北京市中关村中学2023-2024学年高二下学期期中调研数学试题

(1)求证： A1D ^ AB ；
(2)若直线 AB 与平面 A1DC1 所成角的正弦值为 21 ，求 AA1 的长度. 7
19．已知函数 f ( x) = ln x + ax2 - (2a +1) x ，其中 a Î R ．
(1)当 a = 1时，求曲线 y = f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程；
又由点到直线的距离公式可得 m = 3 ，解得 m = ± 6 ， 2
故选：D. 8．D 【分析】求出导函数后，由余弦函数性质得结论．
【详解】小球的瞬时速度为
x¢(t)
=
10p
cos(p t
-
p 3
)
，pt
-
p 3
=
2kp
，t
=
2k
+
1 3
,
k
Î
Z
，
因此首次达到最大值时，
t
=
1 3
．
故选：D． 9．A
3 2
ö ÷ø
.
(1)求椭圆 C 的方程和离心率；
(2)过点 P (4, 0) 且与 x 轴不重合的直线 l 与椭圆 C 交于 A ， B 两点，与直线 x = 1 交于点 Q ，
试卷第51 页，共33 页
点 M 满足 MP ^ x 轴， MB//x 轴，试求直线 MA 的斜率与直线 MQ 的斜率的比值.
2 x
，故
B
项正确；
( ) 对于 C 项， ex + ln 3 ¢ = ex ，故 C 项错误；
( ) 对于 D 项，
x -2
¢
=
-2 x -3
=
-
2 x3
，故
D
项错误.
故选：B. 3．D
【分析】由原函数求导，判断函数 f (x) 单调性，即可分析得出其极小值点.
【详解】由
f
(x)
=
cos
x
+
x 2
答案第21 页，共22 页
CD 所成的角，利用余弦定理求出 AD ，根据三棱锥体积公式即可求得体积． 【详解】如图，
∵ DB = DC = 2 ，点 E 为 BC 的中点， ∴ DE ^ BC ， DE = 2 ，
∵ DA ， DB ， DC 两两垂直， DB I DC = D ， ∴ AD ^ 平面 DBC ，取 BD 的中点 F，连接 EF，
③数列{an} 每一项都满足 an
£
2 n +1
成立；
④数列{an} 每一项

都满足
an
³
( 1)n-1(n 2
Î N*)
.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③
B．②④
C．①③④
D．①②④
二、填空题
11．双曲线
y2 25
-
x2 9
= 1的实轴长为
，渐近线方程为
．
12．在复平面内，复数 z 对应点的坐标为 Z (1, 2) ，则 z 的虚部为
uuuur EM
×
uuur EN
的最小值为
．
15．已知函数 f (x) = 2sin(wx + j) 的部分图像如图所示．
试卷第31 页，共33 页
（1）函数 f (x) 的最小正周期为 ． （2）将函数 f (x) 的图象向右平移 t(t > 0) 个单位长度，得到函数 g(x) 的图象．若函数 g(x) 为偶函数，则 t 的最小值是 ．
【详解】对于任意 x1 > x2 > 0 都有 f ( x1 ) < f ( x2 ) ，则 f (x) 在定义域内是减函数，
f
¢( x)
=
a
-
1 x
，所以
a
-
1 x
£
0
在
x
>
0
时恒成立，即
a
£
1 x
，而
1 x
>
0
，
所以 a £ 0 ． 故选：B． 7．D 【分析】根据圆的方程求出圆心坐标以及半径，由等边三角形的性质可得到圆心到直线的
( ) { } 21．集合 S = {a1, a2 ,L, an} ai Î N*,i = 1, 2,L, n ，集合T = bi∣j bij = ai + a j ,1 £ i < j £ n ，若
集合 T
中元素个数为
n(n -1) 2
，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合 S
为“好
集合”． (1)判断集合 S1 = {1, 2, 3}, S2 = {1, 2,3, 4}是否为“好集合”； (2)若集合 S3 = {1,3,5, m}(m > 5) 是“好集合”，求 m 的值．
B． (-¥, 0]
C． (-¥ ,0)
D． ( -¥,1]
7．已知直线 y = x + m 与圆 O : x2 + y2 = 4 交于 A，B 两点，且 VAOB 为等边三角形，则 m 的
值为（ ）
A． ± 2
B． ± 3
C． ±2
D． ± 6
8．一个小球作简谐振动，其运动方程为
x
(t
)
=
10sin
+
x 2
,
x Î[0,π]
，则函数
f
(x)
的极小值点为（
）
A． π 或 5π 66
B．
æ ççè
π63,π2
ö + 12 ÷÷ø
C．
æ çè
56π1,
-
25π+
12
ö ÷ø
D． 5π 6
( ) 4．函数 f ( x) = x2 - 2x ex 的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，在三棱锥 A - BCD 中， DA, DB, DC 两两垂直，且 DB = DC = 2 ，点 E 为 BC 中点， 试卷第11 页，共33 页
(2)当 a = 1时，求函数 f ( x) 在 (0, 2] 上的最大值；
(3)当
a
£
1 2
时，求函数
f
(
x)
的单调区间；
(4)证明：当 a
Î
æ çè
0,
1 2
ö ÷ø
时，函数
f
(
x)
有且仅有一个零点．
20．已知椭圆 C
：
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>b
>
0
)
的一个焦点为
F
(1,
0)
，且过点
æçè1,
( ) 当 x < 0 时， x2 - 2x > 0, ex > 0 ，所以 f ( x) = x2 - 2x ex 恒为正，排除选项 C，
即只有选项 B 符合要求. 故选：B． 5．D 【分析】由题意可证 AD ^ 平面 DBC ，取 BD 的中点 F，连接 EF，则 Ð AEF 为直线 AE 与
故 A È B = [log2 3, +¥) È (0, 2) = (0, +¥). 故选：C. 2．B 【分析】根据基本初等函数的导数公式和复合函数的求导法则，可对选项一一判断即得.
【详解】对于 A 项，因 (e-x )¢ = -e-x ，故 A 项错误；
对于
B
项， (ln
x2 )¢
=
2x x2
=
c
=
2a
；条件②：
c
=
8
；条件③：
cos
C
=
1 7
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别
试卷第41 页，共33 页
解答，按第一个解答计分． 18．如图，在四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是正方形，平面 A1ADD1 ^ 平面 ABCD ， AD = 2 ， AA1 = A1D .
北京市中关村中学 2023-2024 学年高二下学期期中调研数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
{ } 1．已知集合 A = x∣2x ³ 3 , B = {x∣log2 x < 1} ，则 A È B = （ ）
答案第41 页，共22 页
【分析】求出等比数列{an} 的通项公式 an ，进而求出Tn ，再由数列最大项、最小项的意义
∴ Ð AEF 为直线 AE 与 CD 所成的角，且 EF = 1 ， 由题意可知， ÐAEF = 60° ，设 AD = x ，连接 AF， 则 AF 2 = 1+ x2，AE2 = 2 + x2 ，
在△AEF
中，由余弦定理，得 cos ÐAEF
=
AE2 + EF 2 - AF 2 2AE × EF
,
z i
=
．
13．已知数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，若 3Sn - an = 1，则 an =
．
，数列{ an } 的前 n 项和Tn =
14．已知等边
VABC
的边长为
4
，
E
，F
分别是
AB
，AC
的中点，则
uuur EF
×
uuur EA
=
；若 M ，N 是
线段 BC 上的动点，且
MN
=
1
，则
求导得，
f
¢(x)
=
- sin
x
+
1 2
，因
x Î[0,π]
，由
f
¢( x)
=
0
可得
x
=
π 6
或
x
=
5π 6
，
答案第11 页，共22 页
当0
<
x
<
π 6
时，
f
¢( x)
>
0
，
f
(x)
在 (0,
π 6
)
上单调递增；
当 π65<π x <
6
时， f ¢( x) < 0 ， f (x) 在 ( π5,π ) 上单调递减； 66
令 f ¢(x) >0 ，解得 x > 2 或 x < - 2 ；令 f ¢( x) < 0 ，解得 - 2 < x < 2 ，
( ) ( ) ( ) ( ) 所以 f ( x) = x2 - 2x ex 在 -¥,- 2 上单调递增，在 - 2, 2 上单调递减，在 2, +¥ 上
单调递增，
所以 f ( x) 的两个极值点为 ± 2 ，故排除选项 A 和选项 D，
若直线 AE 与 CD 所成的角为 60° ，则三棱锥 A - BCD 的体积等于（ ）
A．
2 3
B． 4 3
C．2
D． 2 2 3
6．已知函数 f ( x) = ax - lnx. 若对于任意 x1 > x2 > 0, 都有 f ( x1 ) < f ( x2 ) ，则实数 a 的范围是
（）
A．[0, +¥ )
=
an2
- 2an +17 an -1
，直接写出数列{cn} 的最小项．
17．在 VABC 中， b cosC + c cos B = 2a cos A ．
(1)求角 A 的大小；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得 VABC 存在且唯一
确定，求 VABC 的面积．
条件①：
æ çè
p
t
-
p 3
ö ÷ø
，其中
x
(t
)
(单位：
cm)
是小
球相对于平衡点的位移， t (单位： s )为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时， t = （）
A．1
B．
5 6
C．
1 2
D．
1 3
9．已知等比数列{an} 满足 a1
=
32, q
=
-
1 2
，记 Tn
=
a1a2 Lan
(n Î N+
)
A．[log2 3, 2)
B． (0, log2 3]
2．下列函数的求导正确的是（ ）
C． (0, +¥)
D． (-¥,log2 3]
( ) A． e-x ¢ = e-x
B． (ln
x2 )¢
=
2 x
( ) ( ) C．
ex
+
ln
3
¢
=
ex
+
1 3
D．
x-2
¢ = -2
3．已知函数
f
(x)
=
cos
x
距离d ，结合点到直线的距离公式列出方程求出 m 的值即可. 【详解】圆 O : x2 + y2 = 4 的圆心为 O(0, 0) ，半径 r = 2 ，
若直线 y = x + m 与圆 O 交于 A，B 两点，且 VAOB 为等边三角形， 则圆心 O 到直线 y = x + m 的距离 d = 3 ，
三、解答题
16．已知数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，且满足 an+1 = an + 2, S2 = a3 ．
(1)若 a1, a3, am 成等比数列，求 m 的值；
(2)若数列{an + bn} 为等比数列， a1 = b1,a2 = b2 ，求数列{bn} 的前 n 项和Tn ．
(3)设 cn
，则数列{Tn} （
）
试卷第21 页，共33 页
A．有最大项，有最小项 C．无最大项，有最小项
B．有最大项，无最小项 D．无最大项，无最小项
10．已知数列 {an }
满足
a1
=
1
，
an+1
=
an
-
1 2
an2
.给出下列四个结论：
①数列{an} 每一项 an 都满足 0 < an £ 1(n Î N*) ； ②数列{an} 的前 n 项和 Sn < 2 ；
试卷第61 页，共33 页
1．C
参考答案：
【分析】分别求解不等式 2x ³ 3 和 log2 x < 1，得到集合 A, B ,再求其并集即得.
【详解】由 2x ³ 3 可得 x ³ log2 3 ，则得 A = [log2 3, +¥) ；
由 log2 x < 1可得 0 < x < 2 ，则得 B = (0, 2) ,
当 5π 6
<
x
<
π 时，
f
¢( x )
>
0
，
f
(x)
在
(
5π 6
,π)
上单调递增；
故
f
(x)
在
x
=
π 6
处取得极大值,在
x
=
5π 6
处取得极小值.
即函数
f
(x)
的极小值点为
5π 6
.
故选:D. 4．B
【分析】利用导数求出函数的极值点可排除 AD,再由 x < 0 时函数恒正排除 C 即可得解.