2019_2020学年高中数学3.2.2复数代数形式的乘除运算课时作业(含解析)新人教A版

课时作业25 复数代数形式的乘除运算
知识点一 复数的乘除运算
1.设复数z ＝1＋2i ，则z 2
－2z 等于( ) A ．－3 B ．3 C ．－3i D ．3i 答案 A
解析 z 2
－2z ＝(1＋2i)2－2(1＋2i)＝1＋22i －2－2－22i ＝－3. 2．复数(1＋i)2
(2＋3i)的值为( ) A ．6－4i B ．－6－4i C ．6＋4i D ．－6＋4i 答案 D
解析 (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i. 3．在复平面内，复数
i 1＋i
＋(1＋3i)2
对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 B 解析
i 1＋i ＋(1＋3i)2
＝12i ＋12
＋1－3＋23i ＝－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋23i ，对应点在第二象限. 知识点二 共轭复数
4.若z ＝1＋2i i ，则复数z ＝( )
A ．－2－i
B ．－2＋i
C ．2－i
D ．2＋i
答案 D
解析 z ＝2＋1
i
＝2－i ，z ＝2＋i ，故选D.
5．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则z
z
等于( )
A ．i
B ．－i
C ．±1 D．±i 答案 D
解析 令z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )则
⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＝4，x 2
＋y 2
＝8，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝2，
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝－2.
不难得出
z
z
＝±i，故选D.
6．复数z ＝－3＋i
2＋i 的共轭复数是( )
A ．1－i
B ．1＋i
C ．－1＋i
D ．－1－i 答案 D
解析 z ＝－3＋i 2＋i ＝
－3＋
－
＋－
＝
－5＋5i
5
＝－1＋i ，所以其共轭复数为z ＝－1－i.选D.
知识点三 虚数单位i 的幂的周期性
7.已知复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－12＋32i ，则z ＝－z 1z 2＋i 5
在复平面内对应的点位于
( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 答案 A
解析 因为z 1＝12＋32i ，z 2＝－12＋32i ，所以z ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＋i 5＝1＋i ，
所以复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，位于第一象限．故选A.
一、选择题
1．已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i
C ．2－i
D ．2＋i
答案 C
解析 z －1＝1＋i
i ＝1－i ，∴z ＝2－i.
2．(1＋i)20
－(1－i)20
的值是( ) A ．－1024 B ．1024 C ．0 D ．512 答案 C
解析 (1＋i)20
－(1－i)20
＝[(1＋i)2]10
－[(1－i)2]10
＝(2i)10
－(－2i)10
＝(2i)10
－(2i)10
＝0.
3．已知1＋a i
1－i (i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a ＝( )
A ．1
B ．2
C ．－1
D ．－2 答案 A
解析 因为1＋a i
1－i
＝
＋a ＋－
＋
＝
1－a ＋＋a 2
为纯虚数，所以1－a ＝0且1
＋a ≠0，得a ＝1.
4．若a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )
A ．2 B. 3 C. 2 D ．1 答案
B 解析 ∵a ＋i
i
＝(a ＋i)(－i)＝1－a i ，
∴⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝1＋a 2＝2，解得a ＝3或a ＝－3(舍)．
5．若集合A ＝{i ，i 2
，i 3
，i 4
}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( ) A ．{－1} B ．{1} C ．{1，－1} D ．∅ 答案 C
解析 因为A ＝{i ，－1，－i,1}，B ＝{1，－1}，所以A ∩B ＝{1，－1}． 二、填空题
6．已知复数z ＝1－3i
3＋i ，z 是z 的共轭复数，则z 的模等于________．
答案 1
解析 由z ＝1－3i
3＋i
＝
－33－3＋
3－
＝－4i 4
＝－i ，得|z |＝|z |＝|－i|＝1.
7．若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则使z 2
＝－1的θ＝________. 答案
π
2
＋k π，k ∈Z 解析 z 2
＝(cos θ＋isin θ)2
＝cos 2
θ－sin 2
θ＋2isin θcos θ＝cos2θ＋isin2θ＝－1.
于是⎩
⎪⎨
⎪⎧
cos2θ＝－1，sin2θ＝0，
所以2θ＝π＋2k π，k ∈Z ， 所以θ＝π
2
＋k π，k ∈Z .
8．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2
为纯虚数，则实数a 的值为________． 答案 83
解析
z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝a ＋＋9＋16
＝3a ＋4a i ＋6i －825
＝
a －
＋
a ＋
25
，
∵z 1
z 2为纯虚数，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
3a －8＝0，4a ＋6≠0，
∴a ＝83.
三、解答题
9．计算－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2014
＋
－
2
－－4＋2
4＋3i
.
解 原式＝
3i ＋1＋23i
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫22i 1007
＋ －
2
－－2
4＋3i
＝i ＋(－i)
1007
＋04＋3i
＝i ＋i ＋0＝2i.
10．满足z ＋5
z
是实数，且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求
出虚数z ；若不存在，请说明理由．
解 存在．
设虚数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i ＝x ＋5x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －5y x 2
＋y 2i.
由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
y －5y x 2＋y
2＝0，
x ＋3＝－y ，
∵y ≠0，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋y 2
＝5，
x ＋y ＝－3，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1，
y ＝－2
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2，
y ＝－1，
∴存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足以上条件．。