2020版高考数学大二轮文科通用版 教师课件：专题四 第1讲 空间几何体及三视图

其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何
体的体积为
.
解析:在正方体中还原该几何体,如图所示.
该几何体的体积 V=43-1×(2+4)×2×4=40.
2
答案:40
5.(2019天津,文12)已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形,侧棱长
均为 5 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另
1.旋转体的侧面积和表面积
名称 图形
表面积
圆柱
S=2π r2+2π rl =2π r(r+l)
侧面积 S 侧=2π rl
圆锥
S=π r2+π rl =π r(形 圆台 球
表面积
S=π (r'2+r2+ r'l+rl)
侧面积 S 侧=π (r+r')l
S=4π R2
2.柱体、锥体、台体、球体的体积公式
答案:(1)B (2)C
考点1 考点2 考点3 考点4
考点1 考点2 考点3 考点4
角度二 空间几何体的体积
例3(1)(2018浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几
何体的体积(单位:cm3)是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
(2)(2018全国Ⅱ,文16)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA
A.2 3 B.2 2 C.2 D. 3
考点1 考点2 考点3 考点4
解析:(1)如图,三棱锥 A-BCD 即为所求几何体,根据题设条件,知 辅助的正方体棱长为 2,CD=1,BD=2 2,BC= 5,AC=2,AB=3,AD= 5, 则最长棱为 AB,长度为 3.
考点1 考点2 考点3 考点4
12AB·BC·12CC1=112AB·BC·CC1=112×120=10.
答案:10
一、空间几何体的三视图 1.几何体的摆放位置不同,其三视图也不同,需要注意长对正、高 平齐、宽相等. 2.由三视图还原几何体:一般先从俯视图确定底面,再利用正视图 与侧视图确定几何体.
二、空间几何体常用的几组公式
例2(1)(2018山东潍坊模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几
何体的表面积为( ) A.4+2 3 B.4+4 2 C.6+2 3 D.6+4 2
考点1 考点2 考点3 考点4
(2)(2018安徽合肥第一次质量检测)如图,网格纸上小正方形的边 长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为 ()
对应训练1 (1)(2018吉林长春质量监测(二))如图,网格纸上小正方形的边长 为1,粗线条画出的是一个三棱锥的三视图,则该三棱锥中最长棱的 长度为( )
A.2
B. 5
C.2 2 D.3
考点1 考点2 考点3 考点4
(2)(2018河北石家庄质量检测(一))如图,网格纸上的小正方形的 边长为1,粗线表示的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的四个面中, 最小面的面积是( )
(2)在正方体中还原该几何体,如图中三棱锥 D-ABC 所示,其中 正方体的棱长为 2,则 S△ABC=2,S△DBC=2 2,S△ADB=2 2,S△ADC=2 3,故 该三棱锥的四个面中,最小面的面积是 2,故选 C.
答案:(1)D (2)C
考点1 考点2 考点3 考点4
空间几何体的表面积和体积(综合型) 角度一 空间几何体的表面积
S△PBC=S△PAB=12×2×2 2=2 2,S△ABC=S△PAC=12×2×2=2,所以该几何
体的表面积为 4+4 2.
考点1 考点2 考点3 考点4
(2)由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的, 故该几何体的表面积为
2×12×4π ×12+2×12×π ×12+2×3+12×2π ×1×3=8π +6.
解析:由三视图得该棱柱的高为 6,底面五边形可以看作是由两个直 角梯形组合而成,其中一个上底为 4,下底为 6,高为 3,另一个的上底
为 2,下底为 6,高为 3,则该棱柱的体积为 2+26×3+4+26×3 ×6=162.
答案:B
2.(2019浙江,8)设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P 是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为α,直线 PB与平面ABC所成的角为β,二面角P-AC-B的平面角为γ,则( ) A.β<γ,α<γ B.β<α,β<γ C.β<α,γ<α D.α<β,γ<β
直线所成的角
从命题特点上看,这“两
2016 Ⅱ 4,7
球的表面积;空间几何体的三视图及组合 小”或“一小”主要考查三
体表面积的计算
视图,几何体的表面积与
Ⅲ Ⅰ 2015 Ⅱ
空间几何体的三视图及组合体表面积的 10,11 计算;球的体积计算 6,11 圆锥的体积;组合体的三视图与表面积 6,10 三视图与体积;球的切接问题
答案:π
4
6.(2019江苏,9)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的
中点,则三棱锥E-BCD 的体积是
.
解析:∵长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为120, ∴AB·BC·CC1=120. ∵E为CC1的中点,CC1⊥底面ABCD, ∴CE 为三棱锥 E-BCD 的底面 BCD 上的高,CE=12CC1, ∴VE-BCD=13 × 12AB·BC·CE=13 ×
从题量上看,“立体几何” 在高考中一般会以“两小 一大”或“一小一大”的命 题形式出现; 从题序上看,考查一个小 题时,此小题一般会出现 在第 4~8 题的位置上,难 度一般;考查两个小题时, 其中一个小题难度一般, 另一个小题难度稍高,
年份 卷别 题号 考查角度
命题预测
Ⅰ 6,16 线面平行的判定;三棱锥外接球的表面积
(2)(2018河北唐山模拟)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线 画的是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A.3
B.131
C.7
D.233
考点1 考点2 考点3 考点4
解析:(1)由三视图可得该几何体的直观图如图所示,该几何体是 一个棱长为 2 的正方体上、下各挖去一个底面半径为 1,高为 1 的圆
∴CD⊥OD.
∵PD=PE= 3,PC=2,
∴sin∠PCE=sin∠PCD= 23, ∴∠PCB=∠PCA=60°.
∴PO⊥CO,CO 为∠ACB 平分线,
∴∠OCD=45°,∴OD=CD=1,OC= 2.
又 PC=2,∴PO= 4-2 = 2.
答案: 2
4.(2019北京,文12)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,
解析:如图,
G为AC中点,点V在底面ABC上的投影为点O,则点P在底面ABC上的
投影点D在线段AO上,过点D作DE垂直AE,易得PE∥VG,过点P作
PF∥AC交VG于点F,过点D作DH∥AC,交BG于点H,则
α=∠BPF,β=∠PBD,γ=∠PED,
所以
cos
α=������������������������
因为 PA⊥PB,所以 PA⊥PC,PC⊥PB.以 PA,PB,PC 为过同一顶点的三
条棱作正方体(如图所示),则正方体的外接球同时也是三棱锥
与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8.则该圆锥的体积
为
.
考点1 考点2 考点3 考点4
解析:(1)由三视图可知该几何体为直四棱柱.
∵S 底=12×(1+2)×2=3,h=2, ∴V=Sh=3×2=6.
(2)
∵SA⊥SB, ∴S△SAB=12·SA·SB=8. ∴SA=4.过点 S 连接底面圆心 O,则∠SAO=30°. ∴SO=2,OA=2 3. ∴V=13πr2h=13×π×(2 3)2×2=8π.
锥后剩余的部分,其体积为 23-2×13×π ×12×1=8-23π.故选 A.
(2)由题中的三视图可得,该几何体是由一个长方体切去一个 三棱锥所得的几何体,长方体的长,宽,高分别为 2,1,2,体积为 4,切去 的三棱锥的体积为13,故该几何体的体积 V=4-13 = 131.故选 B.
答案:(1)A (2)B
答案:(1)C (2)8π
考点1 考点2 考点3 考点4
考点1 考点2 考点3 考点4
对应训练2 (1)(2018河南洛阳第一次统考)一个几何体的三视图如图所示,图 中的三个正方形的边长均为2,则该几何体的体积为( ) ABC...488---ππ323π
3
D.4-2π
3
考点1 考点2 考点3 考点4
答案:B
3.(2019全国Ⅰ,文16)已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点
P到∠ACB两边AC,BC的距离均为 ,那3 么P到平面ABC的距离
为
.
解析:作PD,PE分别垂直于AC,BC,PO⊥平面ABC.连接CO,OD,知
CD⊥PD,CD⊥PO,PD∩PO=P,∴CD⊥平面PDO,OD⊂平面PDO,
第1讲 空间几何体及三视图
近五年高考试题统计与命题预测
卷题
年份
考查角度
别号
命题预测
Ⅰ Ⅱ
2019
Ⅲ
Ⅰ 2018 Ⅱ
Ⅲ
16 空间几何体内高的计算 16 空间几何体的棱长
空间几何体的体积、面积 16 计算
圆柱的表面积;三视图及 5,9 与几何体侧面展开图有关
的最值 16 圆锥的数量关系与体积
三视图的识别;球内接三 3,12 棱锥的体积的最值
=
������������ ������������
=
������������ ������������
<
������������������������=cos
β,所以
α>β,
因为 tan γ=������������������������ > ������������������������=tan β,所以 γ>β.故选 B.
一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积
为
.
解析:由底面边长为 2,可得 OC=1.设 M 为 VC 的中点,O1M=12OC=12, O1O=12VO,
VO= ������������2-������������2=2,
∴O1O=1.
V 柱=π ·O1M2·O1O=π ×
1 2
2×1=π4.
A.5π +18 B.6π +18 C.8π +6 D.10π +6
考点1 考点2 考点3 考点4
解析:(1)由三视图还原几何体的直观图如图所示,易知 BC⊥平面 PAC,又 PC⊂平面 PAC,所以 BC⊥PC,又 AP=AC=BC=2,所以 PC= 22 + 22=2 2,又 AB=2 2,所以
体积,空间点、线、面的 位置关系(特别是平行与 垂直).
1.(2019浙江,4)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂 势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体 积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高.若某柱体的三 视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm3)是( ) A.158 B.162 C.182 D.324
A.12
C.
2 4
B.
2 2
D.14
考点1 考点2 考点3 考点4
解析: 由三棱锥 C-ABD 的正视图、俯视图得三棱锥 C-ABD 的侧视 图为直角边长是 22的等腰直角三角形,如图所示,所以三棱锥 C-ABD 的侧视图的面积为14,故选 D.
答案:D
考点1 考点2 考点3 考点4
考点1 考点2 考点3 考点4
Ⅱ 2017
6,15
空间几何体的三视图及组合体体积的计 算;长方体外接球的表面积
一般会出现在第 10~16 题的位置上,此小题虽然
Ⅲ
9,10
球的内接圆柱、圆柱的体积的计算;线线 难度稍高,主要体现在计
垂直的判定
算量上,但仍是对基础知
Ⅰ
7,11
有关球的三视图及表面积的计算;空间两 识、基本公式的考查;
名称
体积
柱体(圆柱) 锥体(圆锥) 台体(圆台) 球
V=Sh(π r2h)
V=1Sh
3
������r2 h
3
V=13(S'+ S'S+S)h
V=4π
3
R3
考点1 考点2 考点3 考点4
空间几何体的三视图(基础型)
例 把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起,使得平面ABD⊥
平面CBD,形成的三棱锥C-ABD的正视图与俯视图如图所示,则侧 视图的面积为( )
考点1 考点2 考点3 考点4
多面体与球(综合型) 角度一 外接球
例4(2018广西南宁模拟)三棱锥P-ABC中,△ABC为等边三角
形,PA=PB=PC=3,PA⊥PB,三棱锥P-ABC的外接球的体积为( )
A.227π
B.272 3π
C.27 3π D.27π
考点1 考点2 考点3 考点4
解析:因为三棱锥P-ABC中,△ABC为等边三角形,PA=PB=PC=3, 所以△PAB≌△PBC≌△PAC.