2020-2021九年级数学二次函数的专项培优练习题(含答案)及详细答案

2020-2021九年级数学二次函数的专项培优练习题(含答案)及详细答案
一、二次函数
1．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．
（1）求m 的值；
（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；
（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）﹣3；（2）y 13
=
x 2﹣3；（3）M 的坐标为（3632）． 【解析】
【分析】 （1）把C （0，﹣3）代入直线y ＝x +m 中解答即可；
（2）把y ＝0代入直线解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； （3）分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可．
【详解】
（1）将C （0，﹣3）代入y ＝x +m ，可得：
m ＝﹣3；
（2）将y ＝0代入y ＝x ﹣3得：
x ＝3，
所以点B 的坐标为（3，0），
将（0，﹣3）、（3，0）代入y ＝ax 2+b 中，可得：
390
b a b =-⎧⎨+=⎩， 解得：133
a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，
所以二次函数的解析式为：y 13
=x 2﹣3；
（3）存在，分以下两种情况：
①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ，
则∠ODC ＝45°+15°＝60°，
∴OD ＝OC •tan30°3=
设DC 为y ＝kx ﹣33，0），可得：k 3= 联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩
， 解得：121203336
x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以M 1（36）；
②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，
则∠OEC ＝45°-15°＝30°，
∴OE ＝OC •tan60°＝3
设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（30）可得：k 3= 联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， 解得：12120332x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩
， 所以M 23，﹣2）．
综上所述M 的坐标为（3，63，﹣2）．
【点睛】
此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．
2．已知二次函数的图象以A （﹣1，4）为顶点，且过点B （2，﹣5）
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．
【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.
【解析】
【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；
（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；
（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．
【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，
将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，
∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；
（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），
令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，
即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；
（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），
由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），
当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，
故A'（2，4），B'（5，﹣5），
∴S△OA′B′=1
2
×（2+5）×9﹣
1
2
×2×4﹣
1
2
×5×5=15．
【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.
3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+n与x轴、y轴分别交于
B、C两点，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过
C、B两点，交x轴于另一点A，连接AC，且
tan∠CAO=3．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是射线CB上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交抛物线于Q，设P点横坐标为t，线段PQ的长为d，求出d与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；
(3)在(2)的条件下，当点P在线段BC上时，设PH=e，已知d，e是以y为未知数的一元二
次方程：y2－(m+3)y+1
4
(5m2－2m+13)="0" (m为常数)的两个实数根，点M在抛物线上，连
接MQ、MH、PM，且．MP平分∠QMH，求出t值及点M的坐标．
【答案】(1) y=-x2+2x+3；(2)
2
2
3(03)
{
3(3)
d t t t
d t t t
=-+<<
=->
；（3）t=1，2，2)和(12，
2).
【解析】
【分析】
（1）当x=0时代入抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）就可以求出y=3而得出C的坐标，就可以得出直线的解析式，就可以求出B的坐标，在直角三角形AOC中，由三角形函数值就可以求出OA的值，得出A的坐标，再由待定系数法建立二元一次方程组求出其解就可以得出结论；
（2）分两种情况讨论，当点P在线段CB上时，和如图3点P在射线BN上时，就有P点的坐标为（t，-t+3），Q点的坐标为（t，-t2+2t+3），就可以得出d与t之间的函数关系式而得出结论；
（3）根据根的判别式就可以求出m的值，就可以求出方程的解而求得PQ和PH的值，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，如图2，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，就可以得出四边形LQMH是平行四边形，进而得出四边形LQMH是菱形，由菱形的性质就可以求出结论．
【详解】
（1）当x=0，则y=-x+n=0+n=n，y=ax2+bx+3=3，
∴OC=3=n．
当y=0，
∴-x+3=0，x=3=OB，
∴B （3，0）．
在△AOC 中，∠AOC ＝90°，tan ∠CAO=33OC OA OA
==， ∴OA=1，
∴A （-1，0）．
将A （-1，0），B （3，0）代入y=ax2+bx+3，
得 9330{30
a b a b ++=-+=， 解得：1{2
a b =-= ∴抛物线的解析式：y=-x 2+2x+3；
(2) 如图1，
∵P 点的横坐标为t 且PQ 垂直于x 轴 ∴P 点的坐标为(t ，－t+3)，
Q 点的坐标为(t ，－t 2+2t+3).
∴PQ=|(－t+3)－(－t 2+2t+3)|="|" t 2－3t |
∴223(03){3(3)
d t t t d t t t =-+<<=->； ∵d ，
e 是y 2－(m+3)y+14
(5m 2－2m+13)=0（m 为常数）的两个实数根， ∴△≥0，即△=(m+3)2－4×14
(5m 2－2m+13)≥0 整理得：△= －4(m －1)2≥0，∵－4(m －1)2≤0，
∴△=0，m=1，
∴ PQ 与PH 是y 2－4y+4=0的两个实数根，解得y 1=y 2=2
∴ PQ=PH=2，∴－t+3=2，∴t="1,"
∴此时Q 是抛物线的顶点，
延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，如图2，
∵LP=MP ，PQ=PH ，∴四边形LQMH 是平行四边形，
∴LH ∥QM ，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，
∴LH=MH ，∴平行四边形LQMH 是菱形，
∴PM ⊥QH ，∴点M 的纵坐标与P 点纵坐标相同，都是2，
∴在y=－x 2+2x+3令y=2，得x 2－2x －1=0，∴x 1=1+2，x 2=1－2
综上：t 值为1，M 点坐标为(1+2，2)和(1－2，2).
4．如图，已知二次函数的图象过点O （0，0）．A （8，4），与x 轴交于另一点B ，且对称轴是直线x ＝3．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若M 是OB 上的一点，作MN ∥AB 交OA 于N ，当△ANM 面积最大时，求M 的坐标；
（3）P 是x 轴上的点，过P 作PQ ⊥x 轴与抛物线交于Q ．过A 作AC ⊥x 轴于C ，当以O ，P ，Q 为顶点的三角形与以O ，A ，C 为顶点的三角形相似时，求P 点的坐标．
【答案】（1）21342
y x x =
-；（2）当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．
【解析】
【分析】
（1）先利用抛物线的对称性确定B （6，0），然后设交点式求抛物线解析式；
（2）设M （t ，0），先其求出直线OA 的解析式为12
y x =直线AB 的解析式为y=2x-12，直线MN 的解析式为y=2x-2t ，再通过解方程组1222y x y x t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩
得N （42t,t 33），接着利用三角形面积公式，利用S △AMN =S △AOM -S △NOM 得到AMN 112S 4t t t 223∆=
⋅⋅-⋅⋅然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）设Q 213m,m m 42⎛
⎫- ⎪⎝⎭，根据相似三角形的判定方法，当PQ PO OC AC
=时，△PQO ∽△COA ，则
213m m 2|m |42-=；当PQ PO AC OC =时，△PQO ∽△CAO ，则2131m m m 422
-=，然后分别解关于m 的绝对值方程可得到对应的P 点坐标． 【详解】
解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x ＝3，
∴B 点坐标为（6，0），
设抛物线解析式为y ＝ax （x ﹣6），
把A （8，4）代入得a•8•2＝4，解得a ＝
14， ∴抛物线解析式为y ＝
14x （x ﹣6），即y ＝14x 2﹣32
x ； （2）设M （t ，0）， 易得直线OA 的解析式为y ＝
12
x ， 设直线AB 的解析式为y ＝kx+b ， 把B （6，0），A （8，4）代入得6084k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得k 2b 12
=⎧⎨=-⎩， ∴直线AB 的解析式为y ＝2x ﹣12，
∵MN ∥AB ，
∴设直线MN 的解析式为y ＝2x+n ，
把M （t ，0）代入得2t+n ＝0，解得n ＝﹣2t ，
∴直线MN 的解析式为y ＝2x ﹣2t ， 解方程组1222y x y x t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得4323x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则42N t,t 33⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴S △AMN ＝S △AOM ﹣S △NOM
1124t t t 223
=⋅⋅-⋅⋅ 21t 2t 3
=-+ 21(t 3)33
=--+， 当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；
（3）设213m,m m 42⎛
⎫- ⎪⎝⎭
， ∵∠OPQ ＝∠ACO ，
∴当PQ PO OC AC =时，△PQO ∽△COA ，即PQ PO 84
=， ∴PQ ＝2PO ，即
213m m 2|m |42-=， 解方程
213m m 2m 42-=得m 1＝0（舍去），m 2＝14，此时P 点坐标为（14，0）； 解方程
213m m 2m 42-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝﹣2，此时P 点坐标为（﹣2，0）； ∴当PQ PO AC OC =时，△PQO ∽△CAO ，即PQ PO 48
=， ∴PQ ＝12
PO ，即2131m m m 422-=， 解方程2131m m m 422=
-=得m 1＝0（舍去），m 2＝8，此时P 点坐标为（8，0）； 解方程2131m m m 422
=-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝4，此时P 点坐标为（4，0）； 综上所述，P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
5．对于某一函数给出如下定义：若存在实数m ，当其自变量的值为m 时，其函数值等于﹣m ，则称﹣m 为这个函数的反向值．在函数存在反向值时，该函数的最大反向值与最小反向值之差n 称为这个函数的反向距离．特别地，当函数只有一个反向值时，其反向距离n 为零．
例如，图中的函数有4，﹣1两个反向值，其反向距离n 等于5．
（1）分别判断函数y ＝﹣x +1，y ＝1x
-，y ＝x 2有没有反向值？如果有，直接写出其反向距
离；
（2）对于函数y＝x2﹣b2x，
①若其反向距离为零，求b的值；
②若﹣1≤b≤3，求其反向距离n的取值范围；
（3）若函数y＝
2
2
3()
3()
x x x m
x x x m
⎧-≥
⎨
--<
⎩
请直接写出这个函数的反向距离的所有可能值，并写出
相应m的取值范围．
【答案】（1）y＝−1
x
有反向值，反向距离为2；y＝x2有反向值，反向距离是1；（2）
①b＝±1；②0≤n≤8；（3）当m＞2或m≤﹣2时，n＝2，当﹣2＜m≤2时，n＝4．
【解析】
【分析】
(1)根据题目中的新定义可以分别计算出各个函数是否有方向值，有反向值的可以求出相应的反向距离；
(2)①根据题意可以求得相应的b的值；
②根据题意和b的取值范围可以求得相应的n的取值范围；
(3)根据题目中的函数解析式和题意可以解答本题．
【详解】
(1)由题意可得，
当﹣m＝﹣m+1时，该方程无解，故函数y＝﹣x+1没有反向值，
当﹣m＝
1
m
-时，m＝±1，∴n＝1﹣(﹣1)＝2，故y＝
1
x
-有反向值，反向距离为2，
当﹣m＝m2，得m＝0或m＝﹣1，∴n＝0﹣(﹣1)＝1，故y＝x2有反向值，反向距离是1；
(2)①令﹣m＝m2﹣b2m，
解得，m＝0或m＝b2﹣1，
∵反向距离为零，
∴|b2﹣1﹣0|＝0，
解得，b＝±1；
②令﹣m＝m2﹣b2m，
解得，m＝0或m＝b2﹣1，
∴n＝|b2﹣1﹣0|＝|b2﹣1|，
∵﹣1≤b≤3，
∴0≤n≤8；
(3)∵y＝
2
2
3()
3() x x x m
x x x m
⎧-≥
⎨
--<
⎩
，
∴当x≥m时，
﹣m＝m2﹣3m，得m＝0或m＝2，
∴n＝2﹣0＝2，
∴m＞2或m≤﹣2；
当x＜m时，
﹣m＝﹣m2﹣3m，
解得，m＝0或m＝﹣4，
∴n＝0﹣(﹣4)＝4，
∴﹣2＜m≤2，
由上可得，当m＞2或m≤﹣2时，n＝2，
当﹣2＜m≤2时，n＝4．
【点睛】
本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题目中的新定义，找出所求问题需要的条件，利用新定义解答相关问题．
6．如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；
（3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理
由.
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，
最大值的立方根为=；（3）存在满足条件的点P，t的值为1或
【解析】
试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；
（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x 轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．
试题解析：（1）由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）∵A（0，3），D（2，3），
∴BC=AD=2，
∵B（﹣1，0），
∴C（1，0），
∴线段AC的中点为（，），
∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，
∴直线l过平行四边形的对称中心，
∵A、D关于对称轴对称，
∴抛物线对称轴为x=1，
∴E（3，0），
设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，
∴直线l的解析式为y=﹣x+，
联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，
∴F（﹣，），
如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，
∵P点横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），
∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，
∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，
∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，
∴最大值的立方根为=；
（3）由图可知∠PEA≠90°，
∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，
①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=45°，
∴∠PAG=∠APG=45°，
∴PG=AG，
∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），
②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，
则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，
∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，
∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，
∴△PKE∽△AQP，
∴，即，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣
（舍去），
综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．
考点：二次函数综合题
7．（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．
（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；
（2）小球的落点是A，求点A的坐标；
（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；
（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．
【解析】
试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；
（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；
（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；
（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直
线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛
物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．
试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；
（2）联立两解析式可得：，解得：，或．
故可得点A的坐标为（，）；
（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．
S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA
=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××
=4+﹣
=；
（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于
△POA的面积．
设直线PM的解析式为y=x+b，
∵P的坐标为（2，4），
∴4=×2+b，解得b=3，
∴直线PM 的解析式为y=x+3． 由，解得，
， ∴点M 的坐标为（，
）．
考点：二次函数的综合题
8．综合与探究
如图，抛物线2
6y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34
时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)233642
y x x =-
++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)M M M M -. 【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法进行求解即可；
(2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ，先求出S △OAC =6，再根据
S △BCD =
34S △AOC ，得到S △BCD =92
，然后求出BC 的解析式为362y x =-+，则可得点G 的坐标为3(,6)2m m -+，由此可得2334
DG m m =-+，再根据S △BCD =S △CDG +S △BDG =12DG BO ⋅⋅，可得关于m 的方程，解方程即可求得答案； (3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图，以BD 为边时，有3种情况，由点D 的坐标可得点N 点纵坐标为±
154，然后分点N 的纵坐标为154和点N 的纵坐标为154
-两种情况分别求解；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM 1=N 1D=4，继而求得OM 1= 8，由此即可求得答案.
【详解】
(1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2,0)，B(4,0)，
∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩
， 解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴抛物线的函数表达式为233642
y x x =-++； (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ，
∵点A 的坐标为(-2,0)，∴OA=2，
由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0,6)，∴OC=6，
∴S △OAC =
1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=， ∵S △BCD =34
S △AOC ， ∴S △BCD =39642
⨯=， 设直线BC 的函数表达式为y kx n =+，
由B ，C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩，解得326
k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
∴直线BC 的函数表达式为362y x =-+， ∴点G 的坐标为3(,6)2m m -
+， ∴2233336(6)34224
DG m m m m m =-++--+=-+， ∵点B 的坐标为(4,0)，∴OB=4，
∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =
1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅， ∴S △BCD =22133346242m m m m -
+⨯=-+（）， ∴239622
m m -+=， 解得11m =(舍)，23m =，
∴m 的值为3；
(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图， 以BD 为边时，有3种情况，
∵D 点坐标为15(3,)4
，∴点N 点纵坐标为±154， 当点N 的纵坐标为
154时，如点N 2， 此时233156424
x x -++=，解得：121,3x x =-=(舍)， ∴215(1,)4
N -，∴2(0,0)M ； 当点N 的纵坐标为154-
时，如点N 3，N 4， 此时233156424
x x -++=-，解得：12114,114x x ==∴315(114,)4N +-
，415(114,)4N -， ∴3(14,0)M ，4(14,0)M -；
以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合， ∵115(1,)4
N -，D(3，154)， ∴N 1D=4，
∴BM 1=N 1D=4，
∴OM 1=OB+BM 1=8，
∴M 1(8，0)， 综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(140)(140)M M M M -，，，，，，，.
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
9．当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元． （1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y （本）与销售单价x （元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．
（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠(06)a a <≤元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a 的值．
【答案】（1）10500(3038)y x x =-+剟
；（2）2a =． 【解析】
【分析】
（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．根据题意得到w=（x-20-a ）（-10x+500）=-10x 2+（10a+700）x-500a-10000（30≤x≤38）求得对称轴为x ＝35+12
a ，且0＜a ≤6，则30＜
35+12a ≤38，则当1352
x a =+时，w 取得最大值，解方程得到a 1=2，a 2=58，于是得到a=2．
【详解】 解：（1）根据题意得，()()2501025105003038y x x x =--=-+剟
； （2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．
()()()()220105001010700500100003038w x a x x a x a x =---+=-++--剟 对称轴为x ＝35+
12a ，且0＜a ≤6，则30＜35+12a ≤38， 则当1352x a =+
时，w 取得最大值， ∴1135201035500196022a a x a ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫+---++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
∴122,
58a a ==（不合题意舍去）， ∴2a =．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，正确的理解题意，确定变量，建立函数模型．
10．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2
y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．
（1）求点B 的坐标；
（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．
①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；
②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．
【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）.
（2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.
②线段QD 长度的最大值为
94
. 【解析】
【分析】 （1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．
（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．
②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.
【详解】
解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.
（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0）， ∴2a 1b 12a 9a 3b c 0
=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.
∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=
⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=
⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴
3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=，
∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.
②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：
3k b 0b 3
-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.
∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3).
又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).
∴()222
39QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭. ∵a 10<=-，-3
302<<-
∴线段QD 长度的最大值为
94
.
11．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；
（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；
②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2
y x 2x 3=--+.
（2）3210. （3）①2S m 4m 3=---.
②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）. 【解析】 【分析】
（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.
（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.
（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可. 【详解】
解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0）， ∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.
又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-. ∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+. （2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值. ∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小.
∵点A 、点B 关于对称轴I 对称， ∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.
∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.
∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴2，10. ∴△PBC 的周长最小是：3210.
（3）①∵抛物线2
y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0），
∴直线AD 的解析式为y=2x+6
∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+） ∴()2
2
EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---.
∴
()
22DEF AEF 1111
S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 3
2222
∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.
∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---. ②()2
2S m 4m 3m 21=---=-++，
∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.
12．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），
如图，直线y=
1
4
x 与抛物线交于A 、B 两点，直线l 为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式；
（2）在l 上是否存在一点P ，使PA+PB 取得最小值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）知F （x 0，y 0）为平面内一定点，M （m ，n ）为抛物线上一动点，且点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，求定点F 的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=14
x 2﹣x+1．（2）点P 的坐标为（28
13，﹣1）．（3）
定点F 的坐标为（2，1）． 【解析】
分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a （x-2）2，由抛
物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A 、B 的坐标，作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值，根据点B 的坐标可得出点B′的坐标，根据点A 、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；
（3）由点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标
特征，即可得出（1-
12-1
2
y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0，由m 的任意性可得出关于x 0、y 0的方程组，解之即可求出顶点F 的坐标． 详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0）， 设抛物线的解析式为y=a （x-2）2． ∵该抛物线经过点（4，1），
∴1=4a ，解得：a=1
4
，
∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=1
4
x 2-x+1．
（2）联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，得：
214
114y x y x x ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩
＝＝，解得：11114x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241x y ⎧⎨
⎩＝＝， ∴点A 的坐标为（1，
1
4
），点B 的坐标为（4，1）． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．
∵点B （4，1），直线l 为y=-1， ∴点B′的坐标为（4，-3）．
设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0）， 将A （1，
1
4
）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ⎧+⎪⎨
⎪+-⎩＝＝，解得：1312
43
k b ⎧
-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43
， 当y=-1时，有-1312x+4
3
=-1， 解得：x=
28
13
， ∴点P 的坐标为（
28
13
，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等， ∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1． ∵M （m ，n ）为抛物线上一动点， ∴n=
14
m 2
-m+1， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0（14m 2-m+1）+y 02=2（1
4
m 2-m+1）+1， 整理得：（1-
12-1
2
y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0． ∵m 为任意值，
∴
00 22
000 1
1
10
22
2220
230
y
x y
x y y
⎧
--
⎪
⎪
-+
⎨
⎪+--
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴0
2
1
x
y
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
∴定点F的坐标为（2，1）．
点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．
13．如图所示抛物线2
y ax bx c
=++过点()
1,0
A-，点()
0,3
C，且OB OC
=
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点,
D E在直线1
x=上的两个动点，且1
DE=，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值；
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分，求点P的坐标.
【答案】（1）2
y x2x3
=-++，对称轴为直线1
x=；（2）四边形ACDE的周长最小10131；（3）12
(4,5),(8,45)
P P
--
【解析】
【分析】
（1）OB=OC，则点B（3，0），则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）
=ax2-2ax-3a，即可求解；
（2）CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，即可求解；
（3）S△PCB：S△PCA=1
2
EB×（y C-y P）：
1
2
AE×（y C-y P）=BE：AE，即可求解．
【详解】
（1）∵OB=OC，∴点B（3，0），
则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，
故-3a=3，解得：a=-1，
故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3…①；
对称轴为：直线1
x
（2）ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC=10、DE=1是常数，
故CD+AE最小时，周长最小，
取点C关于函数对称点C（2，3），则CD=C′D，
取点A′（-1，1），则A′D=AE，
故：CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，
四边形ACDE的周长的最小值
=AC+DE+CD+AE=10+1+A′D+DC′=10+1+A′C′=10+1+13；
（3）如图，设直线CP交x轴于点E，
直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA=1
2
EB×（y C-y P）：
1
2
AE×（y C-y P）=BE：AE，
则BE：AE，=3：5或5：3，
则AE=5
2
或
3
2
，
即：点E的坐标为（3
2
，0）或（
1
2
，0），
将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，解得：k=-6或-2，
故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3…②
联立①②并解得：x=4或8（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中（1），通过确定点A′点来求最小值，是本题的难点．
14．如图，抛物线与x轴交于点A（，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t （），求△ABN的面积S与t的函数关系式；
（3）若且时△OPN∽△COB，求点N的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）（，
）或（1，2）．
【解析】
试题分析：（1）可设抛物线的解析式为，用待定系数法就可得到结论；
（2）当时，点N在x轴的上方，则NP等于点N的纵坐标，只需求出AB，就可得到S与t的函数关系式；
（3）由相似三角形的性质可得PN=2PO．而PO=，需分和0＜t＜2两种情况讨论，由PN=2PO得到关于t的方程，解这个方程，就可得到答案．
试题解析：（1）设抛物线的解析式为，把C（0，1）代入可得：
，∴，∴抛物线的函数关系式为：，即
；
（2）当时，＞0，∴NP===，
∴S=AB•PN==；
（3）∵△OPN∽△COB，∴，∴，∴PN=2PO．
①当时，PN===，PO==，∴，整理得：，解得：=，=，∵＞0，＜＜0，∴t=，此时点N的坐标为（，）；
②当0＜t＜2时，PN===，PO==t，∴，整理
得：，解得：=，=1．∵＜0，0＜1＜2，∴t=1，此时点N的坐标为（1，2）．
综上所述：点N的坐标为（，）或（1，2）．
考点：1．二次函数综合题；2．待定系数法求二次函数解析式；3．相似三角形的性质．
15．抛物线，若a，b，c满足b=a+c，则称抛物线为“恒定”抛物线．
（1）求证：“恒定”抛物线必过x轴上的一个定点A；
（2）已知“恒定”抛物线的顶点为P，与x轴另一个交点为B，是否存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见试题解析；（2），或．【解析】
试题分析：（1）由“恒定”抛物线的定义，即可得出抛物线恒过定点（﹣1，0）；
（2）求出抛物线的顶点坐标和B的坐标，由题意得出PA∥CQ，PA=CQ；存在两种情况：①作QM⊥AC于M，则QM=OP=，证明Rt△QMC≌Rt△POA，
MC=OA=1，得出点Q的坐标，设抛物线的解析式为，把点A坐标代入求出a的值即可；
②顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合；证明△OQC≌△OPA，得出OQ=OP=，得出点Q坐标，设抛物线的解析式为，把点C坐标代入求出a的值即可．
试题解析：（1）由“恒定”抛物线，得：b=a+c，即a﹣b+c=0，∵抛物线，当x=﹣1时，y=0，∴“恒定”抛物线必过x轴上的一个定点A（﹣1，0）；
（2）存在；理由如下：∵“恒定”抛物线，当y=0时，，解得：x=±1，∵A（﹣1，0），∴B（1，0）；∵x=0时，y=，∴顶点P的坐标为（0，），以PA，CQ为边的平行四边形，PA、CQ是对边，∴PA∥CQ，PA=CQ，
∴存在两种情况：①如图1所示：作QM⊥AC于M，则QM=OP=，
∠QMC=90°=∠POA，在Rt△QMC和Rt△POA中，∵CQ=PA，QM=OP，
∴Rt△QMC≌Rt△POA（HL），∴MC=OA=1，∴OM=2，∵点A和点C是抛物线上的对称点，∴AM=MC=1，∴点Q的坐标为（﹣2，），设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为，把点A（﹣1，0）代入得：a=，∴抛物线的解析式为：，即；
②如图2所示：顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合，∴点C坐标为（1，0），
∵CQ∥PA，∴∠OQC=∠OPA，在△OQC和△OPA中，∵∠OQC=∠OPA，∠COQ=∠AOP，CQ=PA，∴△OQC≌△OPA（AAS），∴OQ=OP=，∴点Q坐标为（0，），设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为，把点C（1，0）代入得：a=，∴抛物线的解析式为：；
综上所述：存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形，抛物线的解析式为：，或
．
考点：1．二次函数综合题；2．压轴题；3．新定义；4．存在型；5．分类讨论．。