2018_2019学年九年级数学下册第三章圆6直线和圆的位置关系教学课件(新版)北师大版

2. 已知 ⊙O 的半径为 5 cm，圆心 O 与直线 AB 的 距离为 d，根据下列条件填写 d 的取值范围： （1）若 AB 和 ⊙O 相离，则 d > 5 cm ； （2）若 AB 和 ⊙O 相切，则 d = 5 cm ； （3）若 AB 和 ⊙O 相交，则 0 cm≤d < 5 cm .
例：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3 cm，BC=4 cm，
从海上日出这种自然现象中可以抽象出哪些基 本的几何图形呢？
请同学们利用手中的工具再现海上日出的整个 情景. 在再现过程中，你认为直线与圆的位置关系可 以分为哪几类？ 你分类的依据是什么？
●
●
O
O
（地平线）
●
O
a（地平线）
一、直线与圆的位置关系（用公共点的个数来区分）
（1）直线和圆有两个公共点，叫做 直线和圆相交，这条直线叫圆的割 线，这两个公共点叫交点. （2）直线和圆有唯一个公共点，叫 做直线和圆相切，这条直线叫圆的 切线，这个公共点叫切点. （3）直线和圆没有公共点，叫做直 线和圆相离.
例 4 如图，直线 AB 与 ⊙O 相切于点 C，AO 交⊙O 于点 D，连接 CD，OC. 求证：∠ACD = 1∠COD.
2
证明：如图，作 OE丄CD 于点 E，
则∠COE+ ∠OCE= 90°.
∵⊙O 与 AB 相切于点 C，
∴OC丄AB（经过切点的半径垂直于圆的切线），
即∠ACD+ ∠OCE= 90°.
实际应用
例 2 如图，台风中心 P（100，200）沿北偏东 30°方向移动，受台风影响区域的半径为 200 km， 那么下列城市 A（200，380），B（600，480）， C（550，300），D（370，540），哪些受到这次 台风的影响，哪些不受到这次台风的影响？
合作学习
已知直线 AT 切 ⊙O 于点 A（切点），连接 OA， 则 OA 是半径. 问： ① OA 与 AT 垂直吗？ ②过点 A 作 AT 的垂线，垂线过点 O 吗？
O
A
D
B
C
连接过切点的半径 是常用的辅助线.
解：连接 OA，OC，过点 A 作 AD⊥OC 于 点 D. ∵⊙O 与 BC 相切于点 C，∴OC⊥BC. ∵AB⊥BC，AD⊥OC， ∴四边形 ABCD 是矩形， ∴AD=BC，OD=OC-CD=OC-AB. 在 Rt△ADO 中，OA2 =AD2 +OD2， 即 r2 =（r-8）2 +162，解得 r=20. ∴ ⊙O 的半径为 20 cm.
以 C 为圆心，r 为半径的圆与 AB 有怎样的位置关系？
为什么？
（1）r=2 cm；
B
（2）r=2.4 cm；
（3）r=3 cm．
4
d
D
C
A
3
分析：要了解 AB 与 ⊙C 的位置关系，只要知 道圆心 C 到 AB 的距离 d 与 r 的关系．已知 r， 只需求出 C 到 AB 的距离 d.
解：过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D.
∴∠ACD= ∠COE.
∵△ODC 是等腰三角形，OE⊥CD，
∴ ∠COE=
1 2
∠COD，
∴∠ACD=
1 2
∠COD.
课堂小结
1. 切线的判定定理. 2. 判定一条直线是圆的切线的方法： （1）定义：直线和圆有唯一公共点. （2）数量关系：直线到圆心的距离等于半 径. （3）判定定理：经过半径的外端且与这条 半径垂直的直线是圆的切线.
练习
如图，已知 OA=OB=5，AB=8，⊙O 的直径 为 6. 求证：AB 与 ⊙O 相切.
证明：过点 O 作 OC⊥AB. ∵OA=OB=5，AB=8，∴AC=BC=4. ∴在 Rt△AOC 中，OC=3. 又∵⊙O 的直径为 6， ∴OC=半径 r， ∴直线 AB 是⊙O 的切线.
有交点，连半径，证垂直； 无交点，作垂直，证 d=r.
3. 辅助线作法： （1）有公共点：作半径证垂直. （2）无公共点：作垂直证半径. 4. 切线的性质： （1）经过切点的半径垂直于圆的切线. （2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
5. 切线性质的运用： 常用的辅助线是连接半径. 综合性较强，要联系许多其他图形的性质．
课堂测试
1. 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，AB=AC= 4，点 O 为 BC 的中点，以 O 为圆心作半圆 O 交 BC 于点 M， N，半圆 O 与 AB，AC 相切，切点分别为 D，E，则 半圆 O 的半径和∠MND 的度数分别为（ ） A．2；22.5° B．3；30° C．3；22.5° D．2；30°
例 1 如图， A 是 ⊙O 外一点，AO 的延长线交 ⊙O 于点 C， 点 B 在圆上，且 AB=BC，∠A = 30°. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线.
证明：连接 OB. ∵OB=OC，AB=BC，∠A=30°， ∴∠OBC=∠C=∠A=30°， ∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°. ∵∠ABO=180°-（∠AOB+∠A）=180°（ 60°+30°）=90°， ∴AB⊥OB， ∴AB 为 ⊙O 的切线（经过半径的外端并且 垂直这条半径的直线是圆的切线）.
2. 如图，由正方形 ABCD 的顶点 A 引一条直线分别 交 BD，CD 及 BC 的延长线于点 E，F，G， ⊙O 是 △CGF 的外接圆. 求证：CE 是 ⊙O 的切线.
AE D F
O
B
C
G
3. 如图，直线 AB 与 ⊙O 相切于点 C，射线 AO 交 ⊙O 于点 D，E，连接 CD，CE. 找出图中的一 对相似三角形，并说明理由. 若 AC=4 cm，⊙O 的半径为 3 cm，能否求出图中其他线段的长度？
已知 ⊙O 的半径 r=7 cm，直线 l1 // l2，且 l1 与 ⊙O 相 切，圆心 O 到 l2 的距离为 9 cm，求 l1 与 l2 的距离 m.
判断直线与圆的位置关系的方法有__两__种： （1）根据定义，由__直__线__与__圆__的__公__共__点__的个 数来判断； （2）根据性质，由__圆__心__到__直__线__的__距__离__d___ __与__半__径__r__的关系来判断. 在实际应用中，常采用第二种方法判断.
解：①经过切点的半径垂直于圆的切线. ②经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
总结归纳
圆的切线的性质： 经过切点的半径垂直于圆的切线． 拓展： （1）切线和圆只有一个公共点． （2）圆心到切线的距离等于半径． （3）经过圆心垂直于切线的直线必经过切点． （4）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心．
例 3 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半 径. 如图， 用角尺的较短边紧靠 ⊙O 于点 A，并 使较长边与 ⊙O 相切于点 C，记角尺的直角顶点 为 B，量得 AB=8 cm，BC=16 cm. 求 ⊙O 的半径.
dr
直线和圆相交
d<r
r
直线和圆相切
d=r
d
r
直线和圆相离 d>r
d
∟
a（地平线）
观察太阳落山的照片，在太阳落山的过程中，太阳 与地平线（直线 a）经历了哪些位置关系的变化？
1. 已知圆的直径为 13 cm，设直线和圆心的距离为 d： （1）若 d=4.5 cm，则直线与圆 相交 ，直线与圆有 __2__个公共点； （2）若 d=6.5 cm，则直线与圆 相切 ，直线与圆有 __1__个公共点； （3）若 d=8 cm，则直线与圆 相离 ，直线与圆有 ___0_个公共点.
感悟新知
d = r 相切
特征①：直线 l 经过半径 OA 的外端点 A. 特征②：直线 l 垂直于半径 OA.
直线与圆相切的判定定理：经过半径的外端并且垂 直这条半径的直线是圆的切线. 如图，半径 OA⊥直 线 l，直线 l 为 ⊙O 的切线．
总结归纳
圆的切线的判定方法： （1）概念：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线． （2）数量关系：到圆心的距离等于半径的直线是圆 的切线． （3）判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径 的直线是圆的切线．
相交
相切
相离
上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化， 还有什么量在改变？你能否用数量关系来判断直线 与圆的位置关系？
相关知识点回忆
1. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直 线的距离.
2. 连接直线外一点与直线所有点的线段中，最短 的是垂线段.
二、直线和圆的位置关系（用圆心到直线 l 的距离 d 与圆的半径 r 的关系来区分）
教学课件
数学 九年级下册 北师大版
第三章 圆
6 直线和圆的位置关系
点和圆的位置关系有几种？
A C
点到圆心的距离为 d，圆的半
B 径为 r，则：
点在圆外
d>r;
点在圆上
d=r；
点在圆内
d<r.

数形结合：位置关系
数量关系
同学们，在我们的生活中到处都蕴含着数学知识， 下面老师请同学们欣赏美丽的图片.
第三章 圆
6 直线和圆的位置关系 （第2课时）
回顾旧知
直线与圆的位置关系量化
相交 d< r d =r d >r
相切
相离
直线和圆相交
直线和圆相切
直线和圆相离
情境引入
动手操作：在 ⊙O 中任取一点 A，连接 OA，过点 A 作直线 l⊥OA . 思 考：（可与同伴交流） （1）圆心 O 到直线 l 的距离和圆的半径由什么关系？ （2）直线 l 与 ⊙O 的位置有什么关系？根据什么？ （3）由此你发现了什么？
在 △ABC 中，AB= 32 42 5. 根据三角形的面积公式知，
1 CD AB 1 AC BC ，
2
2
所以 CD AC BC 3 4 2.4(cm) .
AB
5
即圆心 C 到 AB 的距离 d=2.4 cm.
（1）当 r=2 cm 时，有 d>r， 所以 ⊙C 和 AB 相离. （2）当 r=2.4 cm 时，有 d=r， 所以⊙C 和 AB 相切. （3）当 r=3 cm 时，有 d<r， 所以 ⊙C 和 AB 相交.