2023年上海市崇明区中考数学一模试卷及答案解析

2023年上海市崇明区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列各组图形，一定相似的是（）
A．两个等腰梯形B．两个菱形
C．两个正方形D．两个矩形
2．（4分）将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向右平移2个单位，下列结论中正确的是（）
A．开口方向不变B．顶点不变
C．对称轴不变D．与y轴的交点不变
3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，那么cos A的值是（）A．B．C．D．
4．（4分）已知为单位向量，向量与方向相反，且其模为||的4倍；向量与方向相同，且其模为||的2倍，则下列等式中成立的是（）
A．＝2B．＝﹣2C．＝D．＝﹣
5．（4分）四边形ABCD中，点F在边AD上，BF的延长线交CD的延长线于E点，下列式子中能判断AD∥BC的式子是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
6．（4分）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，以下条件中不能推出△ABC为直角三角形的是（）
A．∠A＝∠BCD B．＝C．＝D．＝
二、填空题（本大题共12题，题，每题4分，满分48分）
7．（4分）如果＝（x≠0），那么＝．
8．（4分）计算：5﹣3（2﹣）＝．
9．（4分）点P是线段MN的黄金分割点，如果MN＝10cm，那么较长线段MP的长是______cm．10．（4分）如果抛物线y＝（m﹣2）x2有最高点，那么m的取值范围是．11．（4分）如果抛物线y＝2x2﹣bx+1的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为．12．（4分）已知点A（2，y1），B（﹣3，y2）为二次函数y＝（x+1）2图象上的两点，那么y1y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
13．（4分）如果两个相似三角形的周长之比是4：9，那么它们的对应角平分线的比为．
14．（4分）飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标A点的俯角为α，那么此时飞机与目标A点的距离为千米．（用α的式子表示）
15．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，∠D＝45°，则
＝．
16．（4分）如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点
F，那么＝．
17．（4分）如图，菱形ABCD的边长为8，E为BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，过点F作FG∥AD，交AE于点G，若cos B＝，则FG的长为．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D在AC边上，点E在射线AB上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，当A′D⊥AC且CA′∥AB 时，BE的长为．
三、解答题（大题共7题，满分78分）.
19．（10分）计算：4cos30°﹣cos45°tan60°+2sin245°．
20．（10分）在梯形ABCD中，AD∥BC，且BC＝3AD．过点A作AE∥DC，分别交BC，
BD于点E、F，若＝，＝．
（1）用、表示和；
（2）求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）
21．（10分）如图，D是△ABC边上的一点，CD＝2AD，AE⊥BC，垂足为点E，若AE＝9，sin∠CBD＝．
（1）求BD的长；
（2）若BD＝CD，求tan∠BAE的值．
22．（10分）如图，一根灯杆AB上有一盏路灯A，路灯A离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方B点15.5米处有一坡度为i＝1：的斜坡CD．如果高为3米的标尺EF竖立在地面BC上，垂足为F，它的影子的长度为4米．
（1）当影子全在水平地面BC上（图1）．求标尺与路灯间的距离；
（2）当影子一部分在水平地面BC上，一部分在斜坡CD上（图2），求此时标尺与路灯间的距离为多少米？
23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，对角线AC与BD交于点F，点G是AB边上的中点，联结CG交BD于点E，并满足BG2＝GE•GC．
（1）求证：∠GAE＝∠GCA；
（2）求证：AD•BC＝2DF•DE．
24．（12分）如图，在直角坐标平面xOy中，对称轴为直线x＝的抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0）、点M（1，m），与y轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点D的坐标；
的面积；
（2）联结AB、AM、BM，求S
△ABM
（3）过M作x轴的垂线与AB交于点P，Q是直线MP上点，当△BMQ与△AMP相似时，求点Q的坐标．
25．（14分）已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，AD∥BC．点E为射线AD上的一个动点（不与A重合），过点E作EF⊥BE，交射线CA于点F，联结BF．
（1）如图，当点F在线段AC上时，EF与AB交于点G，求证：△AEG∽△FBG；
（2）在（1）的情况下，射线CA与BE的延长线交于点Q，设AE＝x，QF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当BE＝3时，求CF的长．
2023年上海市崇明区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．【分析】根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答．
【解答】解：A、两个等腰梯形不一定相似，故本选项不合题意；
B、两个菱形，形状不一定相同，故本选项不合题意；
C、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似形定义，故本选项符合题意；
D、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项不合
题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了图形相似的判定，熟练掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性质是解题的关键，难度适中．
2．【分析】由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变．【解答】解：A、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向右平移2个单位，a不变，开口方向不变，故正确；
B、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向右平移2个单位，顶点的横坐标改变，纵坐标
不变，故错误；
C、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向右平移2个单位，形状不变，顶点改变，对称
轴改变，故错误；
D、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向右平移2个单位，与y轴的交点也改变，故错
误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，注意：抛物线平移后的形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变．
3．【分析】利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴cos A＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．4．【分析】根据平面向量的性质进行一一判断．
【解答】解：根据题意知，＝﹣4，＝2．则＝﹣2，观察选项，只有选项B符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识．5．【分析】根据各个选项中的条件和图形，利用相似三角形的判定和性质、平行线的判定，可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：当时，无法判断AD∥BC，故选项A不符合题意；
当＝时，∠AFB＝∠DFE，则△AFB∽△DFE，故∠ABF＝∠DEF，AB∥CD，但无法判断AD∥BC，故选项B不符合题意；
当时，无法判断AD∥BC，故选项C不符合题意；
当时，∠FED＝∠BEC，则△FED∽△BEC，故∠EFD＝∠EBC，可以判断判断AD∥BC，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查平行线分线段成比例、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．【分析】根据题意和各个选项中的条件，可以判断各个选项中的条件能否推出△BCD∽△CAD，从而可以判断△ABC是否为直角三角形．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°
∴若∠A＝∠BCD，则∠ACD+∠BCD＝90°，故∠ACB＝90°，选项A不符合题意；
若＝，则△BCD∽△CAD，∠BCD＝∠A，故∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACB＝90°，选项B不符合题意；
若＝，则△BCD∽△CAD，∠BCD＝∠A，故∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACB＝90°，选项C不符合题意；
若，无法判断△BCD∽△CAD，从而可以不能推出△ABC为直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（本大题共12题，题，每题4分，满分48分）
7．【分析】根据＝（x≠0），可以得到＝，然后将所求式子变形，再将＝代入计算即可．
【解答】解：∵＝（x≠0），
∴＝，
∴
＝+1
＝+1
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查比例的性质，解答本题的关键是明确题意，求出的值．
8．【分析】先去括号，然后计算加减法．
【解答】解：5﹣3（2﹣）
＝5﹣6+3
＝﹣+3．
故答案为：﹣+3．
【点评】本题主要考查了平面向量的知识，实数的运算法则同样能应用于平面向量的计算过程中，属于基础题．
9．【分析】由黄金分割的定义即可计算．
【解答】解：较长线段MP＝10×＝（5﹣5）（cm）．
故答案为：（5﹣5）．
【点评】本题考查黄金分割，掌握黄金分割的定义是解题的关键．
10．【分析】由抛物线有最高点可得抛物线开口方向，进而求解．
【解答】解：∵抛物线有最高点，
∴抛物线开口向下，
∴m﹣2＜0，
解得m＜2，
故答案为：m＜2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．11．【分析】由抛物线的对称轴为y轴可得b＝0，进而求解．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为y轴，
∴﹣＝0，
∴b＝0，
∴y＝2x2+1，
∴抛物线顶点坐标为（0，1），
故答案为：（0，1）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．12．【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．【解答】解：∵y＝（x+1）2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣3），
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象与系数的关系．
13．【分析】直接利用相似三角形的性质解决问题．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比是4：9，
∴两个相似三角形的相似比为4：9，
∴它们的对应角平分线的比为4：9．
故答案为：4：9．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比．
14．【分析】根据题意可得：BC⊥AC，BC＝3千米，∠DBA＝α，BD∥AC，从而可得∠A＝∠DBA＝α，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【解答】解：如图：BC为飞机离地面的高度，
由题意得：
BC⊥AC，BC＝3千米，∠DBA＝α，BD∥AC，
∴∠A＝∠DBA＝α，
在Rt△ABC中，AB＝＝（千米），
∴此时飞机与目标A点的距离为千米，
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，列代数式，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
15．【分析】根据平行线的性质、相似三角形的判定和性质，可以得到＝（）2，
再根据锐角三角函数即可求得的值，从而可以求得的值．
【解答】解：∵∠ACD＝90°，∠D＝45°，
∴∠DAC＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠BCA＝∠DAC＝45°，
又∵∠B＝∠ACD＝90°，
∴△DCA∽△ABC，
∴＝（）2，
∵∠B＝90°，∠BCA＝45°，
∴∠CAB＝45°，
∴sin∠CAB＝＝，
∴＝（）2＝（）2＝，
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形、梯形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．【分析】由三角形的重心定理得出＝，＝，由平行线分线段成比例定理得出
＝，从而得到的值．
【解答】解：∵线段AD、BE是△ABC的中线，
∴＝，＝，
∵EF∥BC，
∴＝＝，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形的重心定理；熟练掌握三角形的重心定理，由平行线分线段成比例定理得出FG：DG＝1：2是解决问题的关键17．【分析】作AM⊥BC于M，延长AE、DC交于点N，首先说明AM垂直平分BE，可得AB＝AE，再证明△ABE≌△NCE（ASA），得NE＝AE＝8，由CE∥FG，得△NCE∽△NFG，从而解决问题．
【解答】解：作AM⊥BC于M，延长AE、DC交于点N，
∵cos B＝，AB＝8，
∴BM＝2，
∵点E为BC的中点，
∴BE＝4，
∴ME＝BM＝2，
∴AM垂直平分BE，
∴AB＝AE＝8，
∵AF平分∠EAD，
∴∠DAF＝∠GAF，
∵AD∥GF，
∴∠DAF＝∠AFG，
∴∠GAF＝∠GFA，
∴AG＝FG，
设AG＝FG＝x，
∴EG＝8﹣x，
∵BE＝CE，∠AEB＝∠NEC，∠ABE＝∠NCE，
∴△ABE≌△NCE（ASA），
∴NE＝AE＝8，
∵CE∥FG，
∴△NCE∽△NFG，
∴，
解得x＝，
∴FG＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．18．【分析】延长A′D交AB于点G，由A′D⊥AC，得∠A′DC＝∠ADG＝∠ACB＝90
°，由CA′∥AB，得∠A′CD＝∠A，则A′D＝CD•tan∠A′CD＝CD•tan A＝CD，
所以AD＝（4﹣AD），求得AD＝，则GD＝AD＝，CD＝，由勾股定理得
AG＝＝，则BG＝5﹣＝，可证明∠CDF＝45°，则CF＝CD＝，
BF＝，再证明△EBF∽△EGD，即可根据相似三角形的对应边成比例求得BE＝．【解答】解：如图，延长A′D交AB于点G，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵A′D⊥AC，
∴∠A′DC＝∠ADG＝∠ACB＝90°，
∵CA′∥AB，
∴∠A′CD＝∠A，
∴A′D＝CD•tan∠A′CD＝CD•tan A＝CD，
由翻折得AD＝A′D＝CD，
∴AD＝（4﹣AD），
解得AD＝，
∴GD＝AD•tan A＝AD＝×＝，CD＝4﹣＝，
∴AG＝＝＝，
∴BG＝5﹣＝，
∵∠A′DE＝∠ADE＝＝135°，
∴∠CDF＝135°﹣90°＝45°，
∴CF＝CD•tan∠CDF＝CD•tan45°＝CD×1＝CD＝，
∴BF＝3﹣＝，
∴BF∥GD，
∴△EBF∽△EGD，
∴＝，
∴＝，
解得BE＝，
故答案为：．
【点评】此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题（大题共7题，满分78分）.
19．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝4×﹣×+2×（）2
＝2﹣+2×
＝2﹣+1．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．【分析】（1）利用平行线的性质，平行四边形的判定和性质，三角形法则求解即可；
（2）利用平行四边形法则画出图形即可．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，＝，BC＝3AD，
∴＝，
∴＝+＝﹣+，
∵AD∥EC，AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝EC，
∴BE＝2EC，
∴＝，
∴＝+＝+，
∵AD∥BE，
∴＝＝，
∴AF＝AE，
∴＝+；
（2）如图，，即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，梯形的性质，平面向量等知识，解题的关键是掌握三角形法则，属于中考常考题型．
21．【分析】（1）作DF⊥BC于点F，根据平行线分线段澄碧，可以得到DF的长，再根据sin∠CBD＝，即可得到BD的长；
（2）根据（1）中的结论和勾股定理，可以得到BE的长，然后即可计算出tan∠BAE的值．
【解答】解：（1）作DF⊥BC于点F，
∵AE⊥BC，
∴DF∥AE，
∴，
∵CD＝2AD，CD+AD＝CA，
∴，
∵AE＝9，
∴＝，
解得DF＝6，
∵sin∠CBD＝，sin∠CBD＝，
∴，
解得BD＝8；
（2）∵BD＝CD，DF⊥BC，
∴BF＝CF，
由（1）知：DF＝6，BD＝8，∠DFC＝90°，
∴CF＝＝＝2，
∴BF＝2，
∵DF∥AE，CD＝2AD，
∴CF＝2EF，
∴EF＝，
∴BE＝BF﹣EF＝2﹣＝，
∴tan∠BAE＝＝．
【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
22．【分析】（1）连接AE并延长，交BC于点G，根据题意可得AB∥EF，易证明△GEF∽△GAB，根据相似三角形的性质即可求解．
（2）连接AE并延长，交CD于点H，过点H作HN⊥AB于点N，交EF于点M，过点H作HP⊥BC交BC延长线于点P，根据题意可得CF+CH＝4米，，设CH＝x米，则CF＝（4﹣x）米，HP＝米，CP＝米，再分别表示出MH、AN、ME、NH的长，易证△HEM∽△HAN，根据相似三角形的性质可得关于x的方程，求解即可．
【解答】解：如图1，连接AE并延长，交BC于点G，
由题意可知，AB＝9米，EF＝3米，FG＝4米，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，
∴AB∥EF，
∴△GEF∽△GAB，
∴，即，
∴BG＝12米，
∴BF＝BG﹣FG＝12﹣4＝8（米），
∴标尺与路灯间的距离为8米；
（2）如图2，连接AE并延长，交CD于点H，过点H作HN⊥AB于点N，交EF于点M，过点H作HP⊥BC交BC延长线于点P，
由题意可得，CF+CH＝4米，，
设CH＝x米，则CF＝（4﹣x）米，HP＝米，CP＝米，
∴MF＝BN＝HP＝米，MH＝米，
∴AN＝米，ME＝米，
∵BC＝15.5米，
∴NH＝米，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，
∴AB∥EF，
∴∠EMH＝∠ANH，∠HEM＝∠HAN，
∴△HEM∽△HAN，
∴，即，
整理得：2x2+9x﹣35＝0，
解得：x1＝﹣7（不符合题意，舍去），，
则CF＝4﹣x＝4﹣＝1.5（米），
∴BF＝BC﹣CF＝15.5﹣1.5＝14（米），
∴此时标尺与路灯间的距离为14米．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣坡度坡脚问题、中心投影、相似三角形的判定与性质，在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
23．【分析】（1）由BG＝GA，且BG2＝GE•GC，得GA2＝GE•GC，则＝，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△EGA∽△AGC，则∠GAE＝∠GCA；
（2）先证明△EGB∽△BGC，得∠GBE＝∠GCB，则∠AED＝∠GAE+∠GBE＝∠GCA+
∠GCB＝∠FCB，由AD∥BC，得∠ADE＝∠FBC，所以△ADE∽△FBC，得＝，所以AD•BC＝FB•DE，再证明△ADF∽△CBF，推导出FB＝2DF，则AD•BC＝2DF•DE．【解答】证明：（1）∵点G是AB边上的中点，
∴BG＝GA，
∵BG2＝GE•GC，
∴GA2＝GE•GC，
∴＝，
∵∠EGA＝∠AGC，
∴△EGA∽△AGC，
∴∠GAE＝∠GCA．
（2）∵BG2＝GE•GC，
∴＝，
∵∠EGB＝∠BGC，
∴△EGB∽△BGC，
∴∠GBE＝∠GCB，
∴∠AED＝∠GAE+∠GBE＝∠GCA+∠GCB＝∠FCB，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FBC，
∴△ADE∽△FBC，
∴＝，
∴AD•BC＝FB•DE，
∵△ADF∽△CBF，AD＝BC，
∴＝＝，
∴FB＝2DF，
∴AD•BC＝2DF•DE．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明△ADE∽△FBC是解题的关键．
24．【分析】（1）由抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x＝，得﹣＝①，抛物线y
＝ax2+bx+2经过点A（4，0），有16a+4b+2＝0②，可解得a＝﹣，b＝，y＝﹣x2+x+2，即得抛物线顶点D的坐标为（，）；
（2）过M作MP∥y轴交AB于P，在y＝﹣x2+x+2中，得B（0，2），故直线AB解析式为y＝﹣x+2，令x＝1得P（1，），在y＝﹣x2+x+2中，可得M（1，3），从
＝PM×|x A﹣x B|＝3；
而PM＝3﹣＝，S
△ABM
（3）过B作BH⊥MP于H，由B（0，2），M（1，3），可得BH＝MH＝1，BM2＝2，即知∠BMQ＝45°，可求出AM2+BM2＝AB2，∠AMB＝90°，故∠AMP＝90°﹣∠BMQ＝
45°＝∠BMQ，要使△BMQ与△AMP相似，只需＝或＝，设Q（1，t），
则MQ＝3﹣t，即得＝或＝，分别解方程可得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x＝，
∴﹣＝①，
∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0），
∴16a+4b+2＝0②，
由①②可得a＝﹣，b＝，
∴y＝﹣x2+x+2，
在y＝﹣x2+x+2中，令x＝得：y＝﹣×（）2+×+2＝，
∴抛物线顶点D的坐标为（，）；
（2）过M作MP∥y轴交AB于P，如图：
在y＝﹣x2+x+2中，令x＝0得y＝2，
∴B（0，2），
∵A（4，0），
∴直线AB解析式为y＝﹣x+2，
在y＝﹣x2+x+2中，令x＝1得y＝3，
∴M（1，3），
在y＝﹣x+2中，令x＝1得y＝，
∴P（1，），
∴PM＝3﹣＝，
＝PM×|x A﹣x B|＝××4＝3；
∴S
△ABM
（3）过B作BH⊥MP于H，如图：
由（2）知，B（0，2），M（1，3），
∴BH＝MH＝1，BM2＝2，
∴△BMH是等腰直角三角形，
∴∠BMQ＝45°，
∵A（4，0），
∴AB2＝20，AM2＝18，
∴AM2+BM2＝AB2，
∴∠AMB＝90°，
∴∠AMP＝90°﹣∠BMQ＝45°＝∠BMQ，
要使△BMQ与△AMP相似，只需＝或＝，设Q（1，t），则MQ＝3﹣t，
当＝时，＝，
解得t＝，
∴Q（1，），
当＝时，＝，
解得t＝﹣1，
∴Q（1，﹣1），
综上所述，Q的坐标为（1，）或（1，﹣1）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，相似三角形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
25．【分析】（1）取BF的中点O，连接OE，OA．证明EBFA四点共圆，可得结论；
（2）过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FN⊥DA交DA的延长线于点N．证明△BME ≌△ENF（AAS），推出BM＝EN＝EM＝FN，解直角三角形可得BM＝AM＝EN＝AB ＝2，推出AM＝NF＝2﹣x，推出AF＝AN＝4﹣x，可得AQ＝y﹣（4﹣x），由AE∥CB，推出＝，由此构建关系式，可得结论；
（3）分两种情形：当点F在线段AC上时，当点F在CA的延长线上时，分别求解可得结论．
【解答】（1）证明：取BF的中点O，连接OE，OA．
∵∠BEF＝∠BAF＝90°，OB＝OF，
∴OE＝BF，OA＝BF，
∴OE＝OB＝OA＝OF，
∴E，B，F，A四点共圆，
∴∠AEG＝∠GBF，
∵∠AGE＝∠FGB，
∴△AEG∽△FBG；
（2）解：过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FN⊥DA交DA的延长线于点N．
∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，
∴BC＝AB＝4，∠ABC＝∠C＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAB＝∠ABC＝45°，
∵A，E，B，F四点共圆，
∴∠EFB＝∠EAB＝45°，
∵∠BEF＝90°，
∴∠EBF＝∠EFB＝45°，
∴EB＝EF，
∵∠BME＝∠BEF＝∠N＝90°，
∴∠BEM+∠FEN＝90°，∠FEN+∠EFN＝90°，
∴∠BEM＝∠EFN，
∵BE＝EF，
∴△BME≌△ENF（AAS），
∴BM＝EN＝EM＝FN，
∵AD∥CB，
∴∠DAB＝∠ABC＝45°，∠NAF＝∠C＝45°，
∴BM＝AM＝EN＝AB＝2，
∴AM＝NF＝2﹣x，
∴AF＝AN＝4﹣x，
∴AQ＝y﹣（4﹣x），
∵AE∥CB，
∴＝，
∴＝，
∴y＝（0＜x≤2）；
（3）解：当点F在线段AC上时，∵BE＝3，BM＝2，
∴ME＝＝＝1，
∴AN＝AF＝1，
∴AF＝，
∴CF＝AC﹣AF＝4﹣．
当点F在CA的延长线上时，过点B作BM⊥AD
于点M，过点F作FN⊥DA交DA于点N．
同法可证EM＝FN＝AN＝1，
∴AF＝，
∴CF＝AF+AC＝4+，
综上所述，满足条件的CF的值为4﹣或4+．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。