华师大版-数学-八年级上册-14.2.1 勾股定理在数学中的应用学案设计

14.2.1 勾股定理在数学中的应用
课前知识管理
勾股定理是我国古代数学的一项伟大的成就，是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着五千多年的历史，在数学的发展中起着重要的作用，主要有以下题型：
1、直接应用型：将实际问题转化为数学问题，利用题中的直角三角形信息，直接应用勾股定理求解.
2、间接应用型：实际问题转化为数学问题后，不能直接求出线段的长，则应根据题中直角三角形有关的信息，考虑添加辅助线，构造直角三角形进行求解.
3、最短路线型：求几何体表面两点之间的最短距离，通常将几何体的表面展开，把立体图形转化为平面图形，根据“两点之间，线段最短”这个公理找到最短距离，然后利用勾股定理求解.
名师导学互动 典例精析：
知识点1：最值问题
例1、有一立方体礼盒如图所示，在底部A 处有壁虎，C ’处有一蚊子，壁虎急于捕捉到蚊子充饥. （1）试确定壁虎所走的最短路线；（2）若立方体礼盒的棱长为20cm ，壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，求壁虎的每分钟至少爬行多少厘米（保留整数）.
【解题思路】求几何体表面的最短距离时，通常可以将几何体表面展开，把立体图形转换成平面图形，于是问题可迎刃而解.
【解】（1）若把礼盒的上底面A ′B ′C ′D ′竖立起来，如图所示，使它与立方体的正面（ABB ′A ′）在同一平面内，然后连结AC ’，根据“两点间线段最短”知，线段A C ′就是壁虎捕捉蚊子所走的最短路线.
（2）由（1）得，△ABC ’是直角三角形，且40'20==BC AB ，。

根据勾股定理，得
22''BC AB AC +=224020+=)(7.44cm ≈.壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，
它至少每
分钟爬行90厘米（只入不舍）.
【方法归纳】在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面图形，即转化为表面展开图来解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论.
对应练习：如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ）
A.521
B.25
C.105+5
D.35
知识点2：操作类问题
例2、小明把一根长为160㎝的细铁丝剪成三段，做成一个等腰三角形风筝的边框ABC （如图），已知风筝的高AD ＝40㎝，你知道小明是怎样弯折铁丝的吗？
【解题思路】本题中已知等腰△ABC 的周长为160㎝，底边BC 边上的高AD ＝40㎝，要求的是AB 、AC 及BC 的长，由等腰三角形的“三线合一”性质及勾股定理可以解决．
【解】因为AB ＝AC ，AD ⊥BC ，所以BD ＝DC ，又因为AB ＋AC ＋BC ＝160㎝，所以AB ＋BD ＝2
1
×160＝80㎝．设AB ＝x ㎝，则BD ＝)80(x -㎝，由勾股定理知，222AB BD AD =+，即222)80(40x x =-+，解得50=x ．因此，AB ＝AC ＝50㎝，BC ＝60㎝．
【方法归纳】本题的解答除了应用方程思想外，更重要的是应用了转化思想，将斜三角形问题转化为直角三形来处理.
对应练习：小明制作了一个直角三角形玩具，它的周长为12cm ，斜边长为5cm ，你能求出这个直角三角形玩具的面积吗？
知识点3：安全问题
例3、 如图，在公路AB 旁有一座山，现有一C 处需要爆破，已知点C 与公路上的停靠站A 距离为300m ，与公路上另一停靠站B 的距离为400m ，且C A ⊥CB ，为了安全起见，爆破点C 周围半径250m 范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB 段是否因有危险而需要暂时封锁？
【解题思路】要判断公路AB 段是否需要封锁，则需要计算点C 到AB 的距离与250m 的大小关系，可以借助勾股定理和三角形的面积计算点C 到AB 的距离．
【解】作CD ⊥AB 于D ，因为BC ＝400m ，AC ＝300m ，∠ACB ＝90°，根据勾股定理，得222AB BC AC =+，即222400300AB =+，所以AB ＝500m ．由三角形的面积可知：AC BC CD AB ⋅=⋅2121，所以500CD ＝400×300，所以CD ＝240m ．因为240＜250，即点C 到AB 的距离小于250m ，所以有危险，公路AB 段需要暂时封锁．
【方法归纳】本题是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形或较易构造直角三角形时，可运用勾股定理求边长.
对应练习：如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝︒90，AC ＝4，CB ＝3，求斜边AB 上的高.
C
A H B
知识点4：折叠类问题
例4、如图，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使D 点落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ）
A 、3cm
B 、4cm
C 、5cm
D 、6cm
【解题思路】要求CN 的长，可在直角三角形NCE 中求，在Rt △NCE 中，EC 等于正方形边长的一半，NE=DN=8-NC 由勾股定理可解决问题.
【解】由题意NE=DN=8-NC ，因为E 为BC 的中点，所以CE=4，在Rt △NCE 中，NC 2=NE 2-EC 2=（8-NC ）2-42，所以NC 2=64-16NC+NC 2-16 NC=3，故选A.
【方法归纳】注意折叠后相等的角与相等的线段的转化，通过设未知数列方程求解.
对应练习：如图在矩形ABCD 中,AB=6,BC=8,若将矩形折叠，使点B 与点D 重合，则折痕EF 的长为（ ）
（A ）215 （B ）4
15 （C ）5 （D ）6 知识点5：网格类问题
例5、如图，在由24个边长都为1的小正三角形的网格中，点P 是正六边形的一个顶点，
以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长．
【解题思路】如图可以构造出4个满足条件的格点直角三角形，其斜边的长分别是，，.
24713
，，.
【解】填24713
【方法归纳】此题要求在正六边形格阵中构造格点直角三角形，具有较强的探索性和挑战性，对学生的探究能力和逻辑思维能力进行了全面检查.需要通过不断地尝试、调整、探索、归纳，然后找出所有满足条件的格点直角三角形.
对应练习：如图所示，在一个有4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分的面积与正方形ABCD的面积比是（）
A、3︰4
B、5︰8
C、9︰16
D、1︰2
知识点6：测量问题
例6、如图所示，为了求出位于湖两岸的两点A、B之间的距离，•一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形，通过测量，得到AC长160•米，•BC•长128米，问从点A穿过湖到点B有多远？
【解题思路】要先构建Rt△，•分清斜边和直角边，然后应用勾股定理求解．
【解】在Rt △ABC 中，由勾股定理，得
==96（米）．
【方法归纳】实际问题转化为数学问题后，利用题中的直角三角形信息，直接应用勾股定理解决问题.
对应练习：1.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？
C B
A
2. 一天，小明买了一张底面是边长为260cm 的正方形，厚30cm 的床垫回家．到了家门口，才发现门口只有242cm 高，宽100cm ．你认为小明能拿进屋吗？ ．
知识点7：探究规律类问题
例7、已知Rt △ABC 是直角边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是__ __.
G
C
【解题思路】观察图形得：第1个等腰Rt △ABC 的斜边长为21122=+；第2个等
腰Rt △ACD
2
2=
=；第3个等腰Rt
△ADE
的斜边长为3==；第四个等腰直角三角形的斜边长
为
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==；……以此类推，第n
个等腰直角三角形的斜边长为n .
【解】n .
【方法归纳】此题涉及等腰直角三角形的性质和勾股定理的知识，解决此题的思路是：通过连续地运用勾股定理计算各个等腰直角三角形的斜边长，然后从中发现这些斜边长的规律，从而归纳出第n 个等腰直角三角形的斜边长.此题较好地考查了由特殊到一般进行规律探索的能力.
对应练习：如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如
此作下去，若OA ＝OB ＝1，则第n 个等腰直角三角形的面积S n ＝________．
易错警示
例8、在B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60︒方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？
错解：甲船航行的距离为BM=8216⨯=（海里），乙船航行的距离为BP=15230⨯=（海里）.22163034+=（海里）且MP=34（海里），∴△MBP 为直角三角形，∴90MBP ∠=︒，∴乙船是沿着南偏东30︒方向航行的.
错解分析：虽然最终判断的结果也是对的，但这解题过程中存在问题.勾股定理的使用前提是直角三角形，而本题需对三角形做出判断，判断的依据是勾定理的逆定理.其形式为“若222a b c +=，则90C ∠=︒.错解的原因在于未能充分理解勾股定理及其逆定理的概念，导致错误运用.
正解：甲船航行的距离为BM=8216⨯=（海里），乙船航行的距离为BP=15230⨯=（海
里）.∵222
16301156,341156+==，∴222BM BP MP +=，∴△MBP 为直角三角形，∴90MBP ∠=︒，∴乙船是沿着南偏东30︒方向航行的.。