5、南京玄武区2023年数学一模卷+答案

九年级数学学情调研卷 共6页 第1页
2022～2023学年度第二学期九年级学情调研卷
数 学
注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，
答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再
将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．南京文旅火爆“出圈”．据统计，2023年第一季度南京共接待游客约44 300 000人次，将44 300 000用科学记数法表示为 A ．0.443×108 B ．4.43×106 C ．4.43×107 D ．4.43×108 2．下列运算正确的是 A ．3a 2＋2a 4＝5a 6
B ．a 2·a 3＝a 6
C ．(2a 2)3＝6a 6
D ．(－2a 3)2＝4a 6 3．下列整数中，与7最接近的是 A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
4．如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，过点A 作AC ∥PB 交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠P ＝α，则∠PBC 的度数为 A ．90°＋1
2
α
B ．90°－1
2α
C ．180°－α
D ．180°－1
2α
5．如图，数轴上A ，B 两点分别对应实数a ＋b ，a －b ，下列结论中一定正确的是 A ．a ＜b B ．1a ＜1b
C ．a 2＜b 2
．a ＜b
6．如图，点A ，B 在反比例函数y ＝k
x （x ＞0）图像上，点A 的横坐标为1，连接OA ，OB ，
AB ，若OA ＝OB ，△OAB 的面积为4，则k 的值为 A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
P
C （第4题）
a ＋b
a －b
（第5题）
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二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7．2023的相反数是▲________，－2023的倒数是▲________．
8．若式子x ＋1x －2在实数范围内有意义，则x 的取值范围是▲________．
9．分解因式ax 2－a 的结果是▲________． 10．方程x x －1＝x －1x ＋2
的解是▲________．
11．设x 1，x 2是方程x 2－3x ＋m ＝0的两个根，且x 1＋x 2－x 1x 2＝1，则m ＝▲________． 12．沿圆锥一条母线将其侧面剪开并展平，得到一个扇形．若圆锥的底面圆的半径为2 cm ，母线长为6 cm ，则该扇形的圆心角的度数为▲________°．
13．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在y 轴上，M ，N 分别是边OA ，OC 的中点，若点M ，N 的纵坐标分别是3，2，则点B 的坐标是▲________．
14．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，以AB 为边在正六边形ABCDEF 的内部作正方形ABMN ，连接OD ，ON ，则∠DON ＝▲________°．
15．已知函数y ＝2x 2－(m ＋2)x ＋m （m 为常数），当－2≤x ≤2时，y 的最小值记为a ．a 的值随m 的值变化而变化，当m ＝▲________时，a 取得最大值．
16．如图，在□ABCD 中，E 是边BC 的中点，连接AE ，若BC ＝4，∠BAE ＝30°，则对角线BD 的取值范围为▲________．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（9分）
（1）计算：||3－π－(－2)－
1＋4cos60°； （2）解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＞3(x ＋1)， 1＋2x 3≥x －1.
A
B
C
D
E
（第16题）
（第14题）
F
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18．（8分）先化简，再求值：(a －1－a ＋7a ＋2)÷a 2＋6a ＋9
a ＋2
，其中a ＝2－3．
19．（7分）小丽从A 、B 、C 、D 四个景点中，随机选择一个或两个景点游玩. （1）随机选择一个景点，恰好是A 景点的概率是▲________； （2）随机选择两个景点，求A ，B 景点至少有一个的概率. 20．（8分）某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分．将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）完成表格；
（2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由；
（3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为s 2，则s 2▲________0.56．（填“＜”或“＞”或“＝”）
丙得分的扇形统计图
40％ 60％
8分 10分 9 8 7 评委编号
6
10 甲得分的折线统计图
9 8 7 评委编号
6
10 乙得分的条形统计图
九年级数学学情调研卷 共6页 第4页
21．（7分）如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，CD ，BE 交于点P ，PD ＝PE ，∠B ＝∠C ．求证AB ＝AC .
22．（8分）如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．E 是BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，连接AE ，CF ． （1）求证：四边形AECF 是平行四边形； （2）若EF 平分∠AEC ，求证AB ⊥AC ．
23．（8分）已知函数y ＝x 2＋2mx ＋m －1（m 为常数）．
（1）若该函数图像与y 轴的交点在x 轴上方，求m 的取值范围； （2）求证：不论m 取何值，该函数图像与x 轴总有两个公共点． 24．（7分）利用无人机可以测量建筑物的高度．如图，一架无人机在M 处悬停，测得建筑物AB 顶端A 的仰角为42°，底端B 的俯角为12.7°．然后，在同一平面内，该无人机以5 m/s 的速度沿着与水平线夹角为37°方向斜向上匀速飞行，飞行4 s 至N 处悬停，测得顶端A 的仰角为32°，求建筑物AB 的高度．（参考数据：tan42°≈0.9，tan12.7°≈0.225，tan32°≈0.625，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
A B
C
D E F O
（第22题）
A B D E P
（第21题）
12.7° A B
M
N
42° 37°
32°
（第24题）
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25．（8分）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，过点A 作AE ∥BC 交CD 的延长线于点E ，AE ＝AB ，AD ＝ED ，连接BD ． （1）求证AD ＝BD ；
（2）若CD ＝1，DE ＝3，求⊙O 的半径．
26．（8分）如图①，古代行军中传令兵负责传送命令．如图②，一支长度为600 m 的队伍AB ，排尾A 处的传令兵从甲地和队伍AB 沿同一直道同时出发．队伍AB 以v 1 m/min 的速度行进，且队伍长度保持不变；出发时，传令兵接到命令，立即以v 2 m/min 的速度赶赴排头B ，到达排头B 后立即返回排尾A ，再次接到命令，立即赶赴排头B ……如此循环往复，且传令兵往返速度保持不变．行进过程中，传令兵离甲地的距离y 1（单位：m ）与出发时间x （单位：min ）之间的函数关系部分图像如图③所示． （1）v 1＝▲________ m/min ，v 2＝▲________ m/min ； （2）求线段MN 所表示的y 1与x 之间的函数表达式；
（3）在图③中，画出排头B 离甲地的距离y 2（单位：m ）与出发时间x 之间的函数图像．
C
E （第25题）
min
九年级数学学情调研卷 共6页 第6页
A
B
C
P
②
27．（10分）P 为△ABC 内一点，连接P A ，PB ，PC ，在△P AB 、△PBC 和△P AC 中，如果存在两个三角形相似，那么称P 是△ABC 的内相似点． 【概念理解】
（1）如图①，在△ABC 中，∠A ＝70°，∠B ＝60°，P 是△ABC 的内相似点．直接写出∠BPC 的度数．
【深入思考】
（2）如图②，P 是△ABC 内一点，连接P A ，PB ，PC ，∠BPC ＝2∠BAC ，从下面①②③中选择一个作为条件，使P 是△ABC 的内相似点，并给出证明． ①∠BAP ＝∠ACP ； ②∠APB ＝∠APC ； ③AP 2＝BP ·CP ．
【拓展延伸】
（3）如图③，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＞∠C ．求作一点P ，使P 是△ABC 的内相似点．要求：①尺规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
A
B
C
③
A
B
①
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2022～2023学年度第二学期九年级学情调研卷
数学参考答案及评分标准 说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．－2023，－12023 8．x ≠2 9．a (x －1)(x ＋1) 10．x ＝1
4
11．2
12．120 13．(25，10) 14．105 15．2 16．27－2≤BD ≤27＋2
三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（本题9分）
（1）解：原式＝π－3－(－12)＋4×1
2 3分 ＝π－1
2． 4分
（2）解：由①得：x ＞2， 由②得：x ≤4， 4分 ∴该不等式组的解集为2＜x ≤4． 5分 18．（本题8分） 解：原式＝⎝
⎛⎭⎪⎫(a －1)(a ＋2) a ＋2
－a ＋7 a ＋2·a ＋2
(a ＋3)2 ＝(a －3)(a ＋3)a ＋2·a ＋2
(a ＋3)2 4分
＝a －3 a ＋3
． 6分 当a ＝2－3时，原式＝2－3－3 2－3＋3＝2－6
2＝1－32． 8分
19．（本题7分）
（1）1
4； 2分
（2）根据题意列出所有可能出现的结果有：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（B ，C ），（B ，D ），（C ，D ），共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“随机选择两个景点，A ，B 景点至少有一个”（记为事件A ）的结果有5种，即（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（B ，C ），（B ，D ）．
所以P (A )＝5
6
． 7分
九年级数学学情调研卷 共6页 第8页
20．（本题8分）
解：（1）9，0.96，8.8； 3分 （2）选甲更合适．因为甲、乙、丙三人平均成绩一样，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲； 6分 （3）＜． 8分 21．（本题7分）
证明：在△PBD 和△PCE 中，
∠B ＝∠C ，∠DPB ＝∠EPC ，PD ＝PE ． ∴ △PBD ≌△PCE （AAS ）． 3分
∴ PB ＝PC ．
∴ PB ＋PE ＝PC ＋PD ，
即BE ＝CD ． 在△ABE 和△ACD 中， ∠B ＝∠C ，∠A ＝∠A ，BE ＝CD ，
∴ △ABE ≌△ACD （AAS ）． 6分 ∴ AB ＝AC ． 7分 另解：连接BC ， 在△PBD 和△PCE 中，
∠DBP ＝∠ECP ，∠DPB ＝∠EPC ，PD ＝PE ．
∴ △PBD ≌△PCE （AAS ） 3分 ∴ PB ＝PC ．
∴ ∠PBC ＝∠PCB ． ∴ ∠PBC ＋∠DBP ＝∠PCB ＋∠ECP ．
即∠ABC ＝∠ACB ． 6分 ∴AB ＝AC ． 7分 22．（本题8分）
（1）证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AO ＝CO ，AD ∥BC ． ∴ ∠F AO ＝∠ECO ， 在△AOF 和△COE 中，
∠F AO ＝∠ECO ，AO ＝CO ，∠AOF ＝∠COE ． ∴ △AOF ≌△COE ． 2分
∴ EO ＝FO ．
∵ AO ＝CO ，EO ＝FO ．
∴ 四边形AECF 是平行四边形． 4分 （另解：△AOF ≌△COE ，得AF ＝CE ，又AF ∥BC ，四边形AECF 是平行四边形．或者由AB ∥EF ，AF ∥EC 得四边形ABEF 是平行四边形）
A
B
C
D
E
P
A
B
C
D
E
F
O
九年级数学学情调研卷 共6页 第9页
（2）证明：∵ EF 平分∠AEC ，
∴ ∠AEF ＝∠CEF ． ∵ AD ∥BC ， ∴ ∠AFE ＝∠CEF ，
∴ ∠AFE ＝∠AEF ， ∴ AE ＝AF ．
∴ □AECF 是菱形． 6分 ∴ AC ⊥EF ． ∴ ∠COE ＝90°．
∵ E 是BC 的中点，O 是AC 的中点， ∴ OE 是△ABC 的中位线， ∴ OE ∥AB ， ∴ ∠COE ＝∠CAB ， ∴ ∠CAB ＝90°，
∴ AB ⊥AC ． 8分 （另解：可证得EA ＝AF ＝EC ＝EB ，再利用等边对等角以及三角形内角和180°，得到∠CAB ＝90°，从而AB ⊥AC ．） 23．（本题8分）
（1）令x ＝0，则y ＝m －1． 1分 ∵ 函数的图像与y 轴的交点在x 轴上方，
∴ m －1＞0， 2分 ∴ m ＞1； 3分 （2）令y ＝0，则x 2＋2mx ＋m －1＝0． 4分 ∵ a ＝1，b ＝2m ，c ＝m －1，
∴ b 2－4ac ＝(2m )2－4(m －1)＝4m 2－4m ＋4＝(2m －1)2＋3． 6分 ∵ (2m －1)2≥0，
∴ (2m －1)2＋3＞0． 7分 ∴ 该方程有两个不相等的实数根． ∴ 不论m 为何值，该函数图像与x 轴有两个不同的公共点． 8分 24．（本题7分）
解：如图，过点N 作NC ⊥MC ，垂足为C ，过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ，过点N 作NE ⊥AB ，垂足为E ，可知∠MCN ＝∠AEN ＝∠ADM ＝90°，可得四边形EDCN 是矩形，从而DE ＝NC ，EN ＝DC ．
在Rt △CMN 中，∠NMC ＝37°，MN ＝5×4＝20， ∵ sin37°＝CN MN ，cos37°＝MC
MN
，
∴ CN ＝20sin37°＝12，CM ＝20cos37°＝16． 设DM ＝x ，则EN ＝x ＋16， 在Rt △ADM 中，∠AMD ＝42°，
∵ tan42°＝AD MD ，∴ AD ＝MD tan42°＝0.9x ． 12.7°
A
M
N 42°
37°
32°
C
D
E
九年级数学学情调研卷 共6页 第10页
在Rt △AEN 中，∠ANE ＝32°，
∵ tan32°＝AE EN ，∴ AE ＝EN tan32°＝0.625(x ＋16)．
又 AD ＝AE ＋ED ，∴ 0.9x ＝0.625(x ＋16)＋12， ∴ x ＝80． ∴ AD ＝0.9x ＝72．
在Rt △MDB 中，∠BMD ＝12.7°，DM ＝80，
∴ tan12.7°＝BD
MD ，∴ BD ＝MD tan12.7°＝80×0.225＝18．
∵ AB ＝AD ＋BD ，∴ AB ＝72＋18＝90．
因此，建筑物高度AB 的高是90 m ． 7分 25.（本题8分） 解：（1）∵ AE ∥BC ， ∴ ∠E ＋∠C ＝180°．
∵ 四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∴ ∠C ＋∠BAD ＝180°． ∴ ∠BAD ＝∠E ． ∵ AD ＝DE ，
∴ ∠DAE ＝∠E ＝∠BAD ． 在△BAD 和△EAD 中 ⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝AE ∠BAD ＝∠EAD AD ＝AD
∴ △BAD ≌△EAD (SAS)． ∴ BD ＝DE ∴ AD ＝BD ．
4分
（2）连接AC ，OA ，OB ，连接DO 并延长交AB 于点H . ∵ △BAD ≌△EAD ， ∴ ∠ABD ＝∠E ＝∠DAE ． ∵ ∠ABD ＝∠ACD ， ∴ ∠DAE ＝∠ACD ． 在△ADE 和△CAE 中， ∠E ＝∠E ，∠DAE ＝∠ACD ，
∴ △ADE ∽△CAE .
C
E
E
九年级数学学情调研卷 共6页 第11页
∴ DE AE ＝AE CE ， ∴
3 AE ＝AE 4
， ∴ AE ＝23， ∴ AB ＝2 3. ∵ OA ＝OB ，DA ＝DB ，
∴ D 、O 在线段AB 的垂直平分线上. ∴ DO ⊥AB 且AH ＝BH ＝1
2AB ＝ 3.
在Rt △AHD 中，∠AHD ＝90°， ∵ AD ＝DE ＝3，
∴ HD ＝AD 2－AH 2＝9－3＝ 6. 设半径为r ，则OH ＝6－r . 在Rt △OHA 中，∠OHA ＝90°， ∵ OH 2＋AH 2＝OA 2， ∴ (6－r )2＋3＝r 2．解得r ＝
36
4
. ∴⊙O 的半径为36
4
． 8分
26．（本题8分） 解：（1）75；125 2分 （2）根据题意M （12，1500），设线段MN 表示的y 1与x 之间的函数表达式为 y 1＝－125x ＋b ，将M （12，1500）代入y 1＝－125x ＋b 得b ＝3000.
∴线段MN 表示的y 与x 之间的函数表达式为y 1＝－125x ＋3000. 6分 （另解：根据题意，求出点N （15，1125），利用待定系数法求解.） （3）y 2与x 之间的函数图像如图所示．
8分 27．（本题10分） （1）120°，130°，140°. 3分
y
九年级数学学情调研卷 共6页 第
12页 （2）选择①∠BAP ＝∠ACP
证明：如图②，作AP 的延长线AD ．
∵ ∠BPD ＝∠BAP ＋∠ABP ，∠CPD ＝∠CAP ＋∠ACP ，
∴∠BPD ＋∠CPD ＝∠BAP ＋∠ABP ＋∠CAP ＋∠ACP . ∴∠BPC ＝∠BAC ＋∠ABP ＋∠ACP . 又 ∠BPC ＝2∠BAC ，
∴ ∠BAC ＝∠ABP ＋∠ACP . 又 ∠BAC ＝∠BAP ＋∠CAP ，∠BAP ＝∠ACP ， ∴∠ABP ＝∠CAP . 又 ∠BAP ＝∠ACP ， ∴△ABP ∽△CAP ，即P 是△ABC 的内相似点.
选择②∠APB ＝∠APC
证明：如图②，作AP 的延长线AD ． ∵ ∠APB ＝∠APC ， ∴180°－∠APB ＝180°－∠APC ，即∠BPD ＝∠CPD . ∵ ∠BPD ＋∠CPD ＝∠BPC ，
∴∠BPC ＝2∠BPD ． 又∠BPC ＝2∠BAC ，
∴∠BPD ＝∠BAC ．
∵ ∠BPD ＝∠BAP ＋∠ABP ，∠BAC ＝∠BAP ＋∠P AC ，
∴∠ABP ＝∠P AC ． 又∠APB ＝∠APC ，
∴△ABP ∽△CAP ，即P 是△ABC 的内相似点. 7分 （3）方法不唯一．如图③，作法如下： ①作BC 的垂直平分线l 1，与AC 交于点D ； ②作CD 的垂直平分线l 2，与l 1交于点O ；
③以O 为圆心，OD 为半径作⊙O ，与l 1交于点E ；
④连接AE ，与⊙O 交于点P ，点P 即为所求． 10分
A
B
P ② D A B
C
P
②
D
③。