湖北省孝感市孝感高中2012届高三数学5月练习题(一) 理 新人教A版

孝感高中2012届高三5月数学练习题(一)（理）
一、选择题：
1.“2
540x x -+<”是“21x -<”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．如图，已知幂函数y x α
=的图像过点(2,4)P ，则图中阴影部分的面积等于（ ） A ．
163
B ．
83
C ．
43
D ．
23
3．如图，D 、E 、F 分别是ABC ∆的边AB 、BC 、CA 的中点，则AF DB -=（ ） A ．FD
B ．FC
C ．FE
D ．BE
4．已知函数()()2
x g x x ϕ=+，曲线()y g x =在点()()
1,1g 处的切线方程为
21y x =+，则曲线()y x ϕ=在点()()1,1ϕ处的切线的斜率为（ ）
A ．4
B ．14
-
C ．2
D ．12
-
5． 设()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG ∆是边长为2的等边三角形，则)1(f 的值为 （
A ．2
3-
B ．2
6
-
C ．3
D ． 3- 6．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（ ） A ． 34种 B ．48种
C ．96种
D ．144种
7．定义在R 上的偶函数(2)f x -，当2x >-时，1
()2x f x e +=-.若存在k Z ∈，使方程
()0f x = 的实数根0(1,)x k k ∈-，则k 的取值集合是 （ ）
{}.0A
{}.3B - {}.4,0C - {}.3,0D -
8. ,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面
ABC ,26AD AB ==则该球的体积为
A ．323π
B ． 48π
C ． 643π
D ． 163π
9．设(,)Q x y 是曲线2
2
:125
9
x y C +
=上的点，12(4,0),(4,0)F F -,则12QF QF +（ ）
A ．小于10
B ．大于10
C ．不小于10
D ．不大于10
2
P
O
x
y o
G
F
E
y
x
1009080706050分数
频率
组距
0.04
0.0280.0160.008
10．在ABC ∆中，,E F 分别是AC ,AB 的中点，且32AB AC =，若BE
t CF
<恒成立，则t 的最小值为（ ） A ．
34
B ．
7
8
C ．1
D ．
54
二、填空题：
11. 某程序框图如右图所示，现将输出（,)x y 值依次记为：1122(,),(,),,(,),
;
n n x y x y x y 若程序运行中输出的一个数组是 (,10),x -则数组中的x =
12. 设抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为Q ，过点F 作直线交抛物线C 于A 、B 两点，若90QBF ∠=，则|AF |—|BF |=
13. 某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
（1）频率分布直方图中[),90 间的矩形的高为
（2）若要从分数在[]80,100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，
至少有一份分数在]90,100之间的概率为
14.在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序” .类似地，我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个复数111z a b i =+，222z a b i =+（1122,,,a b a b R ∈，i 为虚数单位），“1
2z z ”当且仅当
“12a a >”或“12a a =且12b b >”．下面命题为假命题．．．的是（填入满足题意的所有序号）（ ）
① 1
0i
② 若12z z ，2
3z z ，则1
3z z
③ 若1
2z z ，则对于任意z C ∈，12z z
z z ++ ④ 对于复数0z
，若12z z ，则1
2z z z z ⋅⋅
8
59
8765432219
8653328
69
8
7
65叶
茎
15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD AB ⊥，垂足为D ，且5AD DB =，设COD θ∠=，则tan θ的值为 .
（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为 为参数）
，
，
t t y t x (33⎩⎨
⎧=-=. 以直角坐标系xOy 中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴， 圆C 的极坐标方程为03cos 42
=+-θρρ，则圆心C 到直线l 距离为
三、解答题。

16.（12分）已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(P -. （1）求sin 2tan αα-的值；
（2）若函数()cos()cos sin()sin f x x x αααα=---，求函数2(
2)2()
2
y x f x π
=--在区间2π
03⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的取值范围．
17.（12分）在数列{}n a 中，*112311
1,23().2
n n n a a a a na a n N ++=++++=
∈ （1）求数列{}n a 的通项n a ；
（2）若存在*
n N ∈，使得(1)n a n λ≤+成立，求实数λ的最小值.
18.（12分）某医疗设备每台的销售利润与该设备的无故障使用时间Q （单位：年）有关. 若
1Q ≤，则销售利润为0元；若13Q <≤，则销售利润为100元；若3Q >，则销售利润为
200元. 设每台该种设备的无故障使用时间1Q ≤，13Q <≤及3Q >这三种情况发生的概
率分别为321,,p p p ，又知21,p p 是方程015252
=+-a x x 的两个根，且32p p =.
（Ⅰ） 求321,,p p p 的值；
（Ⅱ） 记ξ表示销售两台这种设备的利润总和，求ξ的分布列和期望。

19.（12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰 直角三角形，俯视图为直角梯形，
（1）求证：BN 11C B N ⊥平面；
（2）11sin C N CNB θθ设为直线与平面所成的角,求的值；
（3）设M 为AB 中点，在BC 边上找一点P ，使MP //平面1CNB 并求
BP
PC
的值. 20.（13）如图，已知椭圆2
212
x y +=内有一点M ，过M 作两条动直线AC BD 、分别交
椭圆于A C 、和B D 、两点，若2
2
2
2
AB CD BC AD +=+.
（1）证明：AC BD ⊥；
（2）若M 点恰好为椭圆中心O ① 四边形ABCD 是否存在内切圆？若存在，求其内切圆方程；若不存在，请说明理由. ②求弦AB 长的最小值.
21.（14
().b R ∈
（1）当14
a >
时，求()f x 的单调区间; （2）当1a =时，若在区间[)2,+∞上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，求b 的范围.
主视图 侧视图
俯视图
1
N
第21题图
高三数学（理科）参考答案
一、选择题
1.B
2. B
3. D
4. A
5. D
6. C
7. D
8.A
9. D 10. B 二、填空题：
11. 32 12. 2p 13.（1）0.016 （2）0.6 14.④ 15．
．
2
三、解答题
16.解：（1）因为角α
终边经过点(P -，所以
1
sin 2
α=
，cos 2α=-
，tan 3α=-
sin 2tan 2sin cos tan 236
ααααα∴-=-=-+=- (2) ()cos()cos sin()sin cos f x x x x αααα=---= ，x R ∈
2cos(2)2cos 21cos 22sin(2)126y x x x x x ππ
∴=--=--=--
2470,02,233666x x x πππππ
≤≤∴≤≤∴-≤-≤
1sin(2)
126x π∴-≤-≤，22sin(2)116
x π
∴-≤--≤
故函数2
(2)2()2y x f x π=--在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的值域是[2,1]-
17. 解：（1）21,123,2n n n a n n -=⎧⎪
=⎨⋅≥⎪⎩
（2）()1,1n n a a n n λλ≤+⇔≥+由（1）可知当2n ≥时，()
2
23,11n n a n n n -⋅=++
设()()
()*12,23
n
n n f n n n N +=≥∈⋅ ()()()()()()()1
21111
10,2231n n n f n f n n f n f n -+-+-=<∴>≥⋅+又()1123
f = 及1122
a =，所以所求实数λ的最小值为1
3
18. 解：（Ⅰ）由已知得1321=++p p p . 32p p =, ∴1221=+p p .
21,p p 是方程015252=+-a x x 的两个根,
∴5321=
+p p .∴511=p ,5
2
32==p p .
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，100，200，300，400.
()0=ξP =25
1
5151=⨯,()100=ξP =25452512=⨯⨯,
()200=ξP =258525252512=⨯+⨯⨯,()300=ξP =258
52522=⨯⨯,
()400=ξP =25
4
5252=⨯.
随机变量ξ的分布列为：
E ξ=25
44002583002582002541002510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
=240. 19. 解：（1）证明∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形， ∴BA，BC ，BB 1两两垂直。

以BA ，BC ，BB 1分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，则N （4,4,0），B 1（0, 8,0），C 1（0,8,4），C （0,0,4）∵11NB BN ⋅=（4,4,0）·（-4,4,0）=-16+16=011C B BN ⋅=（4,4,0）·（0,0,4）=0 ∴BN⊥NB 1，BN⊥B 1C 1且NB 1与B 1C 1相交于B 1，∴BN⊥平面C 1B 1N ； （II ）设),,(2z y x n =为平面1NCB 的一个法向量，则
2210
(,,)(4,4,4)0
(,,)(
4,4,0)0
0n CN x y z x y z n NB ⎧⋅=⋅-=⎧⎪⇒⎨
⎨⋅-=⋅=⎩⎪⎩210,(1,1,2),(4,4,4)0
x y z n C N x y +-=⎧⇒==--⎨-+=⎩取 则sin |3θ==
（III ）∵M（2,0,0）.设P(0,0,a )为BC 上一点,则),0,2(a MP -=, ∵MP//平面CNB 1, ∴ .1022)2,1,1(),0,2(22=⇒=+-=⋅-=⋅⇒⊥a a a n MP n MP 又11//,CNB MP CNB PM 平面平面∴⊄,
∴当PB =1时MP //平面CNB 1 1
3
BP PC ∴
= ……12分（用几何法参照酙情给分。

） 20.解：（I ）设2
2
2
2
11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y AB CD BC AD +=+由知
22222222
1212343423231414()()()()()()()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-+-+-展开整理得：1212343423231414x x y y x x y y x x y y x x y y +++=+++ 即124342124342()()()()0x x x x x x y y y y y y -+-+-+-= ∴13241324()()()()0x x x x y y y y --+--=
即0,AC BC AC BD ⋅=∴⊥
（II ）（i ）∵AC⊥BD,由椭圆对称性知AC 与BD 互相平分，∴四边形ABCD 是菱形，它存在内切圆，圆心为O ，设半径为r ，直线AB 方程为：y =kx +m
则2
2
2:1m r r k ==+即 ① 联立 22
12
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222
(12)4220k x kmx m +++-= ∴22
2
2
12122
2422
(4)4(12)(22)0,,1212mk m km k m x x x x k k --∆=-+->+=⋅=++
由（I ）知OA⊥OB, ∴121212120,()()0x x y y x x kx m kx m +=+++=即
2
2
121212()0x x k x x km x x m ++++=∴22
22222222240121212m m km k km m k k k
---+⋅++=+++ 2222222222222420m m k k k m m m k -+--++=
222(1)3
m k =+ ②
②代入①有：223r =
∴存在内切圆，其方程为：222
3
x y +=
容易验证，当k 不存在时，上述结论仍成立.
（ii ）12AB x x - ∵222(1)3m k =+ 22232
10,23
k m m =-≥≥
∴AB=
=
令22
1
31,
3
t
m t m
+
-==
则
AB===
∵2
212
,1,01
333
t
m
+
≥∴≥≥∴<≤
1
故t
t
当22
min
2
1,0
3
AB m k
===
1
时，
t
容易验证，当k
不存在时，AB=
21解：（1）()
2
'
2
2
1
1
ax
a
e ax x
a
f x
x
x
a a
-
⎛⎫
-+
⎪
⎝⎭
=
⎛⎫
++
⎪
⎝⎭
，因0
ax
e>且
1
4
a>，
故只需讨论2
1
a
ax x
a
-
-+的符号
所以①当
5
4
a≥时，()
'0
f x≥，()
f x在区间()
,
-∞+∞上为增函数
②当
15
44
a
<<时，令()
'0
f x=
解得
12
x x
==.
当x变化时， f '（x）和f（x）的变化情况如下表：
∴f(x)在
⎛
-∞
⎝⎭
，
⎫
+∞⎪⎪
⎝⎭
,增,f(x)
⎝⎭
减函数
（2）2
249
e b >.考查反面情况：[)2,x ∀∈+∞，()()
f x
g x ≥恒成立，
即()2
2
30149
x e e h x bx x x =--≥++ 在[)2,x ∈+∞上恒成立。

首先()223220,749e e h b =--≥即2249e b ≤，其次，()()()
2'
2
1x e x x h x b x x -=-++， 考虑()()
()
22
1x e x x M x x x -=
++ ()()()()
232'4
2
1232101x e x x x x x x M x x
x ⎡⎤++-++-⎣⎦
=
>++在
[)2,x ∈+∞上恒成立，所以()()22249
e M x M ≥=
，所以当2
249e b ≤时，()()
()
22
'
220491x e x x e h x b b x x -=-≥-≥++，故()h x 在[)2,x ∈+∞上单调递增，又()20h ≥，
所以()2230149x e e h x bx x x =--≥++在[)2,x ∈+∞上恒成立，所以2249e b ≤，
综上2
249
e b >。