2019高考数学一轮复习人教A全国通用课件：第一章 集合与常用逻辑用语 第3节

第 3节
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
最新考纲
1. 了解逻辑联结词 “ 或 ” 、 “ 且 ” 、 “ 非 ” 的含义； 2. 理解全
称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
知 识 梳 1.简单的逻辑联结词 或 (1)命题中的且 、 理 非 、 叫做逻辑联结词.
(2)命题 p∧q，p∨q，綈 p 的真假判断
2.p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”， 非p则是“与p的真假相反”.
【训练 1】 (2018· 郑州调研)命题 p：函数 y＝log2(x－2)的单调增区间是[1，＋∞)， 1 命题 q：函数 y＝ x 的值域为(0，1).下列命题是真命题的为( ) 3 ＋1
(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反.(
解析 (2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题. (3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
)
2.(选修2－1P27A组T3改编)命题p：∃x0∈R，x0>1的否定是( A.綈p：∀x∈R，x≤1 B.綈p：∃x∈R，x≤1
π x 在0， 上是增函数，∴ymax＝tan 4
解析 ∵函数 y＝tan
π 4 ＝1，依题意，m≥ymax，
即 m≥1.∴m 的最小值为 1.
答案 1
考点一
含有逻辑联结词的命题的真假判断
【例1】 (1)设a，b，c是非零向量.已知命题p: 若a· b＝0，b· c＝0，则a· c＝0；命题q： 若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )
名 称 全称命题 特称命题
形式
结构 对M中的任意一个 x x0，使 ∀x∈M，p(x )，有p(x) 存在M中的一个 ∃x ∈M， p(x ) p(x0)成
0 0
成立
∀x∈M
立
[常用结论与微点提醒]
简记
否定 ∃x0∈M，綈p(x0) p∨q→见真即真，p∧ ,綈 p(x) 1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀： q→见假即假，
p与綈p→真假相反. 2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.
诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×” )
(1)命题“5>6或5>2”是假命题.(
)
)
(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.( (3)“长方形的对角线相等”是特称命题.( (1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真. )
A.p∨q
D.p∧(綈q)
B.p∧q
C.(綈p)∧(綈q)
(2)(2018· 深圳联考)已知命题p：不等式ax2＋ax＋1>0的解集为R，则实数a∈(0， 4)，命题 q：“x2－ 2x－ 8>0”是 “x>5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是 ( )
A.p∧q
D.(綈p)∧q
B.p∧(綈q)
C.(綈p)∧(綈q)
解析
(1)取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a· b＝0，b· c＝0，
但a· c＝1≠0，∴p是假命题.
又a，b，c是非零向量， 由a∥b知a＝xb，由b∥c知b＝yc， ∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题. 综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题.
又∵綈p为真命题，綈q为假命题.
∴(綈p)∧(綈q)，p∧(綈q)都是假命题.
命题.
答案 (1)A (2)D
规律方法 式；
1.“p∨q” 、 “p∧q” 、 “ 綈 p” 形式命题真假的判断关键是对逻
辑联结词 “ 或 ”“ 且 ”“ 非 ” 含义的理解，其操作步骤是： (1) 明确其构成形
(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真
假.
P 真 真
q 真 假
p∧q
真 假
p∨q 真
真 真
綈p
假
假
真
真
假
假
真
假
假
假
假
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，
用符号“ ∀ ”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存 在量词，用符号“ ∃ ”表示.
3.全称命题和特称命题
∴p是真命题，綈p为假命题.
∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2， ∴q为假命题，綈q为真命题. 根据真值表可知p∧綈q为真命题，p∧q，綈p∧q，綈p∧綈q为假命题. 答案 B
π 5.若“∀x∈0， 4
，tan x≤m”是真命题，则实数 m 的最小值为________.
A.p∧q 解析 B.p∨q C.p∧(綈q) D.綈q 由于y＝log2(x－2)在(2，＋∞)上是增函数，
x
∴命题p是假命题.
1 由 3 >0，得 3 ＋1>1，所以 0< x <1， 3 ＋1 1 所以函数 y＝ x 的值域为(0，1)，故命题 q 为真命题. 3 ＋1
)
C.綈p：∀x∈R，x<1
解析 答案 A
D.綈p：∃x∈R，x<1
特称命题的否定为全称命题.∴綈p：∀x∈R，x≤1.
3.(2018· 贵阳调研)下列命题中的假命题是(
)
A.∃x0∈R，lg x0＝1
C.∀x∈R，x3＞0 解析
B.∃x0∈R，sin x0＝0
D.∀x∈R，2x＞0
当x＝10时，lg 10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则B为真命
(2)命题p：当a＝0时，有1>0恒成立；
当 a≠0 时
a>0， ，得 解之得 2 Δ ＝ a － 4 a <0 ，
0<a&l綈p是真命题. 命题q：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2. 因此 “x2 －2x －8>0” 是“x>5”的必要不充分条件， q为真命题.故( 綈p)∧q为真
题；当x＜0时，x3＜0，则C为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈ R，2x＞0， 则D为真命题.
答案
C
4.(2017· 山东卷)已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2<b2，则a<b.下 列命题为真命题的是( A.p∧q ) B.p∧綈q C.綈p∧q D. 綈 p∧
綈q
解析 ∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x2－ x＋1>0恒成立，