全国各地100份中考数学试卷分类汇编 第26章矩形菱形与正方形

2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编
第26章 矩形、菱形与正方形
一、选择题
1. （2011浙江省舟山，10，3分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm 2，四边形ABCD 面积是11cm 2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ）
（A ）48cm
（B ）36cm （C ）24cm （D ）18cm
【答案】A 2. （2011山东德州8,3分）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n 个图形的周长是
（A ）2n （B ）4n （C ）12n + （D ）22n +
【答案】C
3. （2011山东泰安，17 ，3分）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为
A.17
B.17
C.18
D.19
图1
图2 图3
……
（第10题） F
A B C D H E
G ①
② ③ ④ ⑤
4. （2011山东泰安，19 ，3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE 折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为
A.23
B. 33
2
C. 3
D.6
【答案】A
5. （2011浙江杭州，10，3）在矩形ABCD中，有一个菱形B F D E(点E，F分别在线段AB，
CD上)，记它们的面积分别为
ABCD BFDE
S S
和．现给出下列命题：（）
①若ABCD
BFDE
S
S
=
，则tan EDF
∠=．②若2,
DE BD EF
=∙则2
DF AD
=．
则:
A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D，①是假命题，②是假命题
【答案】A
6. （2011浙江衢州，1,3分）衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡AF AG
、分别架在墙体的点B、点C处，且AB AC
=,侧面四边形BDEC为矩形，若测得100
FAG
∠=︒，则FBD
∠=( ) A. 35° B. 40°
C. 55°
D. 70°
【答案】C
7. （2011浙江温州，6，4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC＝16，则图中长度为8的线段有( )
A．2条B．4条C．5条D
．6条
8. 2011四川重庆，10，4分）如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将
△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：
①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
9. （2011浙江省嘉兴，10，4分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm 2
，四边形ABCD 面积是11cm 2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ）
（A ）48cm
（B ）36cm （C ）24cm （D ）18cm
【答案】A 10．（2011台湾台北，29）如图(十二)，长方形ABCD 中，E 为BC 中点，作AEC 的角平分线交AD 于F 点。

若AB ＝6，AD ＝16，则FD 的长度为何？
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8
【答案】C
11. （2011湖南邵阳，7，3分）如图（二）所示，ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AB ≠AD ，则下列式子不正确的是（）
A.AC ⊥BD
B.AB ＝CD
C. BO=OD
D.∠BAD=∠BCD
（第10题） F
A B C D H E
G ①
② ③ ④ ⑤
… A 1 A A 2 A 3 B B 1 B 2
B 3
C C 2 C 1 C 3
D 2 D 1 D 3 第10题图
【答案】A.提示：当且仅当ABCD 为菱形时，AC ⊥BD 。

12. （2011湖南益阳，7，4分）如图2，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作
的：分别以A 和B 为圆心，大于12
AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是．．．
A ．矩形
B ．菱形
C ．正方形
D ．等腰梯形
【答案】B
13. （2011山东聊城，7，3分）已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则
这个菱形的面积是（ ）
A ．12cm 2
B ． 24cm 2
C ． 48cm 2
D ． 96cm 2
【答案】B
14. （2011四川宜宾,7,3分）如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF=3，则AB 的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】D
15. （ 2011重庆江津， 10，4分）如图,四边形ABCD 中,AC=a,BD=b,且AC ⊥BD,顺次连接四边形ABCD 各边中点,得到四边形A 1B 1C 1D 1,再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点,得到四边形A 2B 2C 2D 2……,如此进行下去,得到四边形A n B n C n D n .下列结论正确的有( )
①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形; ②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形;
③四边形A 5B 5C 5D 5的周长
4b a +; ④四边形A n B n C n D n 的面积是12+n ab
（第7题图）
E
C
B A B
A C D 图2
A.①②
B.②③
C.②③④
D.①②③④
【答案】C ·
16. （2011江苏淮安，5，3分）在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（ ）
A. 5cm
B. 15cm
C. 20cm
D. 25cm
【答案】C
17. （2011山东临沂，11，3分）如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、
F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∩A ＝30°，BC ＝2，AF ＝BF,则四边形BCDE 的面积是（ ）
A ．23
B ．33
C ．4
D ．43
【答案】A
18. （2011四川绵阳7，3）下列关于矩形的说法中正确的是
A ．对角线相等的四边形是矩形
B ．对角线互相平分的四边形是矩形
C ．矩形的对角线互相垂直且平分
D ．矩形的对角线相等且互相平分
【答案】D
19. （2011四川乐山9，3分）如图（5），在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 交BF 于点H ，CG∥AE 交BF 于点G 。

下列结论：①tan∠HBE=cot∠HEB ②
CG BF BC CF ⋅=⋅ ③BH=FG ④22BC BG CF GF
=.其中正确的序号是 A ．①②③ B ．②③④ C． ①③④ D ．①②④
【答案】D
20．（2011江苏无锡，5，3分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A ．对角线互相垂直
B ．对角线相等
C ．对角线互相平分
D ．对角互补
【答案】A
21. （2011湖北武汉市，12，3分）如图，在菱形ABCD 中，AB =BD ，点E ，F 分别在AB ， AD 上，且AE =DF ．连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．下列结论： ①△AED ≌△DFB ； ②S 四边形 BCDG = 4
3 CG 2； ③若AF =2DF ，则BG =6GF ．其中正确的结论
A ．只有①②．
B ．只有①③．
C ．只有②③．
D ．①②③．
【答案】D
22. （2011广东茂名，5，3分）如图，两条笔直的公路1l 、2l 相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂 A ．B 、D ，已知AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝5公里，村庄C 到公路1l 的距离为4公里，则村庄C 到公路2l 的距离是
A ．3公里
B ．4公里
C ．5公里
D ．6公里
【答案】B
23. （2011湖北襄阳，10，3分）顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则
四边形ABCD 一定是
A.菱形
B.对角线互相垂直的四边形
C.矩形
D.对角线相等的四边形
【答案】D
24. （2011湖南湘潭市，5，3分）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是
A.平行四边形
B.正方形
C.等腰梯形
D.矩形
【答案】B
25.
26.
27.
28.
二、填空题
1. （2011山东滨州，17，4分）将矩形ABCD 沿AE 折叠，得到如图所示图形。

若∠CED ′=56°,
则∠AED 的大小是
_______.
E
第12题图 2
l 1l
【答案】62°
2. （2011山东德州16,4分）长为1，宽为a 的矩形纸片（12
1<<a ），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n 此操作后，剩下的矩形为
正方形，则操作终止．当n =3时，
a 的值为_____________．
【答案】35或34
3. （2011湖北鄂州，5，3分）如图：矩形ABCD 的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩
形的周长之和为_______．
【答案】28
4. （2011山东烟台，17,4分）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .
【答案】2
5. (2011 浙江湖州，16，4)如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的
正方形，丙类纸片是长、宽分别为2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片
4A B
C D
第5题图
第一次操作
第二次操作 （第17题图） E
D D′C
B A
张，则应至少取丙类纸片 张，才能用它们拼成一个新的正方形．
【答案】4
6. (2011浙江绍兴，15，5分) 取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为
.
2
7. （2011甘肃兰州，20，4分）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。

已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为 。

【答案】114
n 8. （2011江苏泰州，18，3分）如图，平面内4条直线L 1、L 2、L 3、L 4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD 的4个顶点A 、B 、C 、D 都在这些平行线上，其中点Ａ、Ｃ分别在直线L 1和L 4上，该正方形的面积是 平方单位．
1413
12
11
【答案】5或9
9. （2011山东潍坊，16，3分）已知线段AB 的长为a ，以AB 为边在AB 的下方作正方形ACDB .
取AB 边上一点E ，以AE 为边在AB 的上方作正方形AENM .过E 作EF ⊥CD ，垂足为F 点.若正方形AENM 与四边形EFDB 的面积相等，则AE 的长为_________________.
……
【答案】12
a 10．（2011山东潍坊，17，3分）已知长方形ABCD ，AB =3cm ，AD =4cm ，过对角线BD 的中点
O 做BD 的垂直平分线EF ，分别交AD 、BC 于点E 、F ，则AE 的长为
_______________.
【答案】78
cm 11. （2011四川内江，16，5分）如图，点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点，当四边形ABCD 的边至少满足 条件时，四边形EFGH 是菱形．
【答案】AB=CD 12. (2011重庆綦江，14，4分)如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD
＝6，过点O 作OH⊥AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH ＝ ．
A
B
C D E F G H
【答案】：5
12
13. （2011江苏淮安，17，3分）在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC .请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可)
【答案】∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°或AC=BD (答案不唯一，写出一种即可)
14. (2011江苏南京，12，2分)如图，菱形ABCD 的连长是2㎝，E 是AB 中点，且DE⊥AB，
则菱形ABCD 的面积为_________㎝2．
【答案】
15. （2011江苏南通，15，3分）如同，矩形纸片ABCD 中，AB ＝2cm ，点E 在BC 上，且 AE ＝EC .若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好与AC 上的点'B
重合，则AC ＝ ▲
cm.
【答案】4
16. （2011四川绵阳17，4）如图，将长8cm ，宽4cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与C 重合，则折痕EF 的长为
_____cm.
【答案】25
17. （2011四川凉山州，17，4分）已知菱形ABCD 的边长是8，点E 在直线AD 上，若DE =3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则
MC AM 的值是 。

【答案】85或811
18. （2011湖北黄冈，5，3分）如图：矩形ABCD 的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩(第12题
)
A
形的周长之和为_______．
【答案】28 19. （2011湖北黄石，13，3分）有甲乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍，如图（4）.
将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD ，则AB 与BC 的数量关系为 。

【答案】AB =2BC
20．（2011山东日照，16，4分）正方形ABCD 的边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，且始终保持AM ⊥MN ．当BM = 时，四边形ABCN 的面积最大．
【答案】2;
21. （2011河北，14，3分）如图6，已知菱形ABCD ，其顶点A ，B 在数轴对应的数分别为-4和1，则BC=__．
图6
【答案】5
22. （2010湖北孝感，16，3分）已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是 .
【答案】15°或75° 23. 24. 25. 26. 27. 28.
三、解答题
1. （2011浙江省舟山，23，10分）以四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ． （1）如图1，当四边形ABCD 为正方形时，我们发现四边形EFGH 是正方形；如图2，当
四边形ABCD 为矩形时，请判断：四边形EFGH 的形状（不要求证明）； （2）如图3，当四边形ABCD 为一般平行四边形时，设∠ADC =α（0°＜α＜90°），
A
B
C
D
第5题图
① 试用含 的代数式表示∠HAE ； ② 求证：HE =HG ；
③ 四边形EFGH 是什么四边形？并说明理由．
【答案】（1）四边形EFGH 是正方形． (2) ①∠HAE=90°＋a ．
在□ABCD 中，AB∥CD ，∴∠BAD=180°－∠ADC=180°－a ； ∵△HAD 和△EAB 都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°，
∴∠HAE=360°－∠HAD －∠EAB －∠BAD ＝360°－45°－45°－（180°－a ）＝90°＋a ．
②∵△AEB 和△DGC 都是等腰直角三角形，∴
AE=
2AB ，
DG=2
CD ， 在□ABCD 中，AB=CD ，∴AE=DG ，∵△HAD 和△GDC 都是等腰直角三角形， ∴∠DHA=∠CDG= 45°，∴∠HDG=∠HAD ＋∠ADC ＋∠CDG ＝90°＋a ＝∠HAE ． ∵△HAD 是等腰直角三角形，∴HA=HD ，∴△HAE ≌△HDG ，∴HE=HG ． ③四边形EFGH 是正方形．
由②同理可得：GH=GF ，FG=FE ，∵HE=HG （已证），∴GH=GF =FG=FE ，∴四边形EFGH 是菱形；
∵△HAE ≌△HDG （已证），∴∠DHG=∠AHE ，又∵∠AHD=∠AHG ＋∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG ＋∠AHE ＝90°，∴四边形EFGH 是正方形．
2. （2011安徽，23，14分）如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线1l 、2l 、3l 、
4l 上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为1h 、2h 、3h （1h ＞0，2h ＞0，3h ＞0）．
（1）求证：1h =3h ；
A B
C
D
H
E
F
G
（第23题图2）
E B
F
G
D H
A
C
（第23题图3）
（第23题图1）
A B
C
D
H E
F
G
（2）设正方形ABCD 的面积为S ，求证：S=2
12
21)(h h h ++；
（3）若12
3
21=+h h ，当1h 变化时，说明正方形ABCD 的面积S 随1h 的变化情况．
【答案】（1）过A 点作AF ⊥l 3分别交l 2、l 3于点E 、F ，过C 点作CG ⊥l 3交l 3于点G ，
∵l 2∥l 3，∴∠2 =∠3，∵∠1+∠2=90°，∠4+∠3=90°，∴∠1=∠4，又
∵∠BEA=∠DGC =90°, BA=DC ，∴△BEA ≌△DGC ，∴AE =CG ，即1h =3h ； （2）∵∠FAD+∠3=90°，∠4+∠3=90°，∴∠FAD =∠4，又∵∠AFD=∠DGC =90°, AD=DC ，∴△AFD ≌△DGC ，∴DF =CG ，∵AD 2=AF 2+FD 2，∴
S=2
12
21)(h h h ++；
(3)由题意，得12321h h -=， 所以
5
4
52451
452312
11212
12
11+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=h h h h h h S ，
又⎪⎩⎪
⎨⎧〉-〉02
310
11h h ，解得0＜h 1＜32
l l l l
l
l l l
∴当0＜h 1＜
52
时，S 随h 1的增大而减小； 当h 1=52时，S 取得最小值5
4
；
当
52
＜h 1＜3
2时，S 随h 1的增大而增大. 3. （2011福建福州，21，12分）已知,矩形ABCD 中,4AB cm =,8BC cm =,AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ,垂足为O .
(1)如图10-1,连接AF 、CE .求证四边形AFCE 为菱形,并求AF 的长；
(2)如图10-2,动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发,沿AFB ∆和CDE ∆各边匀速运动一周.即点P 自A →F →B →A 停止,点Q 自C →D →E →C 停止.在运动过程中, ①已知点P 的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm ,运动时间为t 秒,当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t 的值.
②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b (单位:cm ,0ab ≠),已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形,求a 与b 满足的数量关系式.
【答案】(1)证明:①∵四边形ABCD 是矩形
∴AD ∥BC
∴CAD ACB ∠=∠,AEF CFE ∠=∠ ∵EF 垂直平分AC ,垂足为O ∴OA OC =
∴AOE ∆≌COF ∆ ∴OE OF =
∴四边形AFCE 为平行四边形 又∵EF AC ⊥
∴四边形AFCE 为菱形
②设菱形的边长AF CF xcm ==,则(8)BF x cm =- 在Rt ABF ∆中,4AB cm =
由勾股定理得222
4(8)x x +-=,解得5x = ∴5AF cm =
(2)①显然当P 点在AF 上时,Q 点在CD 上,此时A 、C 、P 、Q 四点不可能构成平行
四边形;同理P 点在AB 上时,Q 点在DE 或CE 上,也不能构成平行四边形.因此只有当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时,才能构成平行四边形
∴以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC QA = ∵点P 的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm ,运动时间为t 秒 ∴5PC t =,124QA t =-
∴5124t t =-,解得
43t = A
B
C
D
E
F
图10-1
O
图10-
2
备用图
∴以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,
43t =秒.
②由题意得,以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,点P 、Q 在互
相平行的对应边上. 分三种情况:
i)如图1,当P 点在AF 上、Q 点在CE 上时,AP CQ =,即12a b =-,得12a b += ii)如图2,当P 点在BF 上、Q 点在DE 上时,AQ CP =, 即12b a -=,得12a b +=
iii)如图3,当P 点在AB 上、Q 点在CD 上时,AP CQ =,即12a b -=,得12a b +=
综上所述,a 与b 满足的数量关系式是12a b +=(0)ab ≠
4. （2011广东广州市，18，9分）
如图4，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE =AF ． 求证：△ACE ≌△ACF ．
【答案】∵四边形ABCD 为菱形 ∴∠BAC=∠DAC 又∵AE=AF ，AC=AC ∴△ACE≌△ACF（SAS ）
5. （2011山东滨州，24，10分）如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上（端点除外）的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC .设MN 交∠BCA 的平分线于点E ,交∠BCA 的外角平分线于点F ，连接AE 、AF 。

那么当点O 运动到何下时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论。

图1
图2
图3
图4
【答案】
当点O 运动到AC 的中点（或OA=OC ）时， 四边形AECF 是矩形………………2分
证明：∵CE 平分∠BCA,∴∠1=∠2，………………3分 又∵MN ∥BC, ∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，∴EO=CO. ………………5分 同理，FO=CO ………………6分 ∴EO=FO
又OA=OC, ∴四边形AECF 是平行四边形………………7分 又∵∠1=∠2，∠4=∠5，
∴∠1+∠5=∠2+∠4. ………………8分 又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°
∴∠2+∠4=90°………………9分
∴四边形AECF 是矩形………………10分 6. （2011山东济宁，22，8分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD
的边长为12，P 为边BC 延长线上的一点，E 为DP 的中点，DP 的垂直平分线交边DC 于M ，交边AB 的延长线于N .当6CP =时，EM 与EN 的比值是多少？
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别
于F ，G ，如图2，则可得：
DF DE
FC EP
=
，因为DE EP =，所以DF FC =.可求出EF 和EG 的值，进而可求得EM 与EN 的比值.
(1) 请按照小明的思路写出求解过程.
(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DP MN =的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.
（第24题图）
F E N
M O
C
B
A
（1）解：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别于点F ，G ，
则
DF DE FC EP =，EM EF
EN EG
=
，12GF BC ==. ∵DE EP =，∴DF FC =. ··················· 2分
∴11
6322EF CP ==⨯=，12315EG GF EF =+=+=.
∴31155
EM EF EN EG ===. ····················· 4分 （2）证明：作MH ∥BC 交AB 于点H ， ················· 5分
则MH CB CD ==，90MHN ∠=︒. ∵1809090DCP ∠=︒-︒=︒， ∴DCP MHN ∠=∠.
∵90MNH CMN DME CDP ∠=∠=∠=︒-∠，90DPC CDP ∠=︒-∠， ∴DPC MNH ∠=∠.∴DPC MNH ∆≅∆. ············ 7分 ∴DP MN =. ························ 8分
7. （2011山东威海，24，11分）如图，ABCD 是一张矩形纸片，AD =BC =1,AB =CD =5．在矩形
ABCD 的边AB 上取一点M ，在CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与D N 交于点K ，得到
△MNK ．
(第22题)
(第22题)
H B
C
D
E
M
N
A P
（1）若∠1=70°，求∠MNK 的度数． （2）△MNK 的面积能否小于
1
2
？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由． （3）如何折叠能够使△MNK 的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．
（备用图）
【答案】 解：∵ABCD 是矩形， ∴AM ∥DN ，
∴∠KNM =∠1． ∵∠KMN =∠1， ∴∠KNM =∠KMN ． ∵∠1=70°， ∴∠KNM =∠KMN =70°． ∴∠MNK =40°． （2）不能．
过M 点作ME ⊥DN ，垂足为点E ，则ME =AD =1, 由（1）知∠KNM =∠KMN ． ∴MK =NK ． 又MK ≥ME , ∴NK ≥1．
∴1122
MNK S NK ME ∆=⋅≥． ∴△MNK 的面积最小值为12，不可能小于1
2
．
（3）分两种情况：
情况一：将矩形纸片对折，使点B 与点D 重合，此时点K 也与点D 重合．
设MK =MD =x ，则AM =5-x ，由勾股定理，得
2221(5)x x +-=,
解得， 2.6x =． 即 2.6MD ND ==． ∴1
1 2.6 1.32
MNK ACK S S ∆∆==
⨯⨯=． （情况一） 情况二：将矩形纸片沿对角线AC 对折，此时折痕为AC ． 设MK =AK = CK =x ，则DK =5-x ，同理可得 即 2.6MK NK ==． ∴1
1 2.6 1.32
MNK ACK S S ∆∆==
⨯⨯=． ∴△MNK 的面积最大值为1.3． （情况二）
8. （2011山东烟台，24,10分）已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，CD ⊥AD ，
AD 2＋CD 2＝2AB 2．
（1）求证：AB ＝BC ；
（2）当BE ⊥AD 于E 时，试证明：BE ＝AE ＋CD ．
【答案】（1）证明：连接AC ， ∵∠ABC ＝90°， ∴AB 2
＋BC 2
＝AC 2
.
∵CD ⊥AD ，∴AD 2
＋CD 2
＝AC 2
.
∵AD 2
＋CD 2
＝2AB 2
，∴AB 2
＋BC 2
＝2AB 2
， ∴AB ＝BC .
（2）证明：过C 作CF ⊥BE 于F . ∵BE ⊥AD ，∴四边形CDEF 是矩形. ∴CD ＝EF .
∵∠ABE ＋∠BAE ＝90°，∠ABE ＋∠CBF ＝90°，
E
∴∠BAE ＝∠CBF ，∴△BAE ≌△CBF . ∴AE ＝BF .
∴BE ＝BF ＋EF ＝AE ＋CD .
9. (2011 浙江湖州，22，8) 如图已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE=DF ． (1) 求证：四边形AECF 是平行四边形；
(2) 若BC ＝10，∠BAC ＝90°，且四边形AECF 是菱形，求BE 的长 ．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，且AD=BC ，∴AF ∥EC ，∵BE=DF ， ∴AF=EC ，∴四边形AECF 是平行四边形.
（2）∵四边形AECF 是，∴AE ＝CE ，∴∠1＝∠2，∵∠BAC ＝90°，∴∠3＝∠90°－∠2，
∠4＝∠90°－∠1，∴∠3＝∠4，∴AE ＝BE ，∴BE ＝AE ＝CE ＝
1
2
BC ＝5.
10．（2011宁波市，23，8分）如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边ABCD 的中点，BD 是对
角线，过A 点作AGDB 交CB 的延长线于点G ． （1）求证：DE ∥BF ；
（2）若∠G ＝90，求证四边形DEBF 是菱形．
解：（1）□ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点
∴DF ＝12DC ，BE ＝12AB
∴DF ∥BE ，DF ＝BE
∴四边形DEBF 为平行四边形 ∴DE ∥BF
(2)证明：∵AG ∥BD ∴∠G ＝∠DBC ＝90° ∴ DBC 为直角三角形 又∵F 为边CD 的中点．
∴BF ＝1
2
DC ＝DF
又∵四边形DEBF 为平行四边形 ∴四边形DEBF 是菱形
11. （2011浙江衢州，22,10分）如图，ABC ∆中，AD 是边BC 上的中线，过点A 作
AE BC ，过点D 作,DE AB DE 与AC AE 、分别交于点O 、点E ，连接EC
求证：AD EC =;
当Rt BAC ∠=∠时，求证：四边形ADCE 是菱形； 在（2）的条件下，若AB AO =，求tan OAD ∠的值.
B
解法1：因为DE//AB,AE//BC,所以四边形ABDE 是平行四边形，
所以AE//BD 且AE=BD ，又因为AD 是边BC 上的中线，所以BD=CD ，所以AE 平行且等于CD ，所以四边形ADCE 是平行四边形，所以AD=EC. 解法2：
//,//,DE AB AE BC
ABDE B EDC ∴∠=∠四边形是平行四边形， AB DE ∴= 又
AD BC 是边上的中线
BD CD ∴=
()ABD EDC SAS ∴≅ AD ED ∴= (2)解法1： 证明
Rt ,BAC AD ∠=∠是斜边BC 上的中线
AD BD CD ∴==
又四边形ADCE 是平行四边形 四边形ADCE 是菱形 解法2 证明：
//,Rt DE AB BAC ∠=∠
DE AC ∴⊥
又四边形ADCE 是平行四边形 四边形ADCE 是菱形
解法3 证明：
Rt BAC AD BC ∠=∠，是斜边上的中线
AD BD CD ∴==
四边形ABDE 是平行四边形 AE BD CD ∴== 又
AD EC
AD CD CE AE
=∴===
∴四边形ADCE 是菱形
解法1
解：四边形ADCE 是菱形
,90AO CO AOD BD CD
∴=∠=︒=又
OD ABC ∴∆是的中位线，则1
2
OD AB =
12
AB AO OD AO =∴=
1
Rt tan 2
OD ABC OAD OA ∴∆∠=
=在中， 解法2
解：四边形ADCE 是菱形
1
,,902
12
AO CO AC AD CD AOD AB AO AB AC ∴===∠=︒=∴=
1
Rt tan 2
1
tan tan 2
AB ABC ACB AC AD CD DAC DCA OAD ACB ∴∠===∴∠=∠∴∠=∠=
在中，
12. （2011浙江省嘉兴，23，12分）以四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ． （1）如图1，当四边形ABCD 为正方形时，我们发现四边形EFGH 是正方形；如图2，当
四边形ABCD 为矩形时，请判断：四边形EFGH 的形状（不要求证明）； （2）如图3，当四边形ABCD 为一般平行四边形时，设∠ADC =α（0°＜α＜90°），
① 试用含α的代数式表示∠HAE ；
② 求证：HE =HG ；
③ 四边形EFGH 是什么四边形？并说明理由．
【答案】（1）四边形EFGH 是正方形． (2) ①∠HAE=90°＋a ．
在□ABCD 中，AB∥CD ，∴∠BAD=180°－∠ADC=180°－a ； ∵△HAD 和△EAB 都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°，
∴∠HAE=360°－∠HAD －∠EAB －∠BAD ＝360°－45°－45°－（180°－a ）＝90°＋a ．
②∵△AEB 和△DGC 都是等腰直角三角形，∴
AE=
2AB ，
DG=2
CD ， 在□ABCD 中，AB=CD ，∴AE=DG ，∵△HAD 和△GDC 都是等腰直角三角形， ∴∠DHA=∠CDG= 45°，∴∠HDG=∠HAD ＋∠ADC ＋∠CDG ＝90°＋a ＝∠HAE ． ∵△HAD 是等腰直角三角形，∴HA=HD ，∴△HAE ≌△HDG ，∴HE=HG ． ③四边形EFGH 是正方形．
由②同理可得：GH=GF ，FG=FE ，∵HE=HG （已证），∴GH=GF =FG=FE ，∴四边形EFGH 是菱形；
∵△HAE ≌△HDG （已证），∴∠DHG=∠AHE ，又∵∠AHD=∠AHG ＋∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG ＋∠AHE ＝90°，∴四边形EFGH 是正方形．
13. （2011福建泉州，21，9分）如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1． (1)证明：△A 1AD 1≌△CC 1B ；
(2)若∠ACB ＝30°，试问当点C 1在线段AC 上的什么位置时，四边形ABC 1D 1是菱形. （直接写出答案） 【答案】
∵矩形ABCD ∴BC=AD,BC∥AD ∴∠DAC=∠ACB
∵把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1． ∴∠A 1=∠DAC,A 1D 1=AD,AA 1=CC 1
A B
C
D
H
E
F
G
（第23题图2）
E B
F
G
D H
A
C
（第23题图3）
（第23题图1）
A B
C
D
H E
F
G
∴∠A 1=∠ACB，A 1D 1=CB 。

∴△A 1AD 1≌△CC 1B （SAS ）。

……………6分
当C 1在AC 中点时四边形ABC 1D 1是菱形，……………9分
14. （2011甘肃兰州，27，12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD>AB ），将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点E ，交BC 边于点F ，分别连结AF 和CE 。

（1）求证：四边形AFCE 是菱形；
（2）若AE=10cm ，△ABF 的面积为24cm 2
，求△ABF 的周长；
（3）在线段AC 上是否存在一点P ，使得2AE 2
=AC ·AP ？若存在，请说明点P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由。

【答案】（1）由折叠可知EF ⊥AC ，AO=CO
∵AD ∥BC
∴∠EAO=∠FCO ，∠AEO=∠CFO ∴△AOE ≌△COF ∴EO=FO
∴四边形AFCE 是菱形。

（2）由（1）得AF=AE=10
设AB=a ，BF=b ，得
a 2+
b 2=100 ①，ab =48 ②
①+2×②得 (a +b )2
=196，得a +b =14（另一负值舍去） ∴△ABF 的周长为24cm
（3）存在，过点E 作AD 的垂线交AC 于点P ，则点P 符合题意。

A
B C D
E
F
O
C
B
A
D
A 1
C 1
D 1
（第21题）
证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAP=∠OAE
∴△AOE ∽△AEP
∴
AO AE AE AP
=
，得AE 2=AO ·AP 即2AE 2
=2AO ·AP 又AC=2AO ∴2AE 2
=AC ·AP
15. （2011广东株洲，23，8分）如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的延长线交BC 于Q. （1）求证： OP=OQ ；
（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）.设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形．
【答案】（1）证明：
四边形ABCD 是矩形，
∴AD ∥BC ， ∴∠PDO=∠QBO ，又OB=OD ，∠POD=∠QOB ， ∴△POD ≌△QOB ， ∴OP=OQ 。

（2）解法一： PD=8-t
∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°，
∵AD=8cm ，AB=6cm ，∴BD=10cm ，∴OD=5cm. 当四边形PBQD 是菱形时， PQ ⊥BD ，∴∠POD=∠A ，又∠ODP=∠ADB ， ∴△ODP ∽△ADB ， ∴
OD AD PD BD =，即58
810
t =-， A B C D
E
F
O
P
解得74t =
,即运动时间为7
4
秒时，四边形PBQD 是菱形. 解法二：PD=8-t
当四边形PBQD 是菱形时，PB=PD=(8-t)cm ，
∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°，在RT △ABP 中，AB=6cm ， ∴222AP AB BP +=， ∴2
2
2
6(8)t t +=-， 解得74t =
,即运动时间为7
4
秒时，四边形PBQD 是菱形. 16. （2011江苏苏州，28,9分）（本题满分9分）如图①，小慧同学吧一个正三角形纸片
（即△OAB ）放在直线l 1上，OA 边与直线l 1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转120°，此时点O 运动到了点O 1处，点B 运动到了点B 1处；小慧又将三角形纸片AO 1B 1绕B 1点按顺时针方向旋转120°，点A 运动到了点A 1处，点O 1运动到了点O 2处（即顶点O 经过上述两次旋转到达O 2处）.
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O 运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO 1和弧O 1O 2，顶点O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO 1的面积、△AO 1B 1的面积和扇形B 1O 1O 2的面积之和.
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC 放在直线l 2上，OA 边与直线l 2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转90°，此时点O 运动到了点O 1处（即点B 处），点C 运动到了点C 1处，点B 运动到了点B 1处；小慧又将正方形纸片AO 1C 1B 1绕B 1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
问题①：若正方形纸片OABC 按上述方法经过3次旋转，求顶点O 经过的路程，并求顶点O 在此运动过程中所形成的图形与直线l 2围成图形的面积；若正方形OABC 按上述方法经过5次旋转，求顶点O 经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC 按上述方法经过多少次旋转，顶点O 经过的路程是2
2
2041+π？
请你解答上述两个问题.
【答案】解问题①：如图，正方形纸片OABC 经过3次旋转，顶点O 运动所形成的图形是三段弧，即弧OO 1、弧O 1O 2以及弧O 2O 3， ∴顶点O 运动过程中经过的路程为
πππ)2
2
1(1802902180190+=⋅⋅+⨯⋅⋅.
顶点O 在此运动过程中所形成的图形与直线l 2围成图形的面积为
112
1
2360)2(90236019022⨯⨯⨯+⋅⋅+⨯⋅⋅ππ=1+π.
正方形OABC 经过5次旋转，顶点O 经过的路程为
πππ)2
2
23(1802903180190+=⋅⋅+⨯⋅⋅. 问题②：∵方形OABC 经过4次旋转，顶点O 经过的路程为
πππ)2
2
1(1802902180190+=⋅⋅+⨯⋅⋅ ∴
222041+π=20×)221(+
π+2
1
π. ∴正方形纸片OABC 经过了81次旋转.
17. （2011江苏泰州，24，10分）如图，四边形ABCD 是矩形，直线L 垂直平分线段AC ，垂足为O ，直线L 分别与线段A D 、CB 的延长线交于点E 、F ． （1）△ABC 与△FOA 相似吗？为什么？
（2）试判定四边形AFCE 的形状，并说明理由．
【答案】(1)相似.由直线L 垂直平分线段AC ，所以AF=FC ，∴∠FAC=∠ACF ，又∵∠ABC=∠AOF=90°，∴△ABC ∽FOA ．
（2）四边形AFCE 是菱形。

理由：∵AE ∥CF ，∴∠EAO=∠FCO ，又∵AO ＝CO ，∠AOE=∠COF ，∴△AOE ≌△COF ，∴AE=CF ，又AE ∥CF ，∴四边形AFCE 为平行四边形，又AF=FC ，所以平行四边形AFCE 为菱形．
18. （2011江苏泰州，28，12分）在平面直角坐标系xoy 中，边长为a （a 为大于0的常数）的正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点P ，顶点A 在x 轴正半轴上运动，顶点B 在y 轴正半轴上运动（x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点O ），顶点C 、D 都在第一象限． （1）当∠BAO =45°时，求点P 的坐标;
(2)求证：无论点A 在x 轴正半轴上、点B 在y 轴正半轴上怎样运动，点P 都在∠AOB 的平分线上；
（3）设点P 到x 轴的距离为h ，试确定h 的取值范围，并说明理由．
【答案】解：（1）当∠BAO =45°时，∠PAO =90°，在Rt ⊿AOB 中，OA ＝
22AB ＝
a 2
2
，在Rt ⊿APB 中，PA ＝
22AB ＝
a 22。

∴点P 的坐标为（a 22，a 2
2
） （2）过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线垂足分别为M 、N ，则有∠PMA =∠PNB =∠NPM =∠B PA =90°，
∴∠MPA =∠NPB ，又PA ＝PB ，∴△PAM ≌△PBN ，∴PM=PN ，于是，点P 都在∠AOB 的平分线上；
（3）
2a ＜h ≤a 22。

当点B 与点O 重合时，点P 到AB 的距离为2
a
，然后顶点A 在x 轴正半轴上向左运动，顶点B 在y 轴正半轴上向上运动时，点P 到AB 的距离逐渐增大，当∠
BAO =45°时，PA ⊥x 轴，这时点P 到AB 的距离最大为
a 22，然后又逐渐减小到2
a
，∵x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点O ，∴点P 到x 轴的距离的取值范围是
2
a
＜h ≤a 22。

19. （2011山东济宁，17， 5分）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点
O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，分别交AD 、BC 于点E 和点F ，求证：四边形BEDF 是菱形．
【答案】证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD ∥BC ，OB =OD ，…………………………………………1分 ∴∠EDO =∠FBO ，∠OED =∠OFB ，…………………………2分 ∴△OED≌△OFB ，
∴DE =BF ，………………………………………………………3分 又∵DE ∥BF ，
∴四边形BEDF 是平行四边形，………………………………4分 ∵EF ⊥BD ，
∴四边形BEDF 是菱形．………………………………………5分
20．（2011山东聊城，25，12分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝12cm ，BC ＝8cm ，点E 、F 、
G 分别从点A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E 、G 的速度均为2cm/s ，点F 的速度为4cm/s ，当点F 追上点G （即点F 与点G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t 秒时，△EF G 的面积为S （cm2）． （1）当t ＝1秒时，S 的值是多少？
（2）写出S 和t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围．
（3）若点F 在矩形的边BC 上移动，当t 为何值时，以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以F 、C 、G 为顶点的三角形相似？请说明理由．
【答案】（1）如图甲，当t ＝1秒时，AE ＝2，EB ＝10，BF ＝4，FC ＝4，C G ＝2，由S ＝S 梯形E G C G －S EBF －S FC G ＝
21(10＋2)×8－21×10×4－2
1
×4×2＝24 O
F
E
D
C
B
A
第17题
(2)如图（甲），当0≤t≤2时，点E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上移动，此时AE ＝2t ，EB ＝12－2t ，BF ＝4t ，FC ＝8－4t ，S ＝8t 2－32t ＋48（0≤t≤2）
（3）如图乙，当点F 追上点G 时，4t ＝2t ＝8，解得t ＝4，当2＜t≤4时，CF ＝4t －8，C G ＝2t ，F G ＝C G －CF ＝8－2t ，即S ＝－8t ＋32(2＜t≤4)，
(3)如图（甲），当点F 在矩形的边BC 上移动时，0≤t≤2，在EFF 和FC G 中，B ＝C ＝90，，
①若
CG BF FC EB =，即t t t t 2448212=--，解得t ＝32，又t ＝32满足0≤t≤2，所以当t ＝3
2
时
△EBF ∽△G CF ②若CF BF GC EB =，即t t t t 4842212-=
-，解得t ＝23，又t ＝23
满足0≤t≤2，所以当t ＝23时△EBF ∽△G CF ，综上知，当t ＝32或2
3
时，以点E 、B 、F 为顶点的三角形与
以F 、C 、G 为顶点的三角形相似
21. （2011山东潍坊，18，8分）已知正方形ABCD 的边长为a ，两条对角线AC 、BD 相交于
点O ，P 是射线AB 上任意一点，过P 点分别做直线AC 、BD 的垂线PE 、PF ，垂足为E 、F .
（1）如图1，当P 点在线段AB 上时，求PE +PF 的值；
（2）如图2，当P 点在线段AB 的延长线上时，求PE －PF 的值.
【解】（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD .
∵PF ⊥BD ，∴PF //AC ，同理PE //BD . ∴四边形PFOE 为矩形，故PE =OF . 又∵∠PBF =45°，∴PF =BF . ∴PE +PF =OF +FB =OB
=cos 452a a ︒=
.
（2）∵四边形ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD . ∵PF ⊥BD ，∴PF //AC ，同理PE //BD . ∴四边形PFOE 为矩形，故PE =OF . 又∵∠PBF =45°，∴PF =BF . ∴PE －PF =OF －BF = OB
=cos 452a ︒=
.
22. （2011四川广安，23，8分）如图5所示，在菱形ABCD 中，∠ABC = 60°，DE ∥AC
交BC 的延长线于点E ．求证：DE =
12
BE E
D
C
B
A
【答案】证明：∵ABCD 是菱形，∠ABC = 60° ∴B C=AC=AD
又∵DE ∥AC ∴ACED 为平行四边形 ∴CE=AD=BC DE=AC ∴DE=CE=BC ∴DE =
12
BE 23. (2011江苏南京，21，7分)如图，将□ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE=DC ，连接AE ，
交BC 于点F ．
⑴求证：△ABF≌△ECF
⑵若∠AFC=2∠D，连接AC 、BE ．求证：四边形ABEC 是矩形．
【答案】证明：⑴∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD．∴∠ABF=∠ECF. ∵EC=DC, ∴AB=EC．
B
D
E
(第21题) 图5。