﹣3；
③当9＜t≤12时，OP＝2t﹣12，OQ＝t﹣9，则OP+OQ＝2t﹣12+t﹣9＝3t﹣21
即：y＝3t﹣21；
综上所述：y＝；
（3）如图，
当6＜t≤9时，∵OP＝12﹣2t、OQ＝9﹣t，
∴△POQ的面积S＝（9﹣t）（12﹣2t）
＝﹣t2+15t﹣54
＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，△POQ面积的最大值．
【点评】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是熟练掌握菱形的性质、二次函数的应用及分类讨论思想的运用．
人教版九年级第一学期期末模拟数学试卷及答案
一．选择题（满分30分，每小题3分）
1．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤5B．k≤5，且k≠1C．k＜5，且k≠1D．k＜5
2．下列图形中，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．四边形ABCD内接于圆，∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可能是（）A．1：3：2：4B．7：5：10：8C．13：1：5：17D．1：2：3：4 4．若⊙O的半径为6cm，PO＝8cm，则点P的位置是（）
A．在⊙O外B．在⊙O上C．在⊙O内D．不能确定
5．已知反比例函数y＝﹣，下列结论中不正确的是（）
A．图象必经过点（﹣3，2）
B．图象位于第二、四象限
C．若x＜﹣2，则0＜y＜3
D．在每一个象限内，y随x值的增大而减小
6．如图，抛物线y＝﹣2x2+4x与x轴交于点O、A，把抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1以y铀为对称轴作轴对称得到C2，C2与x轴交于点B，若直线y＝x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）
A．0＜m B．＜m＜
C．0＜m＜D．m＜或m＜
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab ＜0；②b2＞4ac③a+b+c＜0；④2a+b+c＝0，其中正确的是（）
A．①④B．②④C．①②③D．①②③④8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再把△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°得到△A2B2C1，则点A的对应点A2的坐标是（）。