2020-2021学年江西南昌二中高二下期中数学(理)试卷
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A． B． C． D．
5．在四边形 中， ， ，将 沿 折起，使平面 平面 ，构成三棱锥 ，如图，则在三棱锥 中，下列结论正确的是（）
A．平面 平面
B．平面 平面
C．平面 平面
D．平面 平面
6．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2， ，则AA1与平面AB1C1所成的角为（）
A． B．
C． D．
12．如图，P是正方体ABCD—A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD的面积为f（x），则f（x）的图象大致是（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在东经 圈上有甲、乙两地，它们分别在北纬 与北纬 圈上，地球半径为 ，则甲、乙两地的球面距离是.
14．如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 是 上一动点，则 的最小值是___________.
三、解答题
17．平面 平面 ， 为正方形， 是直角三角形，且 ， 分别是线段 的中点．
（1）求证： //平面 ；
（2）在线段 上是否存在一点 ，使得点 到平面 的距离为 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
18．如图，三棱柱 中，侧面 为菱形，的中点为，且 平面 .
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）若 , , ,求到平面ABC的距离.
（1）求椭圆 的方程；值；
（Ⅱ）求△ 面积最大时直线 的方程．
22．已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）若 ， ，求证 ．
参考答案
1．D
【解析】
试题分析：由面面平行的定义知 正确. 或 故 错误， 若 不一定推出m,n异面, 错误.. 不能推出 错误，故选D.
15．如图，在三棱锥 中， ， ，平面 平面，为中点，点分别为线段 上的动点（不含端点），且 ，则三棱锥 体积的最大值为________．
16．正方体 的棱长为1， 为 的中点， 为线段 的动点，过 的平面截该正方体所得的截面记为 ，则下列命题正确的是__________________
①当 时， 为四边形；②当 时， 为等腰梯形；③当 时， 与 的交点 满足 ；④当 时， 为六边形；⑤当 时， 的面积为 .
【详解】
在直角梯形 中，因为 为等腰直角三角形，故 ，
所以 ，故 ，
折起后仍然满足 .因为平面 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，
所以 平面 ，因 平面 ，所以 .
又因为 ， ，所以 平面 ，
因 平面 ，所以平面 平面 .
【点睛】
面面垂直的判定可由线面垂直得到，而线面垂直可通过线线垂直得到，注意面中两条直线是相交的．由面面垂直也可得到线面垂直，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.
A．B．C．D．
7．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为（）
A．B．C．D．
8．在长方体 中， ,点 为 的中点，点 为对角线 上的动点，点 为底面 上的动点（点 ， 可以重合），则 的最小值为( )
A． B． C． D．1
2．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离（）
A．
B．
C．
D．3
3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B． C． D．
4．点A，B，C，D在同一个球的球面上， ， ，若四面体ABCD体积的最大值为 ，则这个球的表面积为（ ）
2020-2021学年江西南昌二中高二下期中数学（理）试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．不同直线m，n和不同平面α，β，给出下列命题：
① ，② ，
③ ，④
其中假命题有：（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
因为三角形ABC的面积是定值，所以当四面体ABCD体积取得最大值时，高取得最大值
即当DQ⊥平面ABC时体积最大
所以
所以
设球心为O，球的半径为R，则
即
解方程得
所以球的表面积为
所以选D
【点睛】
本题考查了空间几何体的外接球面积的求法，主要根据题意，正确画出图形并判断点的位置，属于难题。
5．D
【分析】
折叠过程中，仍有 ，根据平面 平面 可证得 平面 ，从而得到正确的选项.
9．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
10．如图，正方体 的棱长为 ，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（）
A． B． C． D．
11．如图， 到 的距离分别是 和 ， 与 所成的角分别是 和 ， 在 内的射影长分别是 和 ，若 ，则（）
考点：1、三视图．
4．D
【解析】
【分析】
根据题意，画出示意图，结合三角形面积及四面积体积的最值，判断顶点D的位置；然后利用勾股定理及球中的线段关系即可求得球的半径，进而求得球的面积。
【详解】
根据题意，画出示意图如下图所示
因为 ，所以三角形ABC为直角三角形，面积为 ，其所在圆面的小圆圆心在斜边AC的中点处，设该小圆的圆心为Q
19．如图，三棱锥 中， 是正三角形， 平面 ， ， 为 中点， ，垂足为 .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的平面角的余弦值.
20．如图，四棱柱 的底面 是菱形， ， 底面 ， ．
（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求二面角 的余弦值．
21．如图，椭圆 ： （ ）和圆 ，已知圆 将椭圆 的长轴三等分，且圆 的面积为 .椭圆 的下顶点为 ，过坐标原点 且与坐标轴不重合的任意直线 与圆 相交于点 ，直线 与椭圆 的另一个交点分别是点 ．
考点：1、线面平行的判定；2、线面垂直的判定．
2．A
【解析】
由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，
则正四面体的高 ．
而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为 ，选A．
3．D
【解析】
试题分析：由三视图知该几何体是正方体截去两角剩下部分如图， 故选D.
5．在四边形 中， ， ，将 沿 折起，使平面 平面 ，构成三棱锥 ，如图，则在三棱锥 中，下列结论正确的是（）
A．平面 平面
B．平面 平面
C．平面 平面
D．平面 平面
6．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2， ，则AA1与平面AB1C1所成的角为（）
A． B．
C． D．
12．如图，P是正方体ABCD—A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD的面积为f（x），则f（x）的图象大致是（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在东经 圈上有甲、乙两地，它们分别在北纬 与北纬 圈上，地球半径为 ，则甲、乙两地的球面距离是.
14．如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 是 上一动点，则 的最小值是___________.
三、解答题
17．平面 平面 ， 为正方形， 是直角三角形，且 ， 分别是线段 的中点．
（1）求证： //平面 ；
（2）在线段 上是否存在一点 ，使得点 到平面 的距离为 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
18．如图，三棱柱 中，侧面 为菱形，的中点为，且 平面 .
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）若 , , ,求到平面ABC的距离.
（1）求椭圆 的方程；值；
（Ⅱ）求△ 面积最大时直线 的方程．
22．已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）若 ， ，求证 ．
参考答案
1．D
【解析】
试题分析：由面面平行的定义知 正确. 或 故 错误， 若 不一定推出m,n异面, 错误.. 不能推出 错误，故选D.
15．如图，在三棱锥 中， ， ，平面 平面，为中点，点分别为线段 上的动点（不含端点），且 ，则三棱锥 体积的最大值为________．
16．正方体 的棱长为1， 为 的中点， 为线段 的动点，过 的平面截该正方体所得的截面记为 ，则下列命题正确的是__________________
①当 时， 为四边形；②当 时， 为等腰梯形；③当 时， 与 的交点 满足 ；④当 时， 为六边形；⑤当 时， 的面积为 .
【详解】
在直角梯形 中，因为 为等腰直角三角形，故 ，
所以 ，故 ，
折起后仍然满足 .因为平面 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，
所以 平面 ，因 平面 ，所以 .
又因为 ， ，所以 平面 ，
因 平面 ，所以平面 平面 .
【点睛】
面面垂直的判定可由线面垂直得到，而线面垂直可通过线线垂直得到，注意面中两条直线是相交的．由面面垂直也可得到线面垂直，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.
A．B．C．D．
7．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为（）
A．B．C．D．
8．在长方体 中， ,点 为 的中点，点 为对角线 上的动点，点 为底面 上的动点（点 ， 可以重合），则 的最小值为( )
A． B． C． D．1
2．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离（）
A．
B．
C．
D．3
3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B． C． D．
4．点A，B，C，D在同一个球的球面上， ， ，若四面体ABCD体积的最大值为 ，则这个球的表面积为（ ）
2020-2021学年江西南昌二中高二下期中数学（理）试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．不同直线m，n和不同平面α，β，给出下列命题：
① ，② ，
③ ，④
其中假命题有：（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
因为三角形ABC的面积是定值，所以当四面体ABCD体积取得最大值时，高取得最大值
即当DQ⊥平面ABC时体积最大
所以
所以
设球心为O，球的半径为R，则
即
解方程得
所以球的表面积为
所以选D
【点睛】
本题考查了空间几何体的外接球面积的求法，主要根据题意，正确画出图形并判断点的位置，属于难题。
5．D
【分析】
折叠过程中，仍有 ，根据平面 平面 可证得 平面 ，从而得到正确的选项.
9．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
10．如图，正方体 的棱长为 ，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（）
A． B． C． D．
11．如图， 到 的距离分别是 和 ， 与 所成的角分别是 和 ， 在 内的射影长分别是 和 ，若 ，则（）
考点：1、三视图．
4．D
【解析】
【分析】
根据题意，画出示意图，结合三角形面积及四面积体积的最值，判断顶点D的位置；然后利用勾股定理及球中的线段关系即可求得球的半径，进而求得球的面积。
【详解】
根据题意，画出示意图如下图所示
因为 ，所以三角形ABC为直角三角形，面积为 ，其所在圆面的小圆圆心在斜边AC的中点处，设该小圆的圆心为Q
19．如图，三棱锥 中， 是正三角形， 平面 ， ， 为 中点， ，垂足为 .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的平面角的余弦值.
20．如图，四棱柱 的底面 是菱形， ， 底面 ， ．
（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求二面角 的余弦值．
21．如图，椭圆 ： （ ）和圆 ，已知圆 将椭圆 的长轴三等分，且圆 的面积为 .椭圆 的下顶点为 ，过坐标原点 且与坐标轴不重合的任意直线 与圆 相交于点 ，直线 与椭圆 的另一个交点分别是点 ．
考点：1、线面平行的判定；2、线面垂直的判定．
2．A
【解析】
由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，
则正四面体的高 ．
而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为 ，选A．
3．D
【解析】
试题分析：由三视图知该几何体是正方体截去两角剩下部分如图， 故选D.