山东省高密市2017-2018学年八年级上期末考试数学试题含答案

山东省高密市2017-2018学年八年级上期末考试数学
试题含答案
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．一下列语句中，属于定义的是（）
A．两点确定一条直线
B．平行线的同位角相等
C．两点之间线段最短
D．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
2．如果分式的值为0，则x的值是（）
A．1 B．0 C．﹣1 D．±1
3．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）
A．对边相等B．对角相等
C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
4．在解分式方程+＝2时，我们第一步通常是去分母，即方程两边同乘以最简公分母（x﹣1），把分式方程变形为整式方程求解．解决这个问题的方法用到的数学思想是（）
A．数形结合B．转化思想C．模型思想D．特殊到一般5．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为（）
6．若一组数据2，3，4，5，x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能的是（）A．6 B．3.5 C．2.5 D．1
7．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（）
A．∠α+∠β＝180°B．∠β﹣∠α＝90°C．∠β＝3∠αD．∠α+∠β＝90°8．把命题“同角的余角相等”用“如果…那么…”的形式写出来，下列写法正确的是（）A．如果几个角是同一个角的余角，那么这几个角都相等
B．如果一个角是这个角的余角，那么这两个角相等
C．如果两个角是同角，那么同角的余角都相等
D．如果两个角的和为90゜，那么这两个角可能相等
9．某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛，已知A型陶笛比B型陶笛的单价低20元，用2700元购买A型陶笛与用4500购买B型陶笛的数量相同，设A型陶笛的单价为x元，依题意，下面所列方程正确的是（）
A．＝B．＝
C．＝D．＝
10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知BD＝12，AC＝6，△BOC 的周长为17，则AD的长为（）
11．已知关于x的分式方程+＝1的解是非负数，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3
12．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）
A．65°B．60°C．55°D．45°
二、填空题（每题3分，共24分）
13．当x＝时，分式与的值相等．
14．如果样本x1，x2，x3，…，x n的平均数为5，那么样本x1+2，x2+2，x3+2，…x n+2的平均数是
15．请选择一组a，b的值，写出一个关于x的形如的分式方程，使它的解是x＝0，这样的分式方程可以是（答案不唯一）．
16．规定，若，则x为．
17．（3分）某单位要招聘1名英语翻译，张明参加招聘考试的成绩如下表所示
若把听、说、读、写的成绩按3：3：2：2计算平均成绩，则张明的平均成绩为
18．如图，已知在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．当∠A＝70°时，则∠BPC的度数为．
19．一个二位数的十位数字与个位数字的和是12，如果交换十位数字与个位数字的位置并
把所得到的新的二位数作为分子，把原来的二位数作为分母，所得的分数约分为，则这个二位数是．
20．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BD 的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，若∠A＝60°，则∠A2的度数为．
三、解答题（本大题共计60分）
21．（9分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗？请说明理由（提示：可作DG⊥AB于点G）
22．（10分）解下列分式方程：
（1）﹣＝40
（2）+＝．
23．（10分）我市准备挑选一名跳高运动员参加省中学生运动会，对跳高队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩（单位：cm）如下
甲：170 165 168 169 172 173 168 167
乙：163 174 173 162 163 171 170 176
（1）甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？
（2）哪名运动员的成绩更为稳定？为什么？
（3）若预测，跳过165cm就很可能获得冠军该校为了获得冠军，可能选哪位运动员参赛？
为什么？若预测跳过170m才能得冠军，可能选哪位运动员参赛？为什么？
24．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD 的垂线交BA的延长线于点E，求证：DE＝AC．
25．（10分）某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠．若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元．请问该学校九年级学生有多少人？
26．（11分）如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为点M，N，求证：DP＝MN．
参考答案
一、选择题
1．下列语句中，属于定义的是（）
A．两点确定一条直线
B．平行线的同位角相等
C．两点之间线段最短
D．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
【分析】根据定义的概念对各个选项进行分析，从而得到答案．
解：A．两点确定一条直线，这是一个命题；
B．平行线的同位角相等，这是一个命题；
C．两点之间线段最短，这是一个命题；
D．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离不是命题，这是一个定义；故选：D．
【点评】此题考查了命题与定理以及定义，关键是能根据命题与定理以及定义的区别得出属于定义的语句．
2．如果分式的值为0，则x的值是（）
A．1 B．0 C．﹣1 D．±1
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
解：由分式的值为零的条件得x2﹣1＝0，2x+2≠0，
由x2﹣1＝0，得x＝±1，
由2x+2≠0，得x≠﹣1，
综上，得x＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
3．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）
A．对边相等B．对角相等
C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
【分析】由菱形的性质可得：菱形的对角线互相平分且垂直；而平行四边形的对角线互相平分；则可求得答案．
解：∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；
∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．
故选：D．
【点评】此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质．注意菱形的对角线互相平分且垂直．
4．在解分式方程+＝2时，我们第一步通常是去分母，即方程两边同乘以最简公分母（x﹣1），把分式方程变形为整式方程求解．解决这个问题的方法用到的数学思想是（）
A．数形结合B．转化思想C．模型思想D．特殊到一般
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，确定出用到的数学思想即可．
解：在解分式方程+＝2时，我们第一步通常是去分母，即方程两边同乘以最简公分母（x﹣1），把分式方程变形为整式方程求解．解决这个问题的方法用到的数学思想是转化思想，
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的数学思想，解分式方程时注意要检验．5．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为（）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】首先过点D作DE∥a，由∠1＝60°，可求得∠3的度数，易得∠ADC＝∠2+∠3，继而求得答案．
解：过点D作DE∥a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣60°＝30°，
∵a∥b，
∴DE∥a∥b，
∴∠4＝∠3＝30°，∠2＝∠5，
∴∠2＝90°﹣30°＝60°．
故选：C．
【点评】此题考查了矩形的性质以及平行线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
6．若一组数据2，3，4，5，x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能的是（）A．6 B．3.5 C．2.5 D．1
【分析】因为中位数的值与大小排列顺序有关，而此题中x的大小位置未定，故应该分类讨论x所处的所有位置情况：从小到大（或从大到小）排列在中间；结尾；开始的位置．解：（1）将这组数据从小到大的顺序排列为2，3，4，5，x，
处于中间位置的数是4，
∴中位数是4，
平均数为（2+3+4+5+x）÷5，
∴4＝（2+3+4+5+x）÷5，
解得x＝6；符合排列顺序；
（2）将这组数据从小到大的顺序排列后2，3，4，x，5，
中位数是4，
此时平均数是（2+3+4+5+x）÷5＝4，
解得x＝6，不符合排列顺序；
（3）将这组数据从小到大的顺序排列后2，3，x，4，5，
中位数是x，
平均数（2+3+4+5+x）÷5＝x，
解得x＝3.5，符合排列顺序；
（4）将这组数据从小到大的顺序排列后2，x，3，4，5，
中位数是3，
平均数（2+3+4+5+x）÷5＝3，
解得x＝1，不符合排列顺序；
（5）将这组数据从小到大的顺序排列后x，2，3，4，5，
中位数是3，
平均数（2+3+4+5+x）÷5＝3，
解得x＝1，符合排列顺序；
∴x的值为6、3.5或1．
故选：C．
【点评】本题考查了确定一组数据的中位数，涉及到分类讨论思想，较难，要明确中位数的值与大小排列顺序有关，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而解答不完整．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
7．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（）
A．∠α+∠β＝180°B．∠β﹣∠α＝90°C．∠β＝3∠αD．∠α+∠β＝90°【分析】过C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠1＝∠α，∠2＝180°﹣∠β，于是得到结论．解：过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥CF∥DE，
∴∠1＝∠α，∠2＝180°﹣∠β，
∵∠BCD＝90°，
∴∠1+∠2＝∠α+180°﹣∠β＝90°，
∴∠β﹣∠α＝90°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．
8．把命题“同角的余角相等”用“如果…那么…”的形式写出来，下列写法正确的是（）A．如果几个角是同一个角的余角，那么这几个角都相等
B．如果一个角是这个角的余角，那么这两个角相等
C．如果两个角是同角，那么同角的余角都相等
D．如果两个角的和为90゜，那么这两个角可能相等
【分析】根据命题有题设与结论两部分组成即可把同角的余角相等”用“如果…那么…”的形式，然后进行判断．
解：命题“同角的余角相等”用“如果…那么…”的形式写出为：如果几个角是同一个角的余角，那么这几个角都相等．
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，命题有题设与结论两部分组成；
正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．9．某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛，已知A型陶笛比B型陶笛的单价低20元，用2700元购买A型陶笛与用4500购买B型陶笛的数量相同，设A型陶笛的单价为x元，依题意，下面所列方程正确的是（）
A．＝B．＝
C．＝D．＝
【分析】设A型陶笛的单价为x元，则B型陶笛的单价为（x+20）元，根据用2700元购买A型陶笛与用4500购买B型陶笛的数量相同，列方程即可．
解：设A型陶笛的单价为x元，则B型陶笛的单价为（x+20）元，
由题意得，＝．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知BD＝12，AC＝6，△BOC 的周长为17，则AD的长为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】首先求出OB+OC，再根据△OBC的周长计算即可；
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝6，AD＝BC，
∵△BOC的周长为17，
∴BC+OB+OC＝17，
∴BC＝8，
∴AD＝BC＝8，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11．已知关于x的分式方程+＝1的解是非负数，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据方程的解为非负数求出m的范围即可．
解：分式方程去分母得：m﹣3＝x﹣1，
解得：x＝m﹣2，
由方程的解为非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，
解得：m≥2且m≠3．
故选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，时刻注意分母不为0这个条件．
12．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）
A．65°B．60°C．55°D．45°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠DAC，求得∠DAC＝30°，根据三角形的内角和得到∠BAC＝95°，即可得到结论．
解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD＝DC，故∠C＝∠DAC，
∵∠C＝30°，
∴∠DAC＝30°，
∵∠B＝55°，
∴∠BAC＝95°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝65°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
13．当x＝8 时，分式与的值相等．
【分析】先根据题意列出方程，再求出方程的解即可．
解：根据题意得：＝，
解得：x＝8，
经检验x＝8是方程＝的解，
故答案为：8．
【点评】本题考查了解分式方程，能根据题意得出方程是解此题的关键．
14．如果样本x1，x2，x3，…，x n的平均数为5，那么样本x1+2，x2+2，x3+2，…x n+2的平均数是7
【分析】首先由平均数的定义得出x1+x2+…，+x n的值，再运用求算术平均数的公式计算，求出样本x1+2，x2+2，…，x n+2的平均数．
解：∵样本x1，x2，…x n的平均数为5，（x1+2）+（x2+2）+…+（x n+2）＝（x1+x2+…+x n）
+2n
∴样本x1+2，x2+2，…，x n+2的平均数＝5+2＝7，
故答案为：7．
【点评】主要考查了平均数的概念．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
15．请选择一组a，b的值，写出一个关于x的形如的分式方程，使它的解是x＝0，
这样的分式方程可以是（答案不唯一）．
【分析】由题知，把x＝0代入可得，a＝﹣2b，所以只需保证所给的两个常数具备这种关系就行．
解：本题考查方程解的意义，既然方程的解是x＝0，所以＝b，即a＝﹣2b，因此，令b
＝1，则可得a＝﹣2所以有＝1．
【点评】本题的结论是开放的，答案不唯一，实际上a、b的值只要满足a＝﹣2b即可，比如a＝2，b＝﹣1．
16．规定，若，则x为﹣1 ．
【分析】首先根据题干条件得出x•（x+2）＝﹣，从而得出方程﹣＝，解这个方程，即可求出x的值．
解：∵，
∴x•（x+2）＝﹣，
又∵，
∴﹣＝，
方程两边同乘以x（x﹣2），
得（x+2）﹣x＝2（x+2），
解得x＝﹣1，
将x＝﹣1代入x（x﹣2）＝3≠0，
所以原方程的解为：x＝﹣1．
故若，则x为﹣1．
【点评】本题考查了学生读题、做题的能力及解分式方程的能力．能够根据规定得出方程
﹣＝，是解决本题的关键．
17．某单位要招聘1名英语翻译，张明参加招聘考试的成绩如下表所示
若把听、说、读、写的成绩按3：3：2：2计算平均成绩，则张明的平均成绩为84
【分析】根据加权平均数的计算公式进行计算即可．
解：张明的平均成绩为：（90×3+80×3+83×2+82×2）÷10＝84；
故答案为：84．
【点评】此题考查了加权平均数的计算公式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
18．如图，已知在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．当∠A＝70°时，则∠BPC的度数为125°．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的定义得出∠2+∠4的度数，由三角形内角和定理即可求出∠BPC的度数．
解：∵△ABC中，∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°，
∴BP，CP分别为∠ABC与∠ACP的平分线，
∴∠2+∠4＝（∠ABC+∠ACB）＝×110°＝55°，
∴∠P＝180°﹣（∠2+∠4）＝180°﹣55°＝125°．
故答案为：125°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的定义，熟知三角形的内角和定理是解答此题的关键．
19．一个二位数的十位数字与个位数字的和是12，如果交换十位数字与个位数字的位置并
把所得到的新的二位数作为分子，把原来的二位数作为分母，所得的分数约分为，则这个二位数是84 ．
【分析】设这个二位数的十位数字为x，则个位数字为（12﹣x），根据“如果交换十位数字与个位数字的位置并把所得到的新的二位数作为分子，把原来的二位数作为分母，所得的
分数约分为”，即可得出关于x的分式方程，经检验后即可得出结论．
解：设这个二位数的十位数字为x，则个位数字为（12﹣x），
根据题意得：＝，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是所列分式方程的解，且符合题意，
∴12﹣x＝4．
故答案为：84．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．20．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BD 的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，若∠A＝60°，则∠A2的度数为15°．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠
A1CD＝∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
然后整理得到∠A1＝∠A，同理可得∠A2＝∠A1．
解：由三角形的外角性质得，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，
∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
∴∠A1+∠A1BC＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠A1BC，
∴∠A1＝∠A，
同理可得∠A2＝∠A1＝××60°＝15°，
故答案为15°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的
和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的是解题的关键．
三、解答题（本大题共计60分）
21．（9分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗？请说明理由（提示：
可作DG⊥AB于点G）
【分析】过D作DG垂直AB于点G，由三个角为直角的四边形为矩形得到四边形CEDF 为矩形，由AD为角平分线，利用角平分线定理得到DG＝DF，同理得到DE＝DG，等量代换得到DE＝DF，利用邻边相等的矩形为正方形即可得证．
证明：如图，
过D作DG⊥AB，交AB于点G，
∵∠C＝∠DEC＝∠DFC＝90°，
∴四边形CEDF为矩形，
∵AD平分∠CAB，DF⊥AC，DG⊥AB，
∴DF＝DG；
∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DE⊥BC，
∴DE＝DG，
∴DE＝DF，
∴四边形CEDF为正方形．
【点评】此题考查了正方形的判定，以及角平分线定理，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键．
22．（10分）解下列分式方程：
（1）﹣＝40
（2）+＝．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：（1）方程整理得：﹣＝40，
去分母得：40x＝30，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解；
（2）去分母得：2+2x＝5x+5，
移项合并得：3x＝﹣3，
解得：x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．23．（10分）我市准备挑选一名跳高运动员参加省中学生运动会，对跳高队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩（单位：cm）如下
甲：170 165 168 169 172 173 168 167
乙：163 174 173 162 163 171 170 176
（1）甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？
（2）哪名运动员的成绩更为稳定？为什么？
（3）若预测，跳过165cm就很可能获得冠军该校为了获得冠军，可能选哪位运动员参赛？
为什么？若预测跳过170m才能得冠军，可能选哪位运动员参赛？为什么？
【分析】（1）根据平均数的计算方法，将数据先求和，再除以8即可得到各自的平均数；（2）分别计算、并比较两人的方差即可判断．
（3）根据题意，分析数据，若跳过165cm就很可能获得冠军，则在8次成绩中，甲8次都跳过了165cm，而乙只有5次；若跳过170cm才能得冠军，则在8次成绩中，甲只有3次都跳过了170cm，而乙有5次．
解：（1）分别计算甲、乙两人的跳高平均成绩：
甲的平均成绩为：（170+165+168+169+172+173+168+167）＝169cm，
乙的平均成绩为：（163+174+173+162+163+171+170+176）＝169cm；
（2）分别计算甲、乙两人的跳高成绩的方差分别：
S甲2＝×48＝6cm2，
S乙2＝×216＝27cm2，
∴甲运动员的成绩更为稳定；
（3）若跳过165cm就很可能获得冠军，则在8次成绩中，甲8次都跳过了165cm，而乙只有5次，
所以应选甲运动员参加；
若跳过170cm才能得冠军，则在8次成绩中，甲只有3次都跳过了170cm，而乙有5次，所以应选乙运动员参加．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
24．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD 的垂线交BA的延长线于点E，求证：DE＝AC．
【分析】先根据菱形的性质得出AB∥CD，AC⊥BD，再证明DE∥AC，然后根据平行四边形的判定和性质证明即可．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴AE∥CD，∠AOB＝90°．
∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，
∴∠AOB＝∠EDB，
∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形
∴DE＝AC．
【点评】此题考查了菱形的性质、平行四边形的性质和判定等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的判定是解决问题的关键．
25．（10分）某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠．若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元．请问该学校九年级学生有多少人？
【分析】首先设九年级学生有x人，根据“给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，
需付款1936元”可得每个文具包的花费是：元，根据“若多买88个，就可享受8
折优惠，同样只需付款1936元”可得每个文具包的花费是：，根据题意可得方程
×0.8＝，解方程即可．
解：设九年级学生有x人，根据题意，列方程得：
×0.8＝，
整理得：0.8（x+88）＝x，
解之得：x＝352，
经检验x＝352是原方程的解，
答：这个学校九年级学生有352人．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，列出方程，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．26．（11分）如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为点M，N，求证：DP＝MN．
【分析】连结PB，由正方形的性质得到BC＝D C，∠BCP＝∠DCP，接下来证明△CBP≌△CDP，于是得到DP＝BP，然后证明四边形BNPM是矩形，由矩形的对角线相等可得到BP＝MN，从而等量代换可证得问题的答案．
证明：如图，连结PB．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°．
∵在△CBP和△CDP中，
，
∴△CBP≌△CDP（SAS）．
∴DP＝BP．
∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠MBN＝90°
∴四边形BNPM是矩形．
∴BP＝MN．
∴DP＝MN．
【点评】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定、矩形的性质和判定，证得四边形BFPE为矩形是解题的关键．。