6.7刘焕宇旋转讲义(含答案)

(一)旋转的基本概念
1.旋转的定义：
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。

这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。

(注:旋转不改变图形的形状和大小)。

旋转“四要素”:一个图形、一个定点、一个方向、一个角度.
2. 旋转的性质：“三特点”
(1)对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；
(2)对应点到旋转中心的距离相等；
(3)旋转不改变图形的形状和大小。

3. 旋转图形的形成描述：“五说明”
基本图形、旋转中心、方向、次数、旋转角.
这个图案可以看成是绕点按时针方向旋转次，分别旋转前后的所有图形共同组成的。

(二)中心对称
1.中心对称的定义:把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称．这个点叫做对称中心．
这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点．
*中心对称与一般的旋转的联系和区别:
联系：中心对称和一般的旋转都是绕着某一点进行旋转；区别：中心对称的旋转角度都是180°，一般的旋转的旋转角度不固定，中心对称是特殊的旋转．
2.中心对称的性质:（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；（2）中心对称的两个图形是全等图形．
(三)中心对称图形
1.中心对称图形的定义:如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．例: 线段、平行四边形是中心对称图形．2．区分中心对称和中心对称图形的概念
3.两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x,y ）关于原点O 的对称点P /（-x,-y ）．
(1)把点 P 绕原点顺时针旋转 90°，得到点 P ′，这两点的坐标之间有什么关系？ 设点 P 的坐标是（a ，b ），那它旋转后就应该是（b ，-a ）. a 变成纵坐标，符号变；b 变成横坐标，符号不变． (2) 把点 P 绕原点逆时针旋转 90°，得到点 P ′，这两点的坐标之间有什么关系？
设点 P 的坐标是（a ，b ），那它旋转后就应该是（-b ，a ） a 变成纵坐标，符号不变； b 变成横坐标，符号变． （四）旋转变换的应用 1.旋转的性质
2.常见的几种基本旋转图形
3.辅助线的添加方法
AB=AC AC=BC, 90ACB ∠= AB=BC=AC AB=BC=CD=DA, 90C ∠=
AB=BD=DE=AE, AC=CG=GF=AF AB=AD=BD,AC=CE=AE
正方形ABCD, 45EAF ∠=, 则EF=DE+BF
若AB=AC,90BAC ∠=, 45DAE ∠=,
则BD EC DE +>或222BD EC DE += 若12EAD BAC ∠=∠,
AB=AC,则
则ED BD EC >+
若12EAF BAD ∠=∠,
AB=AD,则
则180B D ︒
∠+∠=,则
EF BE DF =+
（1）图形中出现等边三角形、等腰三角形和正方形，通常旋转60度或90度 （2）图形中有线段中点，通常旋转180度
（3）图形中出现有公共端点且相等的线段，通常旋转夹角的度数。

（4）共端点或共线的三条线段转化到同一个三角形，通常考虑旋转。

1. 如图1，P 是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB 的度数。

解：如图，∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC ，∠BAC=60°，
把△APC 绕点A 逆时针旋转60°得到△AP ′B ，
由旋转的性质，AP ′=AP ，P ′B=PC=10，∠PAP ′=60°， ∴△APP ′是等边三角形，
∴∠APP ′=60°，PP ′=PA=6， ∵PP ′2+PB2=62+82=100=P ′B2，
∴△BPP ′是直角三角形，∠BPP ′=90°，
∴∠APB=∠APP ′+∠BPP ′=60°+90°=150°， 故∠APB 的度数是150°．
2. 如图P 是正方形ABCD 内一点，点P 到正方形的三个顶点A 、B 、C 的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。

求此正方形ABCD 面积。

A
B C
D
P
解：
3.设点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上滑动且保持∠EAF=450， A P ⊥EF 于点P
A
A F
P P B B
C C
（1） 求证：AP=AB ，（2）若AB=5，求ΔECF 的周长。

解：（1）延长CB 到F ′，使BF ′=DF ，
在正方形ABCD 中，AB=AD ，∠ABC=∠D=90°， ∴∠ABF ′=180°﹣∠ABC=90°=∠D ， ∴△ABF ′≌△ADF （SAS ）， ∴AF ′=AF ，∠1=∠2，
∴∠EAF ′=∠1+∠3=∠2+∠3=90°﹣∠EAF=45°=∠EAF ， 又∵EA=EA ，
∴△EAF ′≌△EAF （SAS ）， ∴EF ′=EF ，S △AEF'=S △ABF ， 而EF ·AB=EF ·AP ， ∴AB=AP ；
（2）C △CEF=EC+CF+EF=EC+CF+EF ′ =EC+BE+CF+BF ′ =BC+CF+DF =BC+CD=2AB =10。

4.如图，正方形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 边上一点． （1）若∠EAF=45º．求证：EF=BE+DF ．
（2）若⊿AEF 绕A 点旋转，保持∠EAF=45º，问⊿CEF 的周长是否随⊿AEF 位置的变化而变化？
（3）已知正方形ABCD 的边长为1，如果⊿CEF 的周长为2．求∠EAF 的度数．
5．如图，等腰直角△ABC 中，∠ABC=90°，点D 在AC 上，将△ABD 绕顶点B 沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE. ⑴求∠DCE 的度数；
⑵当AB=4，AD ∶DC=1∶3时，求DE 的长.
F E D C B
A
解：（1）∵△CBE 是由△ABD 旋转得到的， ∴△ABD ≌△CBE ， ∴∠A=∠BCE=45°，
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=90° （2）在等腰直角三角形ABC 中，∵AB=4，∴AC=4 又∵AD ︰DC=1︰3， ∴AD=，DC=3
由（1）知AD=CE 且∠DCE=90°, ∴DE2=DC2+CE2=2+18=20，∴DE=2
6. (1)如图①所示，P 是等边△ABC 内的一点，连结P A 、PB 、PC ，将△BAP 绕B 点顺时针
旋转60°得△BCQ ,连结PQ ．若P A 2
+PB 2
=PC 2
，证明∠PQC =90°．
(2) 如图②所示，P 是等腰直角△ABC （∠ABC =90°）内的一点，连结P A 、PB 、PC ，将△BAP 绕B 点顺时针旋转90°得△BCQ ,连结PQ ．当P A 、PB 、PC 满足什么条件时，∠PQC =90°？请说明理由.
（1）证明：由旋转的性质知：BP=BQ 、PA=QC ，∠ABP=∠CBQ ； ∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=60°，即∠CBP+∠ABP=60°； ∵∠ABP=∠CBQ ，
∴∠CBP+∠CBQ=60°，即∠PBQ=60°； 又∵BP=BQ ，∴△BPQ 是等边三角形； ∴BP=PQ ；
∵PA2+PB2=PC2，即PQ2+QC2=PC2； ∴△PQC 是直角三角形，且∠PQC=90°； （2）PA2+2PB2=PC2；理由如下：
同（1）可得：△PBQ 是等腰直角三角形，则PQ= 2 PB ，即PQ2=2PB2；
由旋转的性质知：PA=QC ；
在△PQC 中，若∠PQC=90°，则PQ2+QC2=PC2，即PA2+2PB2=PC2； 故当PA2+2PB2=PC2时，∠PQC=90°． 7.阅读下面材料，并解决问题：
(1)如图，等边△ABC 内有一点P 若点P 到顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5则∠APB=__________，由于PA ，PB 不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP 绕顶
Q
C
P A
B
图① A
B
C
P
Q 图②
点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌__________这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数．
(2)请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图(11)，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2．
8.（1）如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E在BC上，∠DAE=45°，为了探究BD、DE、CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD、DE、CE之间的等量关系式
是．
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，D、E在BC上，∠DAE=60°、∠ADE=45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD、DE、CE之间的等量关系，并证明你的结论．
解：（1）线段BD、DE、CE之间的等量关系式是：BD2+CE2=DE2；
理由：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABD=∠ACE=45°，由旋转的性质可知，△AEC≌△AFB，
∴∠ABF=∠ACE=45°，FB=CE
∴∠FBD=∠ABF+∠ABD=90°旋转角∠FAE=90°，又∠DAE=45°，
故∠FAD=∠FAE-∠DAE=45°，
易证△AFD≌△AED，故FD=DE，
在Rt△FBD中，由勾股定理得：BD2+BF2=DF2；
即：BD2+CE2=DE2．
（2）仿照（1）可证，△AEC≌△AFB，
故BF=CE，△AFD≌△AED，故FD=DE，
∵∠ADE=45°，
∴∠ADF=45°，故∠BDF=90°，
在Rt△BDF中，由勾股定理，得BF2=BD2+DF2，
∴CE2=BD2+DE2．
9.操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：
（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．
解：（1）由图①可猜想PD=PE，再在图②中构造全等三角形来说明．即PD=PE．
理由如下：
连接PC，因为△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP= ∠ACB=45°．
∴∠ACP=∠B=45°．
又∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE，
∴∠DPC=∠BPE．
∴△PCD≌△PBE．
∴PD=PE．
（2）△PBE是等腰三角形，
①当PE=PB时，此时点C与点E重合，CE=0；
②当PB=BE时，1）E在线段BC上，，2）E在CB的延长线上，；
③当PE=BE 时，CE=1．
10.把两个三角形按如图1放置，其中90ACB DEC ==︒∠∠，45A =︒∠，30D =︒∠，且6AB =，7DC =．把△DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1，如图2，这时AB 与CD 1相交于点O ，与D 1E 1相交于点F ． （1）求1ACD ∠的度数；
（2）求线段AD 1的长；
（3）若把△D 1CE 1绕点C 顺时针再旋转30°得到△D 2CE 2，这时点B 在△D 2CE 2的内部、外部、还是边上？请说明理由．
11．如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中, ∠BDE=∠ACB=90°,且BE在AB边上,取AE
B D A
F
E G
C
的中点F,CD 的中点G,连结GF.
（1）FG 与DC 的位置关系是 ,FG 与DC 的数量关系是 ；
（2）若将△BDE 绕B 点逆时针旋转180°，其它条件不变,请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立? 请证明你的结论.
解：（1）FG ⊥CD ，FG=
2
1
CD. （2）延长ED 交AC 的延长线于M ，连接FC 、FD 、FM.∴四边形 BCMD 是矩形. ∴CM=BD. 又△ABC 和△BDE 都是等腰直角三角形.∴ED=BD=CM.∵∠E=∠A=45º∴△AEM 是等腰直角三角形.又F 是AE 的中点.∴MF ⊥AE ，EF=MF ，∠E=∠FMC=45º.∴△EFD ≌△MFC.∴FD=FC ，∠EFD=∠MFC.又∠EFD ＋∠DFM=90º∴∠MFC ＋∠DFM=90º即△CDF 是等腰直角三角形.又G 是CD 的中点.∴FG=
2
1
CD ，FG ⊥CD. 12.如图①，△ABC 是正三角形，△BDC 是顶角∠BDC ＝120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 边于M 、N 两点，连接MN ．
（1）探究：线段BM 、MN 、NC 之间的关系，并加以证明．
（2）若点M 、N 分别是射线AB 、CA 上的点，其它条件不变，再探线段BM 、MN 、NC 之间的关系，在图②中画出图形，并说明理由．
图②
（1）解：BM ＋CN ＝MN
证明：如图，延长AC 至M 1，使CM 1＝BM ，连结DM 1 由已知条件知：∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∠DBC ＝∠DCB ＝30°∴∠ABD ＝∠ACD ＝90° ∵BD ＝CD
∴Rt △BDM ≌Rt △CDM 1 ∴∠MDB ＝∠M 1DC DM ＝DM 1
B
A
C
∴∠MDM 1＝（120°－∠MDB ）＋∠M 1DC ＝120° 又∵∠MDN ＝60°
∴∠M 1DN ＝∠MDN ＝60° ∴△MDN ≌△M 1DN ∴MN ＝NM 1＝NC ＋CM 1＝NC ＋MB （2） CN －BM ＝MN
证明：如图，在CN 上截取，使CM 1＝BM ，连结DM 1 ∵∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∠DBC ＝∠DCB ＝30°∴∠DBM ＝∠DCM 1＝90°∵BD ＝CD ∴Rt △BDM ≌Rt △CDM 1
∴∠MDB ＝∠M 1DC DM ＝DM 1 ∵∠BDM ＋∠BDN ＝60°∴∠CDM 1＋∠BDN ＝60°∴∠NDM 1＝∠BDC －（∠M 1DC ＋∠BDN ）＝120°－60°＝60°
∴∠M 1DN ＝∠MDN ∵AD ＝AD ∴△MDN ≌△M 1DN ∴MN ＝NM 1＝NC －CM 1＝NC －MB
13.已知：PA=
2，PB=4，以AB 为一边作正方向ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的
两侧，
（1）如图，当=45APB ︒
∠时，求AB 及PD 的长；
（2）当APB ∠变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应APB ∠的大小。

第26题
M 1
N
M
D C
B
A
附加题
A
B C
D
M
N
M 1
14.在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；
（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．
15.问题：如图（1）在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一直线上，P是线段
的值，DF的中点，连接PG，PC，若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及PG
PC
小聪同学的思路是延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
的值．
（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及PG
PC
（2）将图（1）中的菱形BEFG恰好与菱形ABCD的边AB在同一直线上，原问题中的其
它条件不变（如图（2））你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想，并加以证明．
16.如图，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．说明：
（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明
①DM的延长线交CE于点N，且AD=NE；
②将正方形CGEF6绕点C逆时针旋转45°（如图），其他条件不变；
③在②的条件下，且CF=2AD．
附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图），其他条件不变．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．
成长足迹
课后检测
学习（课程）顾问签字：负责人签字：教学主管签字：主管签字时间：。