新人教版数学九年级下册第二十七章 相似三角形教案1

新人教版数学九年级下册第二十七章 相似三角形教案
27．2．1相似三角形的判定
第一课时
教学目标
(一)知识与技能
1、 了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”；
2、 掌握“如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似”的判定定理。

(二)过程与方法
培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS ）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。

（三）情感态度与价值观
让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。

〔教学重点与难点〕
教学重点：两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1
教学难点：探究判定引例﹑判定方法1的过程
教学过程
新课引入：
1． 复习相似多边形的定义及相似多边形相似比的定义
相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义
2． 回顾全等三角形的概念及判定方法（SSS ）
相似三角形的概念及判定相似三角形的思路。

A B D E C
F
提出问题：
如图27·2-1，在∆ABC 中，点D 是边AB 的中点，
DE ∥BC ，DE 交AC 于点E ，∆ADE 与∆ABC 有什么
关系？
分析：观察27·2-1易知AD=12AB ，AE=12AC ，∠A=∠A ，∠ADE=∠ABC ，∠AED=∠ACB ，只需引导学生证得DE=12
BC 即可，学生不难想到过E 作 EF ∥AB 。

∆ADE ∽∆ABC ，相似比为12。

延伸问题：
改变点D 在AB 上的位置，先让学生猜想∆ADE 与∆ABC 仍相似，然后再用几何画板演示验
证。

归纳：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

探究方法：
探究1
在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各
边长的k 倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？
分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的对应角都相等，根据相似三角形的定义，这两个三角形相似。

（学生小组交流）
在学生小组交流的基础上引导学生思考证明探究所得结论的途径。

分析：作A 1D=AB ，过D 作DE ∥B 1C 1，交A 1C 1于点E ⇒
∆A 1DE ∽∆A 1B 1C 1。

用几何画板演示∆ABC 平移至∆A 1DE 的过程
⇒ A 1D=AB ，A 1E=AC ，DE=BC ⇒∆A 1DE ≌∆ABC
⇒ ∆ABC ∽∆A 1B 1C 1
A
B C
A 1
B 1
C 1
D E
归纳：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

符号语言：若11AB A B =11BC B C =11
CA k C A = ，则∆ABC ∽∆A 1B 1C 1 运用提高：
1． P 47练习题1（2）。

2． P 47练习题2（2）。

课堂小结：说说你在本节课的收获。

布置作业：
1． 必做题：P 55习题27·2题2（1），3（1）。

2． 选做题：P 55习题27·2题4，5。

3． 备选题：
如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延
长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形（ ）
A 、1对
B 、2对
C 、3对
D 、4对 设计思想：
本节课主要是探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，因此在教学设计中突出了
“探究”的过程，先让学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究，然后教师再应用“几
何画板”等计算机软件作动态探究，从而给学生以深刻的实验几何的数学学习体验。

此外，
本课教学设计在引导学生知识重构的维度上重视应用“比较”⇒“类比”⇒“猜想”的教
学法，促使学生尽可能进行“有意义”的而非“机械、孤立”的认知建构，并在这一建构过
程中发展合情推理能力。

A
B C A 1 B 1 C 1
配套课时练习
1．△ABC与△DEF全等，则其相似比是
2．已知△ABC∽△DEF，写出其对应角及对应边关系是。

3．平行与三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，△ADE∽，∠ADE= ，DE/BC= ，若AE=3，EC=2，则△ADE与△ABC的相似比为
5．如图，CD∥EF∥AB，AC，BD相交于点O，则图中与△OEF相似的三角形为。

6．已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则△ABC与△DEF相似比是；△DEF与△ABC 的相似比是
7．如图，△ABC∽△AEF，且相似比3：2，EF=8cm，则BC= cm
8．如图，△ABC中，DE∥BC，MN∥AB，则图中与△ABC相似的三角形有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，AD⊥AC，BC⊥AC，AB与CD相交于点E，过E点作EF⊥AC，交AC于F，写出图中所有的相似三角形，并说明理由。

10．求作△DEF使他与已知△ABC相似且相似比3：2。

11．如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，BC=3，AB=6，则AD的长为（）A．1 B．2 C．1．5 D．2．5
12．如图，在△ABC中，AB=3AD，DE∥BC，EF∥AB，若AB=9，DE=2，则线段FC的长度 .
13．如图，已知AE=BF，FH∥EG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G。

若点E、F 在边AB上，试判断EG+FH=AC是否成立，并说明理由。

参考答案：
1、1：1；
2、∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，AB/DE=BC/EF=AC/DF
3、相似；
4、△ABC，∠B，AD/AB=AE/BC，3：5
5、△OCD，△OAB；
6、1：2，2：1；
7、12；
8、C
9、△ABC∽△AEF，△CDA∽△CEF，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三
角形与原三角形相似；△BCE∽△ADE，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似
10、作图略；11、B；12、FC=14；
13、成立，
理由：因为FH∥EG∥AC，所以 BE/AB=EG/AC，BF/AB=FH/AC
所以BE/AB+ BF/AB = EG/AC + FH/AC
即：(BE+BF)/AB=(EG+FH)/AC
又因为AE=BE，所以BE=AF，所以(AF+BF)/AB=1
所以(EG+FH)/AC=1，即EG+FH=AC
27．2．1相似三角形的判定
第二课时
教学目标：
(一)知识与技能
1、 掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似的判定定理；
2、 掌握两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似的判定定理。

(二)过程与方法
会运用“三组对应边的比相等的两个三角形相似”及“两组对应边的比相等且它
们的夹角相等的两个三角形相似”的方法进行简单推理。

(三)情感态度与价值观
1、 从认识上培养学生从特殊到一般的方法认识事物，从思维上培养学生用类比的方法展开思维；
2、 通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣。

教学重点：
掌握两个判定定理，会运用两个判定定理判定两个三角形相似
教学难点：
1、 探究两个三角形相似的条件；
2、 运用两个三角形相似的判定定理解决问题。

教学过程
新课引入：
1、 复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS ）的区别与联系： 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

（相似的判定方法1）
2、 回顾探究判定引例﹑判定方法1的过程
探究两个三角形相似判定方法2的途径
提出问题：
利用刻度尺和量角器画∆ABC 与∆A 1B 1C 1，使∠A=∠A 1，11AB A B 和11
AC A C 都等于给定的值k ，量出它们的第三组对应边BC 和B 1C 1的长，它们的比等于k 吗？另外两组对应角∠B 与∠B 1，∠C 与∠C 1是否相等？
（学生独立操作并判断）
分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边BC 和B 1C 1的比都等于k ，另外两组对应角∠B=∠B 1，∠C=∠C 1。

延伸问题：
改变∠A 或k 值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。

）
探究方法：
探究2
改变∠A 或k 值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生学习如何在动态变化中捕捉不变因素。

） 归纳：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

（定理的证明由学生独立完成）
符号语言：若∠A=∠A 1，11AB A B =11
AC A C =k ，则∆ABC ∽∆A 1B 1C 1 辨析：对于∆ABC 与∆A 1B 1C 1，如果11AB A B =11AC A C ，∠B=∠B 1， 这两个三角形相似吗？试着画画看。

（让学生先独立思考，再进行小组交流，寻找问题的所在，并集中展示反例。

）
应用新知：
例1：根据下列条件，判断 ∆ABC 与∆A 1B 1C 1是否相似，并说明理由：
（1）∠A ＝1200
，AB=7cm ，AC=14cm ，
∠A 1＝1200，A 1B 1= 3cm ，A 1C 1=6cm 。

（2）∠B ＝1200，AB=2cm ，AC=6cm ，
∠B 1＝1200，A 1B 1= 8cm ，A 1C 1=24cm 。

A
B C A 1 B 1 C 1
分析: （1）11AB A B =11AC A C =73
,∠A=∠A 1＝1200 ∆ABC ∽∆A 1B 1C 1
（2）11AB A B =11AC A C =14
,∠B=∠B 1＝1200 但∠B 与∠B 1不是AB ﹑AC ﹑ A 1B 1 ﹑A 1C 1的夹角，
所以∆ABC 与∆A 1B 1C 1不相似。

运用提高：
1、P 47练习题1（1）。

2、P 47练习题2（1）。

课堂小结：说说你在本节课的收获。

布置作业：
1、 必做题：P 55习题27·2题2（2），3（2）。

2、 选做题：P 56习题27·2题8。

3、 备选题：
已知零件的外径为25cm ，要求它的厚度x ，需先求出它的
内孔直径AB ，现用一个交叉卡钳（AC 和BD 的长相等）
去量（如图），若OA ：OC=OB ：OD=3，CD=7cm 。

求此零
件的厚度x 。

设计思想：
本节课主要是探究相似三角形的判定方法2，由于上节课已经学习了探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，而本节课内容在探究方法上又具有一定的相似性，因此本教学设计注意方法上的“新旧联系”，以帮助学生形成认知上的正迁移。

此外，由于判定方法2的条件“相应的夹角相等”在应用中容易让学生忽视，所以教学设计采用了“小组讨论＋集中展示反例”的学习形式来加深学生的印象。

配套课时练习
1．如果两个三角形的三组对应边，那么这两个三角形相似。

2．下列命题中正确的有（）
⑴△ABC的边长分别是5 cm、6 cm、8 cm，△DEF的边长分别2．5 cm，3 cm，4 cm，则
△ABC∽△DEF。

⑵过△ABC的边AB上点D作DE∥BC交AC于E，则△ABC∽△ADE。

⑶△ABC的边长分别是2 cm、4cm、6 cm，△DEF的边长分别1 cm，3 cm，2 cm，则△ABC
∽△DEF。

⑷有一个角相等的两个菱形一定相似。

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．根据下列条件，判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。

⑴AB=3 cm，BC=4 cm，AC=6 cm；
DE=9 cm，EF=12 cm，FD=16 cm。

⑵
4．如图，要使△ABC∽△AEF，应补充的条件是或。

5．根据下列条件，回答问题：
⑴如图，已知△ABC与△DEF，判断两个三角形是否相似，并说明理由。

⑵已知一个三角形的三边长分别是8 cm、10cm、6 cm，要制作一个三角形使其与之相似，
且其中一边长是3 cm，求另外两边的长度是多少？判断两三角形的形状，并说明理由。

6．在□ABCD 中，E 在BC 边上，AE 交BD 于F ，若BE ∶EC =4∶5，则BF ∶FD 等于（ ）
A.4∶5
B.5∶4
C.5∶9
D.4∶9
7.如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，BC=3，B ′C ′=1.8，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为( )
A.5∶3
B.3∶2
C.2∶3
D.3∶5
8.若△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB=2，BC=3，A ′B ′=1，则B ′C ′等于( )
A.1.5
B.3
C.2
D.1
9.△ABC 的三边长分别为2、10、2，△A ′B ′C ′的两边长分别为1和5，如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，那么△A ′B ′C ′的第三边的长应等于( )
A.
2
2
B.2
C.2
D.22
10．如图O 是△ABC 内的一点，D 、E 、F 分别是OA 、OB 、OC 的中点，试猜想△ABC 与△DEF 的关系，并证明你的结论。

11．下列命题中，真命题是（）
A．两个钝角三角形一定相似 B．两个等腰三角形一定相似
C．两个直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似
12、如图，A、B两点被池塘隔开，在 AB外选一点 C，连结 AC和 BC，并分别找出它们的
中点 M、N．若测得MN＝15m，求A、B两点的距离。

13．如图在正方形方格中，△ABC与△DEF都是格点三角形：
⑴∠ABC= ，BC=
⑵判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论。

参考答案：
1、的比相等；
2、D；
3、(1)不能；(2)能，三边对应成比例的两个三角形相似
4、EF∥BC或AE：AB＝AF：AC；
5、(1)相似，三边对应成比例的两个三角形相似
(2)4cm，5cm，直角三角形
6、D；
7、D；
8、A；
9、C
10、DE＝1
2
AB；DF＝0.5AC；EF＝0.5BC；证明略。

11、D；12、AB＝30；13、(1)135°；(2)BC＝2；相似
27．2．1相似三角形的判定
第三课时
教学目标
(一)知识与技能
掌握判定两个三角形相似的方法：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

(二)过程与方法
培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法3与全等三角形判定方法（AAS﹑ASA）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。

(三)情感态度与价值观
让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。

〔教学重点与难点〕
教学重点：两个三角形相似的判定方法3及其应用
教学难点：探究两个三角形相似判定方法3的过程
教学过程：
新课引入：
复习两个三角形相似的判定方法1﹑2与全等三角形判定方法（SSS﹑SAS）的区别与联系：
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

（相似的判定方法1）
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

（相似的判定方法2）
提出问题：
观察两副三角尺，其中同样角度（300与600，或450与450）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。

如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？
延伸问题：
作∆ABC与∆A1B1C1，使得∠A=∠A1，∠B=∠B1，这时它们的第三角满足∠C=∠C1吗？分别
度量这两个三角形的边长，计算11AB A B ﹑11BC B C ﹑11
AC
A C ，你有什么发现？（学生独立操作并判断）
分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三角满足 ∠C=∠C 1，
11AB A B =11BC B C =11
AC
A C 。

分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。

） 探究方法： 探究3
分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生观察在动态变化中存在的不变因素。

）
归纳：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形
相似。

（定理的证明由学生独立完成）
符号语言：
若∠A=∠A 1，∠B=∠B 1 ，则∆ABC ∽ ∆A 1B 1C 1
应用新知：
例2 如图27·2-7，弦AB 和CD 相交于⊙O
内一点P ，
求证：PA ·PB=PC ·PD 。

分析：欲证PA ·PB=PC ·PD ，只需
PA PC PD PB =，欲证PA PC
PD PB
=只需∆PAC ∽∆PDB ，欲证∆PAC ∽∆PDB ，只需∠A=∠D ，∠C=∠B 。

O
C
A
B
D
A
B C
A 1
B 1
C 1
运用提高：
1、P49练习题1。

2、P49练习题2。

课堂小结：说说你在本节课的收获。

布置作业：
1、必做题：P55习题27·2题2(3)。

2、选做题：P57习题27·2题11。

3、备选题：
如图AD⊥AB于D，CE⊥AB于E交AB于F，
则图中相似三角形的对数有对。

设计思想：
本节课主要是探究相似三角形的判定方法3，由于上两节课已经学习了探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1﹑判定方法2，因此本课教学力求使探究途径多元化，把学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究与应用“几何画板”等计算机软件作动态探究有机结合起来，让学生充分感受探究的全面性，丰富探究的内涵。

协同式小组合作学习的开展不仅提高了数学实验的效率，而且培养了学生的合作能力。

配套课时练习
一、选择题：
1.下列判断正确的是（）
A.两个直角三角形相似
B.两个相似三角形一定全等
C.凡等边三角形都相似
D.所有等腰三角形都相似
2.下列各对三角形中一定不相似的是（）
A.△ABC中，∠A=54°，∠B=78°
△A′B′C′中，∠C′=48°，∠B′=78°
B.△ABC 中，∠C =90°，AC =4cm ，BC =3cm
△A ′B ′C ′中，∠C ′=90°，A ′C ′=12cm ，B ′C ′=15cm C. △ABC 中，∠B =90°，AB =5，AC =13 △A ′B ′C ′中，∠B ′=90°，A ′B ′=2.5a ，B ′C ′=6a D.△ABC 中，∠C =90°，∠A =45°，AB =5 △A ′B ′C ′中，∠A ′=45°，A ′B ′=5
3. 如图，AB ∥CD ，AC 、BD 交于O ，BO =7，DO =3，AC =25，则AC 长为（ ） A.10 B.12.5 C.15 D.17.5
4. 在△ABC 中，MN ∥BC ，MC 、NB 交于O ，
5. 则图中共有（ ）对相似三角形。

A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题
1. 如图16，已知△ABC 中D 为AC 中点，AB =5，AC =7，∠AED =∠C ，则ED = 。

2. 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠DAB ，DC ：AB =1：1.5， 则AD ：BC = 。

3. 如图18在Rt △A B C 中∠ACB =90°，CD ⊥AB ，AC =6，AD =3.6，则BC = ，BD = 。

4. 已知：图19中AC ⊥BD ，DE ⊥AB ，AC 、ED 交于F ，BC =3，FC =1，BD =5，则AC = 。

三、解答题
1.已知：如图20□AB C D 中E 为AD 的中点，AF ：AB =1：6，EF 与AC 交于M 。

求：AM ：AC 。

2.已知：如图21在△ABC中EF是BC的垂直平分线，AF、BE交于一点D，AB=AF。

求证：AD=DF。

3.已知：E是正方形ABCD的AB边延长线上一点，DE交CB于M，MN∥AE。

求证：MN=MB
4.已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4
求证：BM·AC=MN·AB
参考答案
一、1.C；2.D；3.D；4.B。

二、1. 0.1；2. 1：1.5；3. 8，6.4；4. 6。

三、1. 1：8；
2. △DBF∽△ACB，
1
2 BF DF
BC AB
==；
3.
MN DC EM
ED
M
D
MB DA EM
ED
MB
DA
MN
DC
MB
DA
DC DA
MN MB
∥∥⇒=
⇒=
⎫
⎬
⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⇒
=
=
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
⇒=；
4.略。

27．2．2相似三角形应用举例
教学目标
(一)知识与技能
让学生学会运用两个三角形相似来解决实际问题。

(二)过程与方法
1、让能学生综合运用相似的知识，加深对相似三角形的理解和认识。

2、让学生经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力。

(三)情感态度与价值观
培养学生的观察﹑归纳﹑建模﹑应用能力；发展学生的数学应用意识。

〔教学重点与难点〕
教学重点：运用两个三角形相似解决实际问题
教学难点：在实际问题中建立数学模型
教学过程
新课引入：
1、复习相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义
2、回顾相似三角形的概念及判定方法
提出问题：
利用三角形的相似，如何解决一些不能直接测量的物体的长度的问题？（学生小组讨论）“相似三角形对应边的比相等” 四条对应边中若已知三条则可求第四条。

一试牛刀：
例3：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。

如图27．2-8，如果木杆EF 长2m ，它的影长FD 为3 m ，测得OA 为201 m ，求金字塔的高度BO 。

分析：BF ∥ED ⇒∠BAO=∠EDF 又∠AOB=∠DFE=900
⇒∆ABO ∽∆DEF ⇒
BO OA EF FD =⇒
201
23
BO =
二试牛刀：
例4：如图27．2-9，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P 、Q 、S 共线且直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R 。

如果测得QS=45 m ，ST=90 m ，QR=60 m ，求河的宽度PQ 。

分析：∠PQR=∠PST=900
，∠P=∠P
⇒∆PQR ∽∆PST ⇒
8 1.6 6.4
512 1.610.4
FH FH -==
+-，即PQ QR PQ QS ST =+，60
4590
PQ PQ =+，
90(45)60PQ PQ ⨯=+⨯。

解得PQ=90
三试牛刀：
例5：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m 和CD=12m ，两树的根部的距离BD=5m ，一个身高1．6m 的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L 从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C ？
B
S
分析：,AB l CD l ⊥⊥⇒AB ∥CD ，∆AFH ∽∆CFK 。

⇒
FH AH FK CK
=，
即8 1.6 6.4
512 1.610.4
FH FH -==
+-，解得FH=8。

运用提高： 1、 P 51练习题1 2．P 51练习题2
课堂小结：说说你在本节课的收获。

布置作业：
1、 必做题：P 56习题27·2题9，10，11。

2、 选做题：P 57习题27·2题15。

3、 备选题：
已知零件的外径为25cm ，要求它的厚度x ，需先求出它 的内孔直径AB ，现用一个交叉卡钳（AC 和BD 的长相等）去 量（如图），若OA ：OC=OB ：OD=3，CD=7cm 。

求此零件的 厚度x 。

设计思想：
本节课主要是让学生学会运用两个三角形相似解决实际问题，在解决实际问题中经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力。

因此在教学设计中突出了“审题⇒画示意图⇒明确数量关系⇒解决问题”数学建模过程，学生可以从中锻炼把生活中的实际问题转化为数学问题的能力，另外，学生在富有故事性或现实性的数学情景问题中，探究解决问题的方法，这一过程有利于培养学生的数学学习兴趣。

配套课时练习
1、小明的身高是1.6米，他的影长为2米，同一时刻测的古塔的影长是16米，则古塔的高
度是米
2、下图中的三幅图是在我国北方某地某天上午不同时刻的同一位置拍摄的.
(1)在三个不同的时刻，同一棵树的影子长度不同，请将它们按拍摄的先后顺序进行排列，并说明你的理由．
(2)在同一时刻，大树和小树的影子与它们的高度之间有什么关系?与同伴进行交流．
3、如图,一人拿着一支刻有厘米分度的小尺,站在距电线杆约有20m的B处,把手臂
向前伸直,小尺竖直,看到尺上约10个分度恰好遮住电线杆,
臂E′D•长约50cm,求电线杆EF的高.
4、课间操中的数学
在上午阳光照耀下，同学们整齐地站在操场上做课间操，小凡和小成站在同一列，小凡的影子正好被站在他后面的同学踩在脚下，而小成的影子却没有被他后面的同学踩在脚下，小成和小凡哪个高？为什么？
5、一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为 ( )
A.7.5米
B.8米
C.14.7米
D.15.75米
6、晚上，小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影是（）
A.变长
B.变短
C.先变长后变短
D.先变短后变长
7、要测量古塔的高度,下面方法不可取的是 ( )
A.利用同一时刻物体与其影长的比相等来求
B.利用直升飞机进行实物测量
C.利用镜面反射,借助于三角形相似来求
D.利用标杆,借助三角形相似来求
E'
F
E
D
C
B
A
8、夜晚在亮有路灯的路上，若想没有影子，你应该站的位置是 （ ） A.路灯的左侧 B.路灯的右侧 C.路灯的下方 D.以上都可以 9、下面两图的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的?为什么？
（1） （2）
10、下图中是一球吊在空中，当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球的影子会如何变化？
11、利用镜面反射可以计算旗杆的高度,如图,一名同学(用AB 表示),站在阳光下,通过镜子C 恰好看到旗杆ED 的顶端,已知这名同学的身高是1.60米,他到影子的距离是2米,镜子到旗杆的距离是8米,求旗杆的高.
12、如图,甲楼AB 高18米,乙楼坐落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午
12时
,物高与影长的比是1: 2 ,已知两楼相距20米,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?
E
D
C B
A E
D
C
B
A
13、为了测量路灯（OS ）的高度,把一根长1.5米的竹竿（AB ）竖直立在水平地面上,测得竹竿的影子（BC ）长为1米,然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB ‘
）,再把竹竿竖立在地面上, 测得竹竿的影长（B ‘C ‘
）为1.8米,求路灯离地面的高度. 参考答案 1、20；
2、（1）顺序应为(3)(2)(1)．因为在早晨，太阳位于正东方向，此时树的影子较长，影子位于树的正西方向，在上午，随着太阳位置的变化，树影的长度逐渐变短，树影也由正西方向向正北方向移动．
(2)因为大树的影子较长，小树的影子较短，因此应该有大树的高度与其影子的长度之比等于小树高度与其影长之比．（或者大树与小树高度之比等于大树与小树的影长之比） 3、思路点拨：可以根据△ACD ∽△AEF,△AE ′D ∽△ABF 得到
CD AD EF AF =,`E D AD BF AF =, 即`E D CD BF EF = 即0.50.1
20EF
=, 可以求出EF 的长.
4、小凡高；
5、A ；
6、D ；
7、B ；
8、C ；
9、(1)灯光，(2)太阳光； 10、由小变大；11、6.4米；12、18-102；13、9米
27．2．3相似三角形的周长与面积
h S A C
B B '
O
C '
A '
教学目标： (一)知识与技能
1、理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。

2、探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想。

(二)过程与方法
经历探索相似三角形性质“相似三角形周长的比等于相似比” 、“面积比等于相似比的平方”的过程。

(三)情感态度与价值观
在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体验解决实际问题策略的多样性。

教学重点：
理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。

教学难点：
探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。

教学过程： 新课引入：
1．回顾相似三角形的概念及判定方法。

2．复习相似多边形的定义及相似多边形对应边、对应角的性质。

提出问题：
如果两个三角形相似，它们的周长之间什么关系？两个相似多边形呢？（学生小组讨论）
∆ABC ∽∆A 1B 1C 1，相似比为k ⇒
111111
AB BC CA
k A B B C C A === ⇒AB=kA 1B 1,BC=kB 1C 1,CA=kC 1A 1 ⇒
111111
111111111111
AB BC CA kA B kB C kC A k A B B C C A A B B C C A ++++==++++
进而得到结论：相似三角形周长的比等于相似比 延伸问题：
探究：
（1） 如图27．2-11（1），∆ABC ∽∆A 1B 1C 1，相似比为k 1 ，它们的面积比是多少？
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
（1） （2）
图27．2-11
分析：如图27．2-11（1），分别作出∆ABC 和∆A 1B 1C 1的高AD 和A 1D 1。

∠ADB=∠A 1D 1B 1=900
又∠B=∠B 1
⇒∆ABD ∽∆A 1B 1D 1
⇒
1111
1AD AB
k A D A B == ⇒
111
ABC
A B C S S =V V 111111*********
1
2
21
1
22
BC AD K B C K A D B C A D B C A D =
g g g g g g =k 1
2
进而得到结论：相似三角形面积比等于相似比的平方
（2）如图27．2-11（2），四边形ABCD 相似于四边形A 1B 1C 1D 1，相似比为k 2，它们的面积比是多少？
分析：
111ABC A B C S S =V V 111
ACD
A C D S S =V V k 22
⇒
1111ABCD A B C D S S =四边形四边形111111
ABC ACD
A B C A C D ++S S S S =V V V V k 22
⇒相似多边形面积比等于相似比的平方
应用新知：
例6：如图27．2-12，在∆ABC 和∆DEF 中， AB=2DE ，AC=2DF ，∠A=∠D ，∆ABC 的周长是 24，面积是48，求 ∆DEF 的周长和面积。

图27．2-12
分析： ∆ABC 和∆DEF 中，AB=2DE ，AC=2DF
A
B
C
D
B
D
E
F
A
C
⇒
1
2
DE DF AB AC ==又∠A=∠D ⇒∆ABC ∽∆DEF ，相似比为1
2
⇒∆DEF 的周长=1
2
⨯24=12，面积=1()22⨯48=12。

运用提高： 1、 P 54练习题1 2、 P 54练习题2
课堂小结：说说你在本节课的收获。

布置作业：
1、 必做题：P 54练习题3，4
2、 选做题：P 57习题27·2题12，13，14。

3．备选题：如图，已知矩形ABCD 的边长AB=2，BC=3，点P 是AD 边上的一动点（P 异于A 、D ），Q 是BC 边上的任意一点. 连AQ 、DQ ，过P 作PE ∥DQ 交AQ 于E ，作PF ∥AQ 交DQ 于F. (1)求证：△APE ∽△ADQ ；
(2)设AP 的长为x ，试求△PEF 的面积 S △PEF 关于x 的函数关系式，并求当P 在何 处时，S △PEF 取得最大值？最大值为多少？ (3)当Q 在何处时，△ADQ 的周长最小？
（须给出确定Q 在何处的过程或方法，不必给出证明）
设计思想：
本节课主要是让学生理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，通过探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想，学会应用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解决简单的问题。

因此本教学设计突出了“相似比⇒相似三角形周长的比⇒相似多边形周长的比”、“相似比⇒相似三角形面积的比⇒相似多边形面积的比”等一系列从特殊到一般的过程，以让学生深刻体验到有限数学归纳法的魅力。

A
B
C
D P
E
F
Q
配套课时练习
1、在△ABC 中，∠BAC=ο
90，AD ⊥BC 于D ，BD=3，AD=9，则CD= ， AB 2：AC 2
= 。

2、若△ABC ∽△DEF, △ABC 的面积为81cm2,△DEF 的面积为36cm2,且AB=12cm,则DE= cm
3、如图,ΔABC 中,DE ∥FG ∥BC,AD ∶DF ∶FB=1∶2∶3, 则S 四边形DFGE ∶S 四边形FBCG=_________.
4、等腰三角形ABC 和DEF 相似，其相似比为3：4，则它们底边上对应高线的比为（ ）
A 、3：4
B 、4：3
C 、1：2
D 、2：1
5、如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图. 已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米. 若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）
A.、0.36π平方米 B 、0.81π平米 C 、2π平方米 D 、3.24π平方米
6、如图，分别取等边三角形ABC 各边的中点D 、E 、F ，得△DEF.若△ABC 的边长为a. （1）△DEF 与△ABC 相似吗？如果相似，相似比是多少？ （2）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？
7、如图，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 。

（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）当3
1
=∆∆ABC BCQ S S ，求ABC BPQ S S ∆∆的值；。