06弯曲应力_3切应力_土

A
C
B
h
D
z
FS max 6.25 kN
l
l
l
y
3.75 kN
11.25 kN
b
M 3.75 kN m max
FS / kN 3.75
5
x 6.25
2.5
x
M / kN m
3.75
FS max 6.25 kN
M 3.75 kN m max
2）根据弯曲正应力强度条件确定截面尺寸
根据弯曲正应力强度条件
3 6.25103 2 33 66106
= 4.3 MPa ≤[ ] 80 MPa
故取上述截面尺寸，梁的强度符合要求
[例3] 某工作平台的横梁是由 No. 18 工字钢制成，受力如图。已知
材料的许用正应力[ ] = 170 MPa，许用切应力[ ] = 100 MPa，试校
核此梁强度。
6.5kN 6.5kN 6.5kN
[例2] 图示矩形截面钢梁，已知 F = 10 kN、q = 5 kN/m；l = 1 m；材
料的许用正应力 [ ] = 160 MPa 、许用切应力 [ ] = 80 MPa 。若规定
梁横截面的高宽比 h/ b = 2，试按强度条件设计梁的横截面尺寸。
解： 1）作剪力图和弯矩图
F
q
最大剪力和最大弯矩为
第五节 弯曲切应力及其强度计算
基本结论：弯曲切应力只与剪力有关
一、矩形截面梁
b
主要结论：
1. 弯曲切应力 与剪力FS平行
同向;
FS
h
2. 弯曲切应力 沿横截面宽度
均匀分布，即距中性轴等远处
各点的弯曲切应力相等。
y
yz
3. 弯曲切应力计算公式
b
FS
S
z
Izb
式中，S*z 为横截面上过纵坐标为 y 的点的横线以外的部分面积 A*
最大剪力和最大弯矩为
A
1
ql / 2
FS
max
ql 2
FS
M 1 ql2
ql / 2
max 8
q
h
B
z
l
y
ql / 2
b
x ql / 2
x
M
ql2 /8
FS
max
1 ql 2
M 1 ql2 max 8
q A
l
2）计算最大弯曲正应力和最大弯曲切应力
max
M max Wz
1 ql2 8 1 bh2
解： 1）作剪力图和弯矩图 最大剪力和最大弯矩为
FS max 9.75 kN M 26 kN m
max
A
2m
9.75 kN
FS / kN 9.75
B
2m 2m 2m
9.75 kN
3.25 x
3.25 9.75
x
M / kN m
19.5
19.5
26
FS max 9.75 kN
M 26 kN m max
2）校核弯曲正应力强度 由型钢表中查得 No. 18 工字钢的抗弯截面系数 Wz = 185 cm3
max
M max Wz
26 185
103 106
140.6 MPa < [ ] 170 MPa
故梁的弯曲正应力强度足够
FS max 9.75kN
M 26kN m max
3）校核弯曲切应力强度
(阴影区域)对中性轴的静矩，
即有
Sz
A yC
b
2
h2 4
y2
FS h
C
y
故矩形截面梁弯曲切应力计算公式可改写为
FS 2Iz
h2 4
y2
z
y
y
C
A
FS 2Iz
h2 4
y2
4. 弯曲切应力的分布规律 弯曲切应力沿高度呈抛物 线分布，在上、下边缘各 点处，弯曲切应力为零；
b
FS
max h
Wz
x
M x
[ ]
F 鱼腹梁
F 阶梯梁
三、减小梁的跨度，以降低最大弯矩 Mmax
q
A
B
l
q
A
B
0.2l
0.2l
l
M
0.125ql2
0.02ql 2
0.02ql 2
x
x
0.025ql2
M
◆ 将简支梁改为外伸梁，减小了梁的跨度，最大弯矩 Mmax 变为 原来的五分之一
四、分散荷载，以降低最大弯矩 Mmax
F
F/2 F F/2
l/2
l/2
l/4 l/4 l/4 l/4
x
x
M
Fl/4
Fl /8
M
◆ 通过辅梁将载荷分散，主梁的最大弯矩 Mmax 减小一半
一、采用合理的截面形状 1. 提高截面的 Wz / A
h
h
0.8h
h
h
Wz 0.125h A
0.167h
0.205h
0.27 0.31 h
结论： 圆形截面最不合理；工字形截面最为合理。
◆为什么？
2. 保证横截面上的实际最大拉、压应力同步到达材料的许用拉、 压应力，即
t max
M max Iz
3 FS max 2A
4 FS max 3A
2 FS max A
FS max
d
(Iz
:
S z max
)
矩形截面 圆形截面 薄壁圆环形截面 工字形截面
说明：梁的强度计算一般应以正应力强度条件为主
[例1] 图示矩形截面简支梁受均布载荷作用，试求梁的最大弯曲正 应力和最大弯曲切应力，并比较其大小。
解： 1）作剪力图和弯矩图
由型钢表中查得 No. 18 工字钢的截面几何参数：d = 6.5 mm，Iz : Sz = 15.4 cm
max
d
FS max
Iz
:
S
z
9.75 103 6.5103 15.4 102
= 9.75 MPa
≤ 100 MPa
故梁的弯曲切应力强度足够
结论：该钢梁的强度符合要求
第六节 梁的合理强度设计
max
4FS 3A
式中，A 为圆形截面的面积
四、薄壁圆环形截面梁
薄壁圆环：壁厚 t 远小于平均半径 R 最大弯曲切应力发生于中性轴上各点 处，计算公式为
max
2
FS A
式中，A 为薄壁圆环形截面的面积
FS
max
z
y
max
FS R
max
z
t
y
五、弯曲切应力强度条件
其中
max ≤ [ ]
max
Iz d
式中，d 为腹板宽度；S*z 为图示部分面积 A* 对中性轴的静矩
3. 在中性轴上各点处，弯曲切 应力取得最大值，计算公式为
max
FS
d
(Iz
:
S z max
)
max
对于工字钢，Iz / S*z max 可查型钢表
b
d FS
y z h0 h
y
A
三、圆形截面梁
最大弯曲切应力发生于中性轴上各点 处，计算公式为
M
M
max Байду номын сангаас
max max ≤ [ ]
Wz
1 bh2
6
得
b ≥ 3 3 M max 3 3 3.75103 0.0328 m = 32.8 mm
2[ ]
2 160 106
故取截面尺寸
b = 33 mm
h 66 mm
b = 33 mm
h 66 mm
3）校核弯曲切应力强度
max
3
FS max 2A
z
y
在中性轴上各点处，弯曲 切应力取得最大值，最大弯曲切应力的计算公式为
max
3FS 2A
式中，A 为矩形横截面的面积
二、工字形截面梁
主要结论：
1. 翼缘上弯曲切应力较小，可
max
忽略不计。
b
d FS
y z h0 h
2. 腹板上弯曲切应力的计算公式 与分布规律与矩形截面梁相似， 即
y
A
FS Sz
yt max
t
cmax
M max Iz
yc max
c
结论： 对于塑性材料，截面形状应关于中性轴对称； 对于脆性材料，截面形状应使中性轴偏向于受拉一侧。
二、采用变截面梁
等强度梁：最理想的变截面 梁，使梁每一截面上的最大 正应力都相等，且都等于材
料的许用应力。 即
max
x
M Wz
x x
[
]
故等强度梁的抗弯截面系数 应满足
3ql2 4bh2
6
max
3
FS max 2A
3 1 ql 2
2bh
3ql 4bh
h
B
z
y
b
max
3ql 2 4bh2
max
3ql 4bh
q
A
h
B
z
l
y
b
3）比较最大弯曲正应力和最大弯曲切应力的大小
3ql 2
max 4bh2 l max 3ql h
4bh
结论：此梁的最大正应力和最大切应力之比就等于梁的跨度 l 与 梁的截面高度 h 之比。这表明：在对非薄壁截面的细长梁进行强 度计算时，一般应以正应力强度条件为主。