江苏省东台市唐洋镇中学九年级数学上册《1.3.4 正方形

知识梳理：
• 有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

• 正方形既是矩形又是菱形，它都有什么性质呢？
• （1）边的性质： 正方形的四条边都相等 ；
• （2）角的性质： 正方形的四个角都是直角 ；
• （3）对角线的性质： 正方形的对角线互相垂直平分，
• 并且每条对角线平分一组对角 ；
• （4）对称性： 轴对称、中心对称 .
例1、已知：如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，正方形A ′B ′C ′D ′的顶点A ′与点O 重合，A ′B ′交BC 于点E ，A ′D ′交CD 于点F.
(1) E 是BC 的中点，求证：OE=OF.
(2)若正方形A ′B ′C ′D ′绕点O 旋转某个角度后，OE=OF 吗？两正方形重合部分的面积怎样变化？为什么？
（3）如果将正方形A ’B ’C ’D ’换成扇形OB ’D ’，满足什么条件时上述的关系还成立吗？
例2、已知：如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，点F 在CD ，∠FAE=∠BAE. 求证：AF=BC+EC
1.3-4正方形的性质
课 题 1.3-4正方形的性质
教学目标：1.进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。

2.能用正方形的性质定理证明相关问题。

教学重点、难点：正方形的性质定理的应用。

( )
F
E O A '
A B C D
B ' D '
C '
例3、已知：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，
∠FAE=∠BAE. 求证：AF=BC+EC.(截长补短)
例4、在正方形ABCD中
(1)已知：如图①，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M，求证：AE=BF.
(2)如图②，如果点E、F、G分别在BC、CD、DA上，且GE⊥BF，垂足M，那么GE与BF相等吗？证明你的结论.
(3)如图③，如果点E、F、G、H分别在BC、CD、DA、AB上，且GE⊥HF，垂足M，那么GE与HF相等吗？证明你的结论.
三、体会与交流
四、自我检测
1、如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是对角线AC上的一点，分别以AP、PC为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是_________。

2、如图,正方形ABCD中,∠DAF=25°,AF交对角线BD于E,交CD于F, 则∠BEC= 度.
3、如图：正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，
则PE+PF= 。

可以用一句话概括：正方形边上的任意一点到两对角线的距离
G
A
B
D
C
E
F
G
F
E C
D
B
A
A
B
D
C
E
F
E
P
D
C
B
A
F
_F
_E
_D
_C
_B
_A
M
E
A B C D 之和等于 。

4、如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到
正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（ ）
A ．1
2 B ．3
3 C ．3
13- D ．3
14-
5、如图4,正方形ABCD 中,点E 在BC 的延长线上，
AE 平分∠DAC,则下列结论:（1）∠E=22.50.
(2) ∠AFC=112.50. (3) ∠ACE=1350 （4）AC=CE (5) AD ∶CE=1∶2. 其中正确的有 （ ） （A ）5个 （B ）4个 （C ）3个 （D ）2个
6、如图，在正方形ABCD 的边BC 上任取一点M ，过点C 作CN ⊥DM 交AB 于N ，设正方形对角线交点为O ，试确定OM 与ON 之间的关系，并说明理由．
7、如图所示，在正方形ABCD 中，M 是CD 的中点，E 是CD 上一点，且∠BAE ＝2∠DAM 。

求证：AE ＝BC ＋CE 。

8、如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上运动，AC 与BE 交于点F 。

（1）如图①，当点E 运动到DC 的中点时，求△ABF 与四边形ADEF
的面积之比； （2）如图②，当点E 运动到CE ∶ED ＝2∶1时，求△ABF 与四边形ADEF 的面积之比；
（3）当点E 运动到CE ∶ED ＝3∶1时，写出△ABF 与四边形ADEF 的面积之比；当点E 运动
到CD ∶ED ＝n ∶1(n 是正整数)时，猜想△ABF 与四边形ADEF 的面积之比(只写结果，不要求写出计算过程)；
（4）请你利用上述图形，提出一个类似的问题
A
D
N
O B
M C O O。