【K12高考数学】2018高考数学理(全国)一轮(2017高考)试题汇编：第二章 函数

第二章函数
第一节函数的概念及其表示 题型10映射与函数的概念——暂无 题型11同一函数的判断——暂无 题型12函数解析式的求法 题型13函数定义域的求解 题型14函数值域的求解
第二节函数的基本性质——奇偶性、单调性、周期性 题型15函数的奇偶性 题型16函数的单调性
1.（2017山东理15）若函数()e x f x （e
2.71828=L 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为.
①()2x f x -=
②()3x f x -=
③()3f x x = ④()22f x x =+
解析①()e =e e 22x
x x x
y f x -⎛⎫
=⋅= ⎪⎝⎭
在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()e =e e 33x
x
x
x
y f x -⎛⎫
=⋅= ⎪⎝⎭
在R 上单调递减，故()3x f x -=不具有M 性质；
③()3=e e x x y f x x =⋅，令()3e x g x x =⋅，则()()322e e 3e 3x x x g x x x x x '=⋅+⋅=+， 所以当3x >-时，()0g x '>；当3x <-时，()0g x '<，所以()3=e e x x y f x x =⋅在
(),3-∞-上单调递减，在()3,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；
④()()
2=e e 2x x y f x x =+.令()()
2e 2x g x x =+，
则()()()2
2
e 2e 2e 110x
x x g x x
x x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦
，所以()()2=e e 2x x y f x x =+在R
上单调
递增，故()22f x x =+具有M 性质． 综上所述，具有M 性质的函数的序号为①④. 题型17函数的奇偶性和单调性的综合
1.（17江苏11）已知函数()31
2e e x
x
f x x x =-+-
，其中e 是自然对数的底数．若()()2120f a f a -+„，则实数a 的取值范围是．
解析易知()f x 的定义域为R .
因为()()()3
12e e x
x f x x x ---=---+-
()312e e
x
x x x f x =-+-+=-， 所以()f x 是奇函数．
又()2213e 3e
02x
x f x x x +
'=-+……，且()0f x '=不恒成立，所以()f x 在R 上单调递增．
因为()()
2120f a f a -+„，所以()()()
22
122f a f a f a --=-„，于是
212a a --„，即2210a a +-„，解得11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
．故填11,2⎡
⎤-⎢⎥⎣⎦．
2.（2017天津理6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，
0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（）.
A.a b c <<
B.c b a <<
C.b a c <<
D.b c a <<
解析因为奇函数()f x 在R 上增函数，所以当0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是
R 上的偶函数，且在(0,)+∞上是增函数.()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，0.822<，又
4 5.18<<，则
22log 5.13<<，所以0.8202log 5.13
<<<，于是
()()()0.822log 5.13g g g <<，即b a c <<.故选C.
3.(2017北京理5)已知函数()133x
x f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，则()f x （）.
A.是奇函数，且在R 上是增函数
B.是偶函数，且在R 上是增函数
C.是奇函数，且在R 上是减函数
D.是偶函数，且在R 上是减函数
解析由题知()133x x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()11
3333
x
x x x f x f x --⎛⎫-=-=
-=- ⎪⎝⎭
，所以()f x 为奇函数.又因为3x 是增函数，13x
⎛⎫- ⎪⎝⎭
也是增函数，所以()f x 在R 上是增函数.故选A. 4.（2017全国1理5）函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()211x f --剟的x 的取值范围是（）. A ．[2,2]-
B ．[1,1]-
C ．[0,4]
D ．[1,3]
解析因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --剟
等价于 ()()()121f f x f --剟，又()f x 在()-∞+∞，单调递减，所以121x --剟，所以3x 1剟.
故选D.
题型18函数的周期性
1.（2017江苏14）设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[)0,1上，
()2,,x x D f x x x D
⎧∈=⎨∉⎩．其中集合*1,n D x x n n ⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的
解的个数是．
解析由题意()[)0,1f x ∈，所以只需要研究[)1,10x ∈内的根的情况． 在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2q
x p q p p
=
∈N …，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2n
x m n m m
=
∈N …，且,m n 互质.
从而10n
m
q p =，则10m
n q p ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，
于是lg x 不可能与x D ∈内的部分对应相等， 所以只需要考虑lg x 与每个周期内x D ∉部分的交点.
如图所示，通过函数的草图分析，图中交点除()1,0外，其它交点均为x D ∉的部分． 且当1x =时，()1111
lg 1ln10
ln10
x x x x =='
=
=
<，所以在1x =附近只有一个交点， 因而方程解的个数为8个．故填8． 第三节二次函数与幂函数
题型19二次函数图像及应用——暂无
题型20二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
1.(2017浙江理5)若函数()2f x x ax b =++在区间[]01，上的最大值是M ，最小值是
m ，则M m -（）.
A.与a 有关，且与b 有关
B.与a 有关，但与b 无关
C.与a 无关，且与b 无关
D.与a 无关，但与b 有关 解析函数()2f x x ax b =++的图像是开口朝上且以直线2
a
x =-
为对称轴的抛物线. ①当12a -
>或02
a
-<，即2a <-，或0a >时，函数()f x 在区间[]0,1上单调，此时()()101M m f f a -=-=+，故M m -的值与a 有关，与b 无关；
②当112
2a -
剟，即21a --剟时，函数()f x 在区间0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦上单调递减，在,12a ⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦上单调递增，
且()()01f f >，此时()2
024
a a
M m f f ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，故M m -的值与a 有关，与b 无
关； ③当1022a -
<„，即10a -<„时，函数()f x 在区间0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦上单调递减，在,12a ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上
单调递增，
且()()01f f <)，此时()21124a a M m f f a ⎛⎫
-=--=++ ⎪⎝⎭
，故M m -的值与a 有关，
与b 无关.
综上可得，M m -的值与a 有关，与b 无关.故选B ． 题型21二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系——暂无 题型22二次函数恒成立问题
1.（2017天津理8）已知函数，设a ∈R ，若关于x 的不等式
()2
x
f x a +…在R 上恒成立，则a 的取值范围是（）.
A.47,216⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦ B.4739,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
C.23,2⎡⎤-⎣⎦
D.3923,16⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 解析解法一：易知()0f x ≥，由不等式()2x f x a +…，得()()2
x
f x a f x -+剟，即
()()22
x x f x a f x ---剟，只需要计算()()2x g x f x =--在R 上的最大值和()()2x
h x f x =-在
R 上的最小值即可，
当1x „时，()g x =2
2
147473241616x x x ⎛
⎫-+-=---- ⎪⎝
⎭„（当1=4x 时取等号），
()h x =2
2
3339393241616x x x ⎛
⎫-+=-+ ⎪⎝⎭
…（当34x =时取等号）
， 所以4739
1616
a
-
剟； 当1>x 时，()g x =3
23
2232
2
x x x x ⎛⎫--
=-+- ⎪⎝⎭„23x =
时取等号），
()h x =
22
2222x x x x
+⨯=…（当=2x 时取等号）
， 所以232a -剟
. 综上所述，得47
216
a -
剟．故选A ． 解法二：分别作出函数和2
x
y a =
+的图像，如图所示. 若对于任意x ∈R ，()2
x f x a +…恒成立，则满足()212
x x a x x ++>…且
()2312x x x a x -+--厔恒成立，即()2
12x a x x
+>„，又22222x x x x +⨯=?，当且仅当
2
2x x
=时，即2x =时取等号，所以2a „. 且()2312
x
a x x --+剟
，则2min 473216x a x ⎛⎫
--+= ⎪⎝
⎭„，即4716a -?. 综上所述，a 的取值范围为47,216⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
.故选A. 2.(2017浙江理17)已知a ∈R ，函数()4
f x x a a x
=+-+在区间[]14，上的最大值是5，则a 的取值范围是. 解析设4
t x x
=+
，则()f t t a a =-+，[]4,5t ∈. 解法一：可知()f t 的最大值为{}max (4),(5)f f ，即(4)45
(5)55f a a f a a ⎧=-+=⎪⎨
=-+⎪⎩
„或
(4)45
(5)55
f a a f a a ⎧=-+⎪⎨
=-+=⎪⎩„，解得 4.55a a =⎧⎨⎩„或 4.55a a ⎧⎨⎩„„，所以 4.5a „．则a 的取值范围是(],4.5-∞. 解法二：如图所示，当0a <时，()5f t t a a t =-+=„成立； 当0a t <„时，()05f t a t a t =-+-=„成立；
a
当a t >时，()5f t t a a a t a =-+=-+„成立，即 4.5a „. 则a 的取值范围是(],4.5-∞.
题型23幂函数的图像与性质——暂无 第四节指数函数与对数函数
题型24指（对）数运算及指（对）数方程
1.(2017北京理8)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010，则下列各数中与
M N
最接近的是（）.（参考数据：
lg30.48≈）
A.3310
B.5310
C.7310
D.9310
解析设361
80310
M x N ==，
两边取对数36180lg lg 3lg10361lg 380x =-=⨯-，即93.28x =， 所以接近9310.故选D.
2.（2017全国1理11）设x ，y ，z 为正数，且235x y z ==，则（）. A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z <<
解析设235x y z t ===，两边取对数得ln 2ln 3ln 5ln x y z t ===，则2ln 2ln 2
t
x =
3ln 3ln 3t y =，5ln 5ln 5t z =，ln 0t >.设()ln x f x x
=，()()2ln 1ln x f x x -'=，当()0,e x ∈时， ()0f x '<，()f x 单调递减；当()e,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.而
()24ln x f t =，
()33ln y f t =，()55ln z f t =.由e<3<4<5，得325y x z <<.故选D.
题型25指（对）数函数的图像及应用——暂无 题型26指（对）数函数的性质及应用 第五节函数的图像及应用
题型27识图(知式选图、知图选式) 题型28作函数的图像——暂无 题型29函数图像的应用
1.（2017全国3理15）设函数()10
20x
x x f x x +⎧=⎨>⎩
，，…，则满足()112f x f x ⎛
⎫+-> ⎪⎝
⎭的x 的取
值范围是_________.
解析因为()1,02 ,0
x x x f x x +⎧=⎨>⎩≤，()112f x f x ⎛
⎫+-> ⎪⎝⎭，即
()112f x f x ⎛
⎫->- ⎪⎝
⎭.由图像变换可
作出12
y f x ⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
与()1y f x =-的图像如图所示.由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫
->- ⎪⎝
⎭
的
解集为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
.
2.（2017山东理10）已知当[]0,1x ∈时，函数()2
1y mx =-的图像与y m =
的图
像有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（）.
A.(])
0,1⎡+∞⎣
U B.(][)0,13,+∞U
C.(
)⎡+∞⎣
U D.(
[)3,+∞U
解析解法一：()2
22121y mx m x mx =-=-+过点()0,1且对称轴为1
x m
=
. 当01m <<时，
1
1m
>，从而2221y m x mx =-+在区间()0,1上单调递减，函数
()2
1y mx =-与y m =的草图如图所示，此时有一个交点；
当1m >时，
11m <，所以2221y m x mx =-+在区间10m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增.若函数()2
1y mx =-与y m =
有一个交点，草图如图所示，则
()
2
11m m ⨯-?，解得3m …
；
当1m =时，函数()2
1y x =-与1y =
显然在区间[]0,1有且只有一个交点为()0,1.
综上所述，m 的取值范围是(][)0,13+∞U ，.故选B.
解法二：若m =则)
[]2
1,0,1y x =
-∈的值域为[]0,1；[]
0,1y x =∈
的值域为，所以两个函数的图像无交点，故排除C 、D ；若3m =，则点()
1,4是两个函数的公共点.故选B.。