西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数 矩阵和运算

B=
18150
200 180 190 100 120 100 150 160 140 180 150 150
引例 某厂家向A, B, C三个代理商发送四款产品.
单价 重量
数量(箱)
产品 (元/箱) (Kg/箱) A B C
甲 20 16 200 180 190
乙 50 20 100 120 100
y2 a21 x1 a22 x2 a2n xn
,
(2)
ym am1 x1 am2 x2 amn xn ,
表示一个从变量 x1 , x2 , ···, xn 到变量 y1 , y2 , ···,
ym 的线性变换， 其中 aij 为常数.
线性变换（2）的系数 aij 构成矩阵 A = ( aij )mn .
引例1 求解线性方程组
x1 2x2 3x3 2x1 2x2 1x3
1 0
3x1 4x2 3x3 0
1 2 3 1 2 2 1 , 0 3 4 3 0
x1
2 2x2
x2
3 5x3
x3
1 2
1x3 1
1 0
2 2
3 5 ,
1 2
0 0 1 1
am1 am2 amn
叫做一个 m n 矩阵, 这 m n 个数叫做矩阵的
元素, aij 叫做矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素.
“矩阵 (matrix)” 这个词首先是英国数学 家西尔维斯特使用的. 他为了将数字的矩形阵 列区别于 行 列 式 (determinant)而发明 了这个述语。
英语 高等数学 大学物理 线性代数
甲
85
85
65
98
乙
75
95
70
95
丙
80
70
76
92
85 85 65 98 75 95 70 95 80 70 76 92
例2 图及其矩阵表述. 四个城市间的单向航线如下图 所示. 若令 1，从 i 市到 j 市有 单向航线 aij = 0，从 i 市到 j 市没有单向航线
3). 运算规律
设 A, B, C 为同型矩阵, 则 (1) A + B = B + A ( 加法交换律) ; (2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (加法结合律); (3) A + O = O + A = A,
其中 O 与 A 是同型矩阵; (4) A + ( -A ) = O .
1 矩阵的加法
1). 引例
产品 发到各商场的数量 ABC
甲 200 180 190 乙 100 120 100
产品 发到各商场的数量 ABC
甲 220 185 200 乙 105 120 110
第一次
第二次
两次累计:
产品 发到各商场的数量 ABC
甲 420 365 390 乙 205
三. 矩阵的线性运算
1 0
0.5 0
A1
0
1 , A2 0
1 ,
A3
0
2 ,
A4
cos( sin(
)
2
)
2
csoisn((2))
2
2、 几种常用的特殊矩阵
(1) 行矩阵和列矩阵
只有一行的矩阵称为行矩阵 (也称为行向量).
如
A = ( a11 ，a12 ，···，a1n ).
只有一列的矩阵称为列矩阵 (也称为列向量).
三. 矩阵的线性运算
1 矩阵的加法
1). 引例
产品 发到各商场的数量 ABC
甲 200 180 190 乙 100 120 100
产品 发到各商场的数量 ABC
甲 220 185 200 乙 105 120 110
第一次
第二次
两次累计:
产品 发到各商场的数量 ABC
甲 420 365 390 乙
三. 矩阵的线性运算
例如，线性变换
y1 y2
3 x1 2 x1
x2
6x3 , x3
单位矩阵
1
En
1
1 n
A
3 2
0 1
16
恒等变换
y1 x1
y2
x2
y2 xn
例5 已知向量 OP 12 。请分析经过线性变换
后，向量 OPi 与向量OP 的几何关系。其中线性
变换矩阵分别为：
1 0
4 4 0 4 0 0 0 0 3 3 7 3 3 3 2 3 0 0 0 0 0 3 0 0
例4 线性变换的矩阵
n 个变量 x1 , x2 , ···, xn 与 m 个变量 y1 , y2 ,
···, ym 之间的关系式
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn ,
则此航线图可用矩阵表示为
0 1 1 1
1 0 0 0
0 1
1 0
0 1
0 0
1
4
2
3
例3 刚体的外形描述 试用矩阵表示一个“A”形状的刚体
0 0
4 14
6 14
10 0
8 0
5 11
3.5 6
.5
2 0
00
例3 刚体的外形描述 飞行器的三维图像用N个顶点的三维坐标描述
200 180 190 100 120 100 150 160 140 180 150 150
一. 定义
1、定义 由 m n 个数 aij (i = 1, 2, ···, m; j = 1,
2, ···, n) 排成的 m 行 n 列的数表
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
(1)
2、数与矩阵相乘
引例
期末成绩
英语 高等 大学 线性 数学 物理 代数
甲 85 85 65 98 乙 75 95 70 95 丙 80 70 76 92
平时成绩
英语 高等 大学 线性 数学 物理 代数
甲 90 70 80 92 乙 80 90 82 92 丙 85 75 90 90
若期末考试成绩占总成绩的90%，而平时成绩占 10%，请用矩阵运算来表述这三名同学的总成绩。
英国数学家凯莱被 公认为是矩阵论的创立 者.他首先把矩阵作为 一个独立的数学概念, 并发表了一系列关于这 个题目的文章.
James Joseph Sylvester
(1814.9~1897.3)
Arthur Cayley (1821.8~1895.1)
二. 矩阵的应用举例
例1 学生的考试成绩
甲、乙、丙三位同学的考试成绩如下表所示， 请用矩阵进行表示。
丁 25 16 180 150 150
总价(元) 18000
总重(Kg)
20 50 30 25 A = 16 20 16 16
B=
18000
200 180 190 100 120 100 150 160 140 180 150 150
引例 某厂家向A, B, C三个代理商发送四款产品.
单价 重量
数量(箱)
解：用矩阵A和B分别来表示期末和平时成绩，则有
85 85 65 98 A 75 95 70 95
80
70
76
92
90 70 80 92 B 80 90 82 92
85
75
90
90
根据题意知，三名同学的总成绩可以用C来表示， 具体运算如下。
85 0.9 85 0.9 65 0.9 98 0.9 90 0.1 70 0.1 80 0.1 92 0.1 C 75 0.9 95 0.9 70 0.9 95 0.9 80 0.1 90 0.1 82 0.1 92 0.1
1、矩阵的加法
1). 引例
产品 发到各商场的数量 ABC
甲 200 180 190 乙 100 120 100
产品 发到各商场的数量 ABC
甲 220 185 200 乙 105 120 110
第一次
第二次
两次累计:
产品 发到各商场的数量 ABC
甲 420 365 390 乙 205 240 210
例6 设
A
3 2
10
,
B
2 2
1 2
,
且 2A 3X B, 求矩阵 X .
引例 某厂家向A, B, C三个代理商发送四款产品.
单价 重量
数量(箱)
产品 (元/箱) (Kg/箱) A B C
甲 20 16 200 180 190
乙 50 20 100 120 100
丙 30 16 150 160 140
,
ann
a21 an1
a22
an2
.
ann
三. 矩阵的线性运算
1 矩阵的加法
1). 引例
产品 发到各商场的数量 ABC
甲 200 180 190
乙 100 120 100
产品 发到各商场的数量 ABC
甲 220 185 200 乙 105 120 110
第一次
第二次
两次累计:
产品 发到各商场的数量 ABC
如
a11
B
a21
.
am1
(2) 零矩阵 若一个矩阵的所有元素都为零，则称这个矩
阵为零矩阵， m n 零矩阵记为 Ｏm n ，在不会 引起混淆的情况下，也可记为 Ｏ．
(3) 方阵 行数和列数相同的矩阵称为方阵．如果 行数和列数都是n就称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵，
简记为 A= ( aij )n .
称矩阵
ka11
（kai） j mn
ka21
ka12 ka22
ka1n ka2n
kam1 kam2 kamn
为数 k 与矩阵 A 的数量乘积, 简称数乘, 记为 kA.
2). 运算规律
设 A, B 为同型矩阵, k, l 为常数，则
(1) 1A = A; (2) k(lA) = (kl) A; (3) k(A + B) = kA + kB; (4) (k + l)A = kA + lA. 矩阵相加与数乘矩阵，统称为矩阵的线性运算.
产品 (元/箱) (Kg/箱) A B C
甲 20 16 200 180 190
乙 50 20 100 120 100
丙 30 16 150 160 140
丁 25 16 180 150 150
总价(元) 18000 18150 16750
总重(Kg)
20 50 30 25 A = 16 20 16 16
(4) 对角矩阵 主对角线上的元素不全为零，其余的元素全
都为零的方阵称为对角矩阵，如
a11
A
a22
ann
主对角线
对角矩阵常记为 A = diag( a11 , a22 , ···, ann ).
(5) 单位矩阵
主对角线上的元素全为 1 的对角矩阵称为单
位矩阵, 简记为 E 或 I . 如
1 矩阵的加法
1). 引例
产品 发到各商场的数量 ABC
甲 200 180 190
乙 100 120 100
产品 发到各商场的数量 ABC
甲 220 185 200 乙 105 120 110
第一次
第二次
两次累计:
产品 发到各商场的数量 ABC
甲 420 365 390 乙 205 240
三. 矩阵的线性运算
引例2. 某厂家向A, B, C三个商场发送四款产品.
产品
单价 (元/箱)
重量 (Kg/箱)
数量(箱) ABC
甲 20
16 200 180 190
乙 50
20 100 120 100
丙 30
16 150 160 140
丁 25
16 180 150 150
甲乙丙丁 单价 20 50 30 25 重量 16 20 16 16
1
En
1
.
1 n
n 阶单位矩阵 E 在矩阵代数中占有很重要的地
位, 它的作用与 “1” 在初等代数中的作用相似.
如
EA = AE = A .
(6) 三角形矩阵
主对角线下 (上) 方的元素全为零的方阵称为
上 (下) 三角形矩阵. 例如
a11
a12 a22
a1n a11
a2
n
80 0.9 70 0.9 76 0.9 92 0.9 85 0.1 75 0.1 90 0.1 90 0.1
85.5 83.5 66.5 97.5 75.5 94.5 71.2 94.7
80.5
70.5
77.4
91.8
2、数与矩阵相乘 1). 定义
定义 设 A = ( aij )m×n , k 是一个数, 则
甲 420 乙
三. 矩阵的线性运算
1 矩阵的加法
1). 引例
产品 发到各商场的数量 ABC
甲 200 180 190
乙 100 120 100
产品 发到各商场的数量 ABC
甲 220 185 200 乙 105 120 110
第一次
第二次
两次累计:
产品 发到各商场的数量 ABC
甲 420 365 乙
丙 30 16 150 160 140
丁 25 16 180 150 150
总价(元) 18000 18150 16750
总重(Kg) 10480 10240 9680
2). 定义
定义 设 A = (aij)m×n 与 B = (bij)m×n 是两 个同型矩阵，称 m×n 矩阵 C = (aij + bij)m×n 为矩 阵 A 与矩阵 B 的和，记为 A＋B．
注意： 同型阵之间才能进行加法运算
若记 - A = ( -aij) , 则称 -A 为矩阵 A 的负矩 阵. 显然有 A + (-A) = O. 由此可定义矩阵的差为 A - B = A + (-B) .