重庆市南开中学2020届高三数学上学期第一次教学质量检测考试试题理(含解析)

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【答案】 lg x 1
【解析】 【分析】 根据图像上的点关于点对称其坐标的关系得解.
【详解】设 y f x 上任意一点 P x, y ，点 P 关于点 1, 0 对称的点 Q m, n 则
m 2 x n y
且在函数 y lg 1 x 的图像上，
B. 若 x2 y2 0 ，则 x 0 或 y 0
C. 若 x2 y2 0 ，则 x 0 ， y 0
D. 若 x2 y2 0 ，则 x 0 或 y 0
【答案】D 【解析】 【分析】 根据否命题是对命题的条件和结论均要否定求得. 【详解】否命题是对命题的条件和结论均要否定，故选 D. 【点睛】本题注意区分“否命题”和“命题的否定”，属于基础题.
【点睛】本题考查一元二次不等式的解集、指数函数的值域和集合的交集运算，属于基础题.
2.已知复数 z 满足 z i 1 i 2i ，则 z （）
A. 1 2i
B. 1 2i
C. 1 2i
【答案】B
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算和复数的共轭复数的概念求得.
D. 1 2i
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【详解】由黎曼函数的定义可知
R
x
的值域为
0,
1 2
,
1 3
,,
1 p
,
（其中
p
是大于或等于
2
的自然数），故①错误；
方程 R x x 的解有：1, 1 , 1 , 1 ,, 1 ,
234 p
，（其中 p 是大于或等于 2 的自然数），故②正确；
对于任何的自然数 p 2 ，根据 f x f 1 x ，所以 R x 的图像关于直线 x 1 对称，故
4.关于函数 y f x 与 y f ln x ，下列说法一定正确的是（）
A. 定义域相同
B. 值域相同
C. 单调区间相同
D. 奇偶性相
同
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的定义域、值域、单调性和奇偶性的判断解得.
【详解】对于 A 答案： y f x 的定义域是 R，而 y f ln x 的定义域是 0, ，故 A 错
又因为在 , 0 上单调递减，在 A, C, D 选项中，只有 D 选项符合，
故选 D.
【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.
6.已知函数
f
x
1 2
x
,
f
x
x
2,
0 x
0
，则
f
log
2
1 5
（）
5
5
5
A.
B.
C.
D. 5
16
4
2
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值.
且在 2,0 2, 时 g x 0 ，在 2, 0, 2 时 g x 0 ，
又因为 x2 0 ，
所以在 2,0 2, 时 f x 0 ，在 2, 0, 2 时 f x 0 解不等式 x 1 f x 0 中， 当 x 1 时， f x 0 ，所以其解集为 1, 2 ； 当 x 1时， f x 0 ，所以其解集为 2, 0 .
24 4
故选 A.
【点睛】本题考查抽象函数的求值，考查函数的周期性，属于中档题.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.曲线 f x x2 ln x 1 在点 0, f 0 处的切线方程为______.
【答案】 x y 0
【解析】 【分析】 先根据导函数求值得切线的斜率，再用点斜式方程得切线方程.
3
又因为 t ax2 2x 8 在 2, 4 上 t 0, 且在 ,1 上单调递增，在 1, 上单调递减，
根据复合函数的单调性得 C 选项正确. 故选 C. 【点睛】本题考查对数函数的值域和单调性，属于中档题.
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10.下图可能是下列哪个函数的图像（）
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重庆市南开中学 2020 届高三数学上学期第一次教学质量检测考试试
题 理（含解析）
注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是符合题目要求的。
误；
对于 C 答案： y f ln x 是复合函数，其单调需遵循“在定义域上，同增异减”的原则，故
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C 错误；
对于 D 答案： y f ln x 的定义域是 0, 的子集，故 y f ln x 不具有奇偶性,故 D 错
误；
因为 y ln x 的值域是 R ，故 B 正确.
q p
为既约真分数
，则以下说法：①
R
x
的值域为
0,当x 0或1或0,1内的无理数
0,1 ；②方程 R x x 有无穷多个解；③ R x 的图像关于直线 x 1 对称；其中正确的个
2
数为（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数的定义判断选项，可以选取特殊的值验证求解.
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【详解】 log2
1 5
0,
f
log
2
1 5
f
log
2
1 5
2
f
log
2
4 5 ，
log2
4 5
0,
f
log
2
4 5
f
log
2
4 5
2
f
log
2
16 5
，
log2
16 5
0,
f
log2
16 5
1 2
所以 y lg 1 2 x ，即 y lg x 1 ，
故得解.
【点睛】本题考查根据图像的对称性求解析式的问题，属于中档题.
15.若关于 x 的方程 4x a 2x1 2 0 有两个不等正实根，则实数 a 的取值范围是______. 【答案】 2 a 3
2
【解析】 【分析】
令 t 2x＞1 ，即方程 t2 2at 2 0 有两个大于 1 的不等正实根. 【详解】令 t 2x＞1 ，即方程 t2 2at 2 0 有两个大于 1 的不等正实根，
A. y x2 x 2
x 1 C. y x2 ln x 1
B.
y
x
ln
x 2
x 1
D. y tan x ln x 1
【答案】C 【解析】 【分析】 可考虑用排除法，从函数的定义域和特殊点的函数的正负着手.
【详解】由图像可知，
y
tan
x
ln
x
1
在
0，
2
上单调递增，故可排除
D；
当 x 1 时，A、 B 选项中的 y 0, C 选项中的 y 0, 3
2
③正确；
故选 C.
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【点睛】本题考查新定义函数，思考时牢牢抓住函数的定义，属于中档题.
8.设 a 0.20.3 ， b log0.3 0.2 ， c 0.40.2 ，则（）
A. a b c bac
B. a c b
C. c a b
【详解】当 x 0 时，由
f
'x
2 x
f
x得
f
' x
2 x
f
x 0 ，即
xf
'x2 f
x
x
0，
所以
x2
f
' x 2xf
x4
x
0 ，即
f x '
x2
0，
所以令 g x
f x ，则 g x 在 0, 上单调递增，且 g 2 0 ，
x2
又因为 f x 上奇函数，所以 g x 也是奇函数，
3
A. , 2
B. 2,1
C. 1, 4
D. 4,
【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数的值域得真数的最大值，从而求出参数的值，再根据复合函数的单调性的判断求解.
பைடு நூலகம்
【详解】由已知得令 t ax2 2x 8 的最大值是 9 ，所以解得 a 1，
所以 f x log1 x2 2x 8 ，
【详解】由已知得 f ' x 2x 1 ，所以 f ' 0 1，
x 1
又因为 f 0 0 ，
所以在点 0, f 0 处的切线方程为 y 0 1 x 0 ，
即 x y 0 ，故得解.
【点睛】本题考查根据导函数求切线方程，属于基础题.
14.已知函数 y f x 与函数 y lg 1 x 的图像关于点 1, 0 对称，则 f x ______.
故选 C.
【点睛】本题考查函数的定义域和特殊点的函数值辨别图像，属于基础题.
11.已知 f ' x 是奇函数 f x x R 的导函数， f 2 0 ，当 x 0 时， f ' x 2 f x ，
x
则不等式 x 1 f x 0 的解集为（）
A. , 2 0, 2
B. 2,0 2,
故
f
x 3
f
1
x ，即
f
x 6
f
x
所以函数的周期为 6，
由已知可得
当 x 0 时， f 2 f 0 ， f 1 f 0 f 2 ，又 f x 0 ，
所以 f 2 f 0 2 ，并且 f 3 1 , f 4 1 , f 5 1 , f 6 2 ，
2
4
2
所以 f 2019 f 2020 f 3 f 4 1 1 3 ，
【点睛】本题考查函数的的定义域、值域、单调性和奇偶性，属于基础题.
5.下列函数既是偶函数，又在 , 0 上单调递减的是（）
A.
y
1 2
x
y ln x2 1
B.
2
yx 3
C. y 1 x
D.
x
【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性和单调性求解.
【详解】由函数的奇偶性的判定方法，知 C 选项是奇函数，所以排除 C 选项，
3
A.
B. 2
4
5
C.
2
【答案】A
【解析】
【分析】
由抽象函数关系式赋值得特殊点的函数值，找出其函数值的周期规律得解.
D. 4
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【详解】因为 f x 1 f x f x 2 ，
∴ f x 2 f x 1 f x 3 ，又 f x 0
log2
16 5
21
2 5 log2
16 5
log
2
5 16
，
16
故选 A.
【点睛】本题考查分段函数和对数运算，属于基础题.
7.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用.
黎曼函数 R x 定义在0,1 上，且
Rx
1 p
,当x
q p
p, q为正整数,
1.已知集合 A x | x2 2x 3 0 ， B y | y 2x 1 ，则 A B （）
A.
B. 1,3
C. 0,3
D. 1,
【答案】B 【解析】 【分析】 根据一元二次不等式的解集和指数函数的值域求得.
【详解】由已知解得 A 1,3, B 1, ，
所以 A B 1,3，故选 B.
故得解.
【点睛】本题的关键在于构造函数分析其单调性、奇偶性和函数值的正负，从而得出 f x 的
函数值的正负的取值范围，属于难度题.
12.已知函数 f x 对 x R 满足： f x 2 f x ， f x 1 f x f x 2 ，且 f x 0 ，若 f 1 4 ，则 f 2019 f 2020 （）
C. , 2 1, 2
D. 2, 0 U 1, 2
【答案】D 【解析】 【分析】 将已知的含导函数的不等式构造成某个函数的导函数，得这个函数的单调性，再根据奇偶性
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得这个函数的大致图像趋势，并且得出其函数值的正负，从而得出 f x 的函数值的正负求解.
【详解】由已知得 z i 2i ， 1 i
所以
z
2i
1
1 i i1 i
i
1
2i
，
所以 z 1 2i. 故选 B. 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的共轭复数的概念，属于基础题.
3.命题“若 x2 y2 0 ，则 x 0 ， y 0 ”的否命题为（）
A. 若 x2 y2 0 ，则 x 0 ， y 0
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
运用中介值“1 ”，和指数的同指或同底时的大小比较得解. 【详解】b log0.3 0.2 log0.3 0.3 1 ,
a 0.20.3 0.20.2 0.40.2 1 ,b c a
故选 B.
【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，属于中档题.
9.若函数 f x log1 ax2 2x 8 的值域为 2, ，则 f x 的单调递增区间为（）