高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例课时素养评价含解析新人教A版选修2_2

课时素养评价八生活中的优化问题举例
(15分钟30分)
1.把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A. cm2
B.4 cm2
C.3 cm2
D.2 cm2
【解析】选D.设两段长分别为x cm, (12-x)cm,
这两个正三角形的边长分别为cm,cm,面积之和为
S(x)==.
令S′(x)==0,解得x=6.则x=6是S(x)的极小值点,也是最小值点,所以S(x)min=S(6)=2cm2.
2.容积为108升的底面为正方形的长方体无盖水箱,要使用料最省,它的高为
( ) A.2分米 B.3分米 C.4分米 D.6分米
【解析】选B.设水箱的底面边长为a分米,高为h分米,
则V=a2h=108,即h=.
用料最省,即表面积最小.
S表=S底+S侧=a2+4ah=a2+4a×=a2+.
S表′=2a-,令S表′=2a-=0,
解得a=6,此时h=3分米.
3.某工厂生产某种产品,已知该产品每吨的价格P(元/吨)与产量x(吨)之间的关系式为P=24 200-x2,且生产x吨的成本为R=50 000+200x(元),为使利润最大,则产量应为 ( )
A.200吨
B.20吨
C.150吨
D.100吨
【解析】选A.利润L=P·x-R
=x-50 000-200x
=-x3+24 000x-50 000(x>0),
L′=-x2+24 000,令L′=0,得x2=40 000.
所以x=200.经检验,当x=200时利润最大.
4.做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱,用料最省时需用料________dm2.
【解析】设底面边长为x dm,则高h=,
其表面积为S=x2+4××x=x2+,
S′=2x-,
令S′=0,得x=8,此时S min=192(dm2).
答案:192
5.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20,要使其体积最大,则高为多少?
【解析】设圆锥的高为x,
则圆锥底面半径r=,
所以圆锥体积:V=πr2·x=πx
=-x3+x,
所以V′=-πx2+,令V′=0,解得:x=,
当x∈时V′>0;当x∈时,V′<0,所以当x=时,V取得最大值,即体积最大时,圆锥的高为.
(25分钟50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.若商品的年利润y(万元)与年产量x(万件)的函数关系式为y=-x3+27x+123(x>0),则获得最大利润时的年产量为( )
A.1万件
B.2万件
C.3万件
D.4万件
【解析】选C.因为y=-x3+27x+123(x>0),
所以y′=-3x2+27=-3(x+3)(x-3)(x>0),
所以y=-x3+27x+123在(0,3)上是增函数,
在(3,+∞)上是减函数;故当x=3时,获得最大利润;故获得最大利润时的年产量为3万件.
2.以长为10的线段AB为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大值为
( ) A.10 B.15 C.25 D.50
【解析】选C.设PN=x,PQ=2y则x2+y2=25,
S=2xy,S2=4x2y2=4x2(25-x2)=100x2-4x4,
设t=x2,则S2=100t-4t2,(S2)′=100-8t.
知当t=时,S2的最大值=252,即S的最大值为25.
3.用长为30 cm的钢条围成一个长方体形状的框架(即12条棱长总和为30 cm),要求长方体的长与宽之比为3∶2,则该长方体最大体积是( )
A.24 cm3
B.15 cm3
C.12 cm3
D.6 cm3
【解析】选B.设该长方体的宽是x cm,由题意知,其长是cm,高是=cm,(0<x<3),则该长方体的体积V(x)=x·x·=-x3+x2,
V′(x)=-x2+x,由V′(x)=0,得到x=2(x=0舍去),当0<x<2时,V′(x)>0;
当2<x<3时,V′(x)<0,即体积函数V(x)在x=2处取得极大值V=15,也是函数V(x)在定义域上的最大值.所以该长方体体积的最大值是15 cm3.
4.某公司生产一种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)=-+400x,0≤x≤390,则当总利润最大时,每年生产的产品单位数是( )
A.150
B.200
C.250
D.300
【解析】选D.由题意可得总利润
P(x)=-+300x-20 000(0≤x≤390),
由P′(x)=-+300,得x=300.
当0≤x<300时,P′(x)>0;
当300<x≤390时,P′(x)<0,
所以当x=300时,P(x)最大.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使水桶的容积是27π,且用料最省,则水桶的底面半径为________.
【解析】用料最省,即水桶的表面积最小.
设圆柱形水桶的表面积为S,底面半径为r(r>0),则πr2h=27π,即水桶的高为,所以S=πr2+2πr ×=πr2+(r>0).求导数,得S ′=2πr-.令S′=0,解得r=3.当0<r<3时,S′<0;当r>3时,S′>0.所以当r=3时,圆柱形水桶的表面积最小,即用料最省.
答案:3
6.(2017·全国卷Ⅰ)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,
AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,
△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为________.
【解析】连接OB,连接OD,交BC于点G,
由题意得,OD⊥BC,OG=BC,
设OG=x,则BC=2x,DG=5-x,
三棱锥的高h===,
S△ABC=2x·3x·=3x2,
则V=S△ABC·h=x2·
=·,
令f(x)=25x4-10x5,x∈,
f′(x)=100x3-50x4,
令f′(x)>0,即x4-2x3<0,x<2,
则f(x)≤f=80,
则V≤×=4,
所以体积最大值为4cm 3.
答案:4cm 3
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.某地需要修建一条大型输油管道,其通过120公里宽的沙漠地带,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站).经预算,修建一个增压站的工程费用为400万元,铺设距离为x公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为(x2+x)万元.设余下工程的总费用为y万元.
(1)试将y表示成关于x的函数.
(2)需要修建多少个增压站才能使总费用y最小?
【解析】(1)依题意可知余下工程有段管道,有个增压站,故余下工程的总费用为y=(x2+x)·+400·=120x+-280,
所以将y表示成关于x的函数为y=120x+-280(0<x<120).
(2)由(1)知y=120x+-280 (0<x<120),有y′=120-,令y′=0,解得x=20,
y,y′随x的变化情况如表:
x (0,20) 20 (20,120)
y′- 0 +
y ↘极小值↗
由表易知,函数y在x=20时取得最小值,此时-1=5,故需要修建5个增压站才能使总费用y 最小.
8.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆车的月租定为3 600元时,能租出多少辆车?
(2)每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为多少?
【解析】(1)当每辆车的月租金为3 600元时,未出租的车辆数为=12,
所以这时租出了100-12=88(辆)车.
(2)设每辆车的月租金定为x元,则租赁公司的月收益f(x)=(x-150)-
×50
=-+162x-21 000,
f′(x)=-+162,由f′(x)=0解得x=4 050,
当x∈(3 000,4 050)时,f′(x)>0,f(x)递增,
当x∈(4 050,+∞)时,f′(x)<0,f(x)递减,
所以当x=4 050时,f(x)最大,最大值为f(4 050)=307 050.
设一个容积V固定的有铝合金盖的圆柱形铁桶,高为h,底面半径为r.已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍,则h∶r=________时,造价最低.
【解析】因为圆柱形铁桶的高为h,底面半径为r,
所以设单位面积铁的造价为m,桶的总造价为y,
则y=3mπr2+m(πr2+2πrh).
因为V=πr2h,得h=,
所以y=4mπr2+.
所以y′=8mπr-.
令y′=0,解得r=,
此时h=4.
故当0<r<时,y′<0,函数单调递减;
当r>时,y′>0,函数单调递增.
所以r=为函数的极小值点,且是最小值点. 所以当r=时,y有最小值.
所以当h∶r=4∶1时,总造价最低.
答案:4∶1。