易错汇总2016-2017学年山东省滨州市高三上学期期末数学试卷(文科)含答案

2016-2017学年山东省滨州市高三上学期数学期末试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x2＞1}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤1}B．{x|x＞0或x＜﹣1}C．{x|1＜x≤2}
D．{x|0＜x≤2}
2．（5分）若复数（i为虚数单位），则|z|=（）
A．B．C．D．
3．（5分）已知函数，则f[f（﹣1）]=（）A．2B．C．1D．﹣1
4．（5分）下列说法中，不正确的是（）
的充分不必要条件
A．“”是“θ=30°”
B．命题p：?n0∈N，，则￢p：?n∈N，2n≤1000
C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”
D．命题“若?x∈（0，+∞），则2x＜3x”是真命题
5．（5分）已知平面向量，，，，，则向量，的夹角为（）
A．B．C．D．
6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的x值为31，则a的值为（）
A．2B．3C．4D．5
7．（5分）已知三棱锥S﹣ABC，其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A．B．C．D．
8．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωｘ﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）的单调递增区间（）
A．[kπ+，kπ+]（k∈Z]B．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）9．（5分）圆心在直线上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦长为，则圆C的标准方程为（）
A．（x﹣3）2+（y﹣1）2=9B．（x+3）2+（y+1）2=9
C．D．（x﹣6）2+（y﹣2）2=9
10．（5分）设f（x）是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f （x）﹣f（﹣x）=0，当x∈[0，1]时，f（x）=﹣，则函数g（x）=f（x）
﹣e x+1在区间[﹣2017，2017]上零点的个数为（）
A．2016B．2017C．4032D．4034
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11．（5分）函数的定义域为．
12．（5分）在区间上随机地取一个数x，则事件“”发生的概率为．
13．（5分）如图，茎叶图记录了甲、乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员的平均成绩相同，则成绩较为稳定的运动员成绩的方差
为．
14．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣y的最大值
为．
15．（5分）已知抛物线的焦点为F，P是抛物线C1上位于第一象限内的点，|PF|=4，P到双曲线的一条渐近线的距离为2，则双曲线C2的离心率为．
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.）
16．（12分）今年我国许多省市雾霾频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市学校征召100名教师做义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组，现把该组的成员按年龄分成5组：第一组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45），得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法选出6名志愿者参加某社区的宣传
活动，应从第3，4，5组各选出多少名志愿者？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机选2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有1名志愿者被选中的概率．
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
，b=3．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若，求△ABC的面积．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD=AP，CD=2AB，CD⊥平面APD，AB∥CD，E为PD的中点．
（Ⅰ）求证：AE∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：平面PBC⊥平面PCD．
19．（12分）已知数列{a n}的前n项和．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和T n．
20．（13分）已知椭圆的短轴长为2，离心率为，
抛物线G：y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆E的右焦点重合，若斜率为k的直线l过抛物线G的焦点F与椭圆E相交于A，B两点，与抛物线G相交于C，D两点．
（Ⅰ）求椭圆E及抛物线G的方程；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得为常数？若存在，求出λ的值，若不存
在，请说明理由．
21．（14分）已知函数．
（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞0时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）当a=1时，若对于任意的x1，x2∈[1，4]，都有
成立，求实数m的取值范围．
2016-2017学年山东省滨州市高三上学期数学期末试卷
（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x2＞1}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤1}B．{x|x＞0或x＜﹣1}C．{x|1＜x≤2}
D．{x|0＜x≤2}
【解答】解：∵x2＞1
解得：x＞1或x＜﹣1，
∴B={x|x＞1或x＜﹣1}，
∵A={x|0≤x≤2}，
∴A∩B={x|1＜x≤2}．
故选：C．
2．（5分）若复数（i为虚数单位），则|z|=（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵=，
∴．
故选：D．
3．（5分）已知函数，则f[f（﹣1）]=（）A．2B．C．1D．﹣1
【解答】解：∵﹣1＜0，∴f（﹣1）=﹣（﹣1）3=1＞0，
所以f[f（﹣1）]=f（1）=21=2．
故选：A．
4．（5分）下列说法中，不正确的是（）
的充分不必要条件
A．“”是“θ=30°”
B．命题p：?n0∈N，，则￢p：?n∈N，2n≤1000
C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”
D．命题“若?x∈（0，+∞），则2x＜3x”是真命题
的必要不充分条件，所以A不正确；【解答】解：对于A，“”是“θ=30°”
对于B，命题p：?n0∈N，，则￢p：?n∈N，2n≤1000，满足命题的否定形式，正确；
对于C，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，满足逆否命题的形式，正确；
对于D，命题“若?x∈（0，+∞），因为，所以指数函数y=是增函数，?x∈（0，+∞），，则2x＜3x”是真命题，正确；
故选：A．
5．（5分）已知平面向量，，，，，则向量，的夹角为（）
A．B．C．D．
【解答】解：设向量，的夹角为θ，
∵，，，
∴1××cosθ=1，
∴cosθ＝，
结合θ∈[0，π]，可得θ＝，
故选：C．
6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的x值为31，则a的值为（）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：模拟执行程序，可得
x=a，n=1，满足条件n≤3，执行循环体，x=2a+1，n=2
满足条件n≤3，执行循环体，x=4a+3，n=3
满足条件n≤3，执行循环体，x=8a+7，n=4
不满足条件n≤3，退出循环，8a+7=31，∴a=3．
故选：B．
7．（5分）已知三棱锥S﹣ABC，其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A．B．C．D．
【解答】解：由已知可得：该几何体是以俯视图为底面的三棱锥，
其底面面积S=×4×2=4，
高h=4，
故体积V==，
故选：B．
8．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωｘ﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）的单调递增区间（）
A．[kπ+，kπ+]（k∈Z]B．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）
【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωｘ﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，∴=π，解得ω=2．
故函数f（x）=2sin（2x﹣）．
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，
故函数的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），
故选：D．
9．（5分）圆心在直线上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦长为，则圆C的标准方程为（）
A．（x﹣3）2+（y﹣1）2=9B．（x+3）2+（y+1）2=9
C．D．（x﹣6）2+（y﹣2）2=9
【解答】解：设圆心为（3t，t），半径为r=|3t|，
∵圆C截x轴所得弦的长为，
∴t2+8=9t2，
∴t=±1，
∵圆C与y轴的正半轴相切，
∴t=﹣1不符合题意，舍去，
故t=1，3t=3，
∴（x﹣3）2+（y﹣1）2=9．
故选：A．
10．（5分）设f（x）是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f （x）﹣f（﹣x）=0，当x∈[0，1]时，f（x）=﹣，则函数g（x）=f（x）﹣e x+1在区间[﹣2017，2017]上零点的个数为（）
A．2016B．2017C．4032D．4034
【解答】解：∵对任意的实数x，恒有f（x）﹣f（﹣x）=0，
∴函数f（x）是周期为2的偶函数，
∵当x∈[0，1]时，f（x）=﹣，
∴当x∈[﹣1，1]时，f（x）=﹣，
在[﹣2017，0]，共有1008个半圆弧及一个圆弧，
∴函数g（x）=f（x）﹣e x+1在区间[﹣2017，2017]上零点的个数为1008×2+1=2017，故选：B．
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11．（5分）函数的定义域为（，1）．
【解答】解：由，
解得：．
∴函数的定义域为：（，1）．
故答案为：（，1）．
12．（5分）在区间上随机地取一个数x，则事件“”发生的概率为．
【解答】解：在区间上随机地取一个数x，事件“”，得≤x≤，
则事件“”发生的概率为P==，
故答案为．
13．（5分）如图，茎叶图记录了甲、乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员的平均成绩相同，则成绩较为稳定的运动员成绩的方差为2．
【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；
甲、乙二人的平均成绩相同，
即×（87+89+90+91+93）=×（88+89+90+91+90+x），
解得x=2，
所以平均数为=90；
计算甲的方差为
s甲2=×[（87﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（93﹣90）2]=4；乙的方差为
s乙2=×[（88﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（92﹣90）2]=2；比较即可得出乙的方差较小，为2．
故答案为：2．
14．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣y的最大值为10．
【解答】解：约束条件，不等式组表示的平面区域如图所示，
当直线z=2x﹣y过点A时，z取得最大值，
由，可得A（3，﹣4）时，
在y轴上截距最小，此时z取得最大值10．
故答案为：10．
15．（5分）已知抛物线的焦点为F，P是抛物线C1上位于第一象限内的点，|PF|=4，P到双曲线的一条渐近线的距离为2，则双曲线C2的离心率为．
【解答】解：抛物线的焦点为F（2，0），P是抛物线C1上位于第一象限内的点，|PF|=4，P（2，4），
P（2，4）到双曲线的一条渐近线bx﹣ay=0的距离为2，
可得：=2，可得：4b=3a，
即：16c2﹣16a2=9a2，
∴=．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.）
16．（12分）今年我国许多省市雾霾频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市学校征召100名教师做义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组，现把该组的成员按年龄分成5组：第一组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45），得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法选出6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各选出多少名志愿者？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机选2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有1名志愿者被选中的概率．
【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得，
第3，4，5组的人数分别为：100×0.04×5=20，…（1分）
100×0.06×5=30，…（2分）
100×0.02×5=10，…（3分）
故第3，4，5组共有60名志愿者．
所以，从第3，4，5组中用分层抽样的方法选出6名志愿者参加某社区的宣传活动，
各组应选出的人数分别为：，…（4分）
，…（5分）
．…（6分）
（Ⅱ）记第3组2名志愿者为a，b；第4组3名志愿者为c，d，e；
第5组1名志愿者为f．
则从这6人中随机选2人，所构成的基本事件有：
{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，f}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，
{b，f}，{c，d}，{c，e}，{c，f}，{d，e}，{d，f}，{e，f}，共15个．…（9分）
设“从6名志愿者人随机选2名，第4组至少有1名志愿者被选中”为事件A．则事件A包含的基本事件有：
{a，c}，{a，d}，{a，e}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{c，d}，
{c，e}，{c，f}，{d，e}，{d，f}，{e，f}，共12个．…（11分）
所以．…（12分）
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
，b=3．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若，求△ABC的面积．
【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）因为A+B+C=π，
所以A+B=π﹣C，…（1分）
所以sin（A+B）=sinC，…（2分）
由正弦定理得：，…（3分）
整理得a2+c2﹣b2=ac，…（4分）
由余弦定理得：．…（5分）
又B∈（0，π），
所以．…（6分）
（Ⅱ）因为，且A∈（0，π），
所以sinA==，…７分
由正弦定理可得：=，
解得a=2．…（8分）
又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB…（9分）
==．…（10分）
所以△ABC的面积=…（11分）
=．…（12分）
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD=AP，CD=2AB，CD⊥平面APD，AB∥CD，E为PD的中点．
（Ⅰ）求证：AE∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：平面PBC⊥平面PCD．
【解答】证明：（Ⅰ）取PC的中点F，连接EF，BF，…（1分）
因为E，F分别是PD，PC的中点，所以EF∥CD，且．…（2分）又AB∥CD，，
所以EF∥AB，且EF=AB，…（3分）
即四边形ABFE为平行四边形，…（4分）
所以AE∥BF．…（5分）
因为BF?平面PBC，且AE?平面PBC，…（6分）
所以AE∥平面PBC．…（7分）
（Ⅱ）因为CD⊥平面APD，AE?平面APD，所以CD⊥AE，…（8分）
因为AD=AP，E为PD的中点，
所以AE⊥PD．…（9分）
又PD∩CD=D，
所以AE⊥平面PCD，…（10分）
由（Ⅰ）知，BF∥AE，
所以BF⊥平面PCD，…（11分）
又BF?平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PCD．…（12分）
19．（12分）已知数列{a n}的前n项和．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和T n．
【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=1；…（1分）
当n≥2时，，…（2分）
因为a1=1也适合上式，…（3分）
所以数列{a n}的通项公式为．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
所以=．…（6分）
则T n=b1+b2+…+b n=
==（或．…（12分）20．（13分）已知椭圆的短轴长为2，离心率为，
抛物线G：y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆E的右焦点重合，若斜率为k的直线l过抛物线G的焦点F与椭圆E相交于A，B两点，与抛物线G相交于C，D两点．
（Ⅰ）求椭圆E及抛物线G的方程；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得为常数？若存在，求出λ的值，若不存
在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，设F（c，0），则得，…（1分）
解得．…（3分）
所以椭圆E的方程为，…（4分）
由题意得，所以p=4．
故抛物线G的方程为y2=8x．…（5分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
由题意，直线l的方程为y=k（x﹣2）（k≠0），由消去y，整理得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0，…（6分）
．…（7分）
．…（8分）
由消去y，整理得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，…（9分）
，
则，
由抛物线定义得，…（10分）
所以，…（11分）
要使为常数，则须有，
解得．…（12分）
所以存在，使为常数．…（13分）
21．（14分）已知函数．
（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞0时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）当a=1时，若对于任意的x1，x2∈[1，4]，都有
成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
（Ⅰ）当a=0时，，．…（1分）
当时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间上单调递增；…（2分）
当时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间上单调递减；…（3分）所以，当时，函数f（x）取得极大值为；不存在极小值．…
（4分）
（Ⅱ）当a＞0时，=．…
（5分）
由f'（x）=0，得或．…（6分）
①当，即a＞2时，由f'（x）＞0，得或；
由f'（x）＜0，得，
所以函数f（x）在区间，上单调递增，在区间
上单调递减；…（7分）
②当，即a=2时，f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；…（8分）
③当，即0＜a＜2时，由f'（x）＞0，得或；由f'（x）＜0，
得，
所以函数f（x）在区间，上单调递增，在区间
上单调递减．…（9分）
综上所述，当a＞2时，函数f（x）在区间，上单调递增，
在区间上单调递减；
当a=2时，函数函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
当0＜a＜2时，函数f（x）在区间，上单调递增，
在区间上单调递减．…（10分）
（Ⅲ）当a=1时，由（Ⅱ）知，函数f（x）在区间[1，4]上是增函数，
所以，…（11分）
因为对于任意的x1，x2∈[1，4]，都有成立，
所以恒成立，…（12分）
解得m＜3，…（13分）
故m的取值范围为（﹣∞，3）．…（14分）。