理论力学6
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
va
w ve
O
B vr
A
j
O1
w1
ve va sin j rw sin j
O1 A l r
2 2
va
OA r sin j 2 2 O1 A l r
w ve
O
B vr A
ve rw w1 2 2 O1 A l r
2
j
O1
w1
vr
w rl
l r
2 2
rw w vr , we w1 2 2 2 2 l r l r A点的加速度分析如图: n n t aa ae ar aC ae ae ar aC
dk we k dt
令 aC 2ωe vr ,称为科氏加速度, 于是有
aa ae ar 2ωe vr
aa ae ar aC
点的加速度合成定理: 动点在某瞬时的绝对加速 度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科 氏加速度的矢量和。
rM rO xi yj zk
d rM aa = = x y zk rO i j dt 2 + i j k x y z j + 2( xi y zk )
2
w rl
B
aC
O
A aan
ar aet
aa rw
n
t e
n e 2 1
2
j
O1
aen
1 w1
a O1 A 1
a w O1 A
aC 2w1vr
rw
4 2
2 3
(l r ) 2 3 2w r l
2
3 2
va
2
j
vr
ve
A
(l 2 r 2 )
为了求得aet, 应将加速度合成定理向轴x投影:
O
r'
k'
j'
y'
O'
i'
x'
y
rM = rM ' rO xi yj zk r d vr = = xi yj zk dt
dr ve = M = rO xi y zk j dt
6.3 点的加速度合成定理
科氏加速度等于动系角速度矢与点的相对速度矢 的矢积的两倍。 aC大小为
aC 2ωe vr
we
aC 2we vr sin q
其中 q 为 we 与vr 两矢量间的最 小夹角。矢量aC垂直于we和vr, 指向按右手法则确定。
vr
q
aC
工程中常见的平面机构中 we 和vr 是垂直的, 此时aC=2wevr。
例6-16 牛头刨床机构如图所示; 已知O1A = 200 mm, 角速度w1 = 2 rad/s。求图示位置滑枕CD的 速度和加速度。
D C B va1 ve1 vr1
w1 A j w
2
解: 一、速度分析 取套筒A 为动点, 动参考系与摇杆 O2B固连。绝对运动是套筒 A绕O1的圆周运动, 相对运 动是套筒A沿摇杆O2B的直 线运动, 牵连运动是摇杆 O2B绕O2的定轴转动。
va v e v r
vBCD ve 125.6 cm/s
分析加速度得
aa aan w 2 OA
n t aa ae ar ar
(4 ) 2 10 1579 cm/s 2
O
A
B
j
O1
C art
D
vr 2 125.62 arn 1579 cm/s 2 O1 A 10
a r 0
t a
a rw
n a
2 0
O
w0
B
建立如图的投影坐标 0 q t n 轴 Ax ' y ' ，由 aa aa ae ar ， A 将各矢量投影到x’ 轴上，得
a cos q a sin q ae
t a n a
C
y'
于是可得
ae r ( 0 cos q w sin q )
求得的加速度为负值, 说明AB杆的加速度与图 中假设的方向相反, 应为向下。
练习 图示OBC绕O轴转动, 使套在其上的小环M 沿固定直杆OA滑动。已知OB＝10 cm, OB与BC 垂直, 曲杆的角速度为0.5 rad/s, 求当j = 60°时 小环M的速度和加速度。 v
r
C
解: 选取小环M作为研 究的动点, 动参考系随 曲杆OBC一起绕O轴转 动。 点A的绝对运动是小环 M沿 OA 杆 的 直 线 运 动 , 相对运动是沿着BC的直 线运动, 牵连运动则是 曲杆绕O轴的转动。
drO vO we rO dt
dk we k dt
6.3 点的加速度合成定理
同样可得i'、j'的导数。
di we i dt dj we j dt dk w e k dt
将加速度向x轴上投影有： ae 30° A
x : aa cos 60 ae cos 30 arn a n 120° n ar a
x
aa cos 60 arn 1579 0.5 1579 ae cos 30 3/2 2740 cm/s 2 27.4 m/s 2
a a a arx aCx
n ax n ex t ex
B
x
即: a cos j a aC
n a t e
aC
O an a A
ar aet
得:
a
t e
rl (r l )
2 2
(l r )
2 2
3
w
2
2
j
O1
aen
1 w1
摇杆O1B的角加速度 :
a rl (r l ) 2 1 2 2 2 w O1 A (l r )
2
6.3 点的加速度合成定理
z M(M')
z'
rM rO'
O
r'
k'
j'
y'
O'
i'
x' y
x ae a r ae = rO x y zk i j j 2( xi y z k )
3 2 3ew va ve tan q w OA 3 3 ve 2ew 4 3ew vr cosq 3 3
2
O
C
w
加速度分析如图
n e 2
va
y
aa ae ar aC ve
2
vr
B
a OA w 2ew
vr 2 16ew 2 arn R 3 3
6.3 点的加速度合成定理
首先分析动参考系作定轴转动时单位矢量 i'、j'、k'对时间的导数。
设动参考系O'x'y'z'以角 速度we绕定轴转动, 不失 一般性, 取定坐标系的z 轴为其转轴。设k'的端 点A的矢径为rA, 则A点 的速度既等于rA 对时间 的一阶导数, 又可用矢积 来表示, 即
z
z'
z
M(M') z' rM r' k' i' x'
j'
y'
rO'
O
O'
y x
6.3 点的加速度合成定理
rM rO r r = xi yj zk
2
z
M(M')
z'
rM rO'
O
r d ar = 2 = i j k x y z dt 2 d rM x ae = = 2 dt x y z k r i j
解：以滑块A为动点，定系取在地面上，动系 取在BC杆上，动点的速度合成矢量图如图。 将各矢量投影到投影轴 x’ 上，得
y'
va cos q ve
v 即： e va cos q rw0 cos q
该速度即为BC杆的速度。
w0 B 0q v r va q A ve
O
C
x'
动点的加速度合成矢量图如图。其中：
n
aC ar
t
aa
A
4ew 8ew 2 aC 2wvr sin(w , vr ) 2w 1 3 3
n
aen
O
q
ar
n
C
y: aa cosq ae cosq ar aC
w
2 3 16ew 2 8ew 2 2 2 2 aa (2ew ) ew 2 9 3 3 3 3
n e
O
ae
j
B
n
ar
M A
C
aa
可得:
n e
w
2
aC
y
aa a aC / cos j 35 cm/s
例6-15 图示曲柄滑道机构，圆弧轨道的半径R ＝OA＝10 cm，已知曲柄绕轴O以匀速n＝120 rpm转动，求当j＝30°时滑道BCD的速度和加 va 速度。 vr 解：取滑块A为动点， B 动 系 与 滑 道 BCD 固 ve n A jO 1 O 连。 D j 求得曲柄OA转动的角 R 速度为 C n w 4 rad/s va w OA 125.6 cm/s 30 ve vr va 125.6 cm/s
t e 2 2
例 6-13 偏 心 凸 轮 的 偏 心 距 OC ＝ e 、 半 径 为 R 3e , 以匀角速度w绕O轴转动, 杆AB能在 滑槽中上下平动, 杆的端点A始终与凸轮接触, 且 OAB成一直线。求在OC与CA垂直时AB的速度 B 和加速度。 解: 选取杆AB的端点A作为 va vr 动点, 动参考系随凸轮一起 A 绕O轴转动。 ve q ve w OA
ar = i j k x y z
6.3 点的加速度合成定理
j 2( xi y zk ) 2[ x(ωe i ) y(ωe j) z(ωe k )] 2ωe ( xi + yj zk ) 2ωe vr
O
j
B
M
va
A
w
ve 习题6-20
va ve vr
OB w ve OM w cos 60 10 cm/s
OB＝10 cm, w =0.5 rad/s
O
j
B
M
vr C va
A
w
ve
va ve tan j 17.3 cm/s
vr 2ve 20 cm/s
小环M的加速度分析如图所示 :
n aa ae ar aC
O
2
j
B
M
vr C va
A
aC 2wvr 20 cm/s
向y方向投影有:
w
ve
aen w 2 OM 5 cm/s 2
vr ve / cos j 20 cm/s
aa cos j a cos j aC
6.3 点的加速度合成定理 当牵连运动为平移时, we = 0, 因此aC = 0, 此时
aa ae a r
当牵连运动为平移时, 动点在某瞬时的绝 对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相 对加速度的矢量和。
例6-11 图示曲柄滑杆机构，曲柄长OA=r，当 曲柄与铅垂线成 q 时，曲柄的角速度为w 0 ，角 加速度为 0 ，求此时BC杆的速度和加速度。
2 0
n aa a r
该加速度即为BC的加速度。
t aa
ae
x'
例6-12 刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的角 速度为 w, 通过滑块A带动摇杆O1B摆动。已知 OA = r, OO1= l, 求当OA水平时O1B的角速度w1 和角加速度1。 解: 在本题中应选取滑块A作 为研究的动点, 把动参考系固 定在摇杆O1B上。 点A的绝对运动是以点O 为圆心的圆周运动, 相对运动 是沿O1B方向的直线运动, 而 牵连运动则是摇杆绕O1 轴的 摆动。
A
w
e
rA rO O'
'
k '
j'
y'
y
O
x
i'
x'
vA
rA
drA we rA dt rO k
x
z
z' A
we
O
rA rO' O'
k' j'
y'
drO dk we (rO k ) dt dt
y
i' x'
w ve
O
B vr
A
j
O1
w1
ve va sin j rw sin j
O1 A l r
2 2
va
OA r sin j 2 2 O1 A l r
w ve
O
B vr A
ve rw w1 2 2 O1 A l r
2
j
O1
w1
vr
w rl
l r
2 2
rw w vr , we w1 2 2 2 2 l r l r A点的加速度分析如图: n n t aa ae ar aC ae ae ar aC
dk we k dt
令 aC 2ωe vr ,称为科氏加速度, 于是有
aa ae ar 2ωe vr
aa ae ar aC
点的加速度合成定理: 动点在某瞬时的绝对加速 度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科 氏加速度的矢量和。
rM rO xi yj zk
d rM aa = = x y zk rO i j dt 2 + i j k x y z j + 2( xi y zk )
2
w rl
B
aC
O
A aan
ar aet
aa rw
n
t e
n e 2 1
2
j
O1
aen
1 w1
a O1 A 1
a w O1 A
aC 2w1vr
rw
4 2
2 3
(l r ) 2 3 2w r l
2
3 2
va
2
j
vr
ve
A
(l 2 r 2 )
为了求得aet, 应将加速度合成定理向轴x投影:
O
r'
k'
j'
y'
O'
i'
x'
y
rM = rM ' rO xi yj zk r d vr = = xi yj zk dt
dr ve = M = rO xi y zk j dt
6.3 点的加速度合成定理
科氏加速度等于动系角速度矢与点的相对速度矢 的矢积的两倍。 aC大小为
aC 2ωe vr
we
aC 2we vr sin q
其中 q 为 we 与vr 两矢量间的最 小夹角。矢量aC垂直于we和vr, 指向按右手法则确定。
vr
q
aC
工程中常见的平面机构中 we 和vr 是垂直的, 此时aC=2wevr。
例6-16 牛头刨床机构如图所示; 已知O1A = 200 mm, 角速度w1 = 2 rad/s。求图示位置滑枕CD的 速度和加速度。
D C B va1 ve1 vr1
w1 A j w
2
解: 一、速度分析 取套筒A 为动点, 动参考系与摇杆 O2B固连。绝对运动是套筒 A绕O1的圆周运动, 相对运 动是套筒A沿摇杆O2B的直 线运动, 牵连运动是摇杆 O2B绕O2的定轴转动。
va v e v r
vBCD ve 125.6 cm/s
分析加速度得
aa aan w 2 OA
n t aa ae ar ar
(4 ) 2 10 1579 cm/s 2
O
A
B
j
O1
C art
D
vr 2 125.62 arn 1579 cm/s 2 O1 A 10
a r 0
t a
a rw
n a
2 0
O
w0
B
建立如图的投影坐标 0 q t n 轴 Ax ' y ' ，由 aa aa ae ar ， A 将各矢量投影到x’ 轴上，得
a cos q a sin q ae
t a n a
C
y'
于是可得
ae r ( 0 cos q w sin q )
求得的加速度为负值, 说明AB杆的加速度与图 中假设的方向相反, 应为向下。
练习 图示OBC绕O轴转动, 使套在其上的小环M 沿固定直杆OA滑动。已知OB＝10 cm, OB与BC 垂直, 曲杆的角速度为0.5 rad/s, 求当j = 60°时 小环M的速度和加速度。 v
r
C
解: 选取小环M作为研 究的动点, 动参考系随 曲杆OBC一起绕O轴转 动。 点A的绝对运动是小环 M沿 OA 杆 的 直 线 运 动 , 相对运动是沿着BC的直 线运动, 牵连运动则是 曲杆绕O轴的转动。
drO vO we rO dt
dk we k dt
6.3 点的加速度合成定理
同样可得i'、j'的导数。
di we i dt dj we j dt dk w e k dt
将加速度向x轴上投影有： ae 30° A
x : aa cos 60 ae cos 30 arn a n 120° n ar a
x
aa cos 60 arn 1579 0.5 1579 ae cos 30 3/2 2740 cm/s 2 27.4 m/s 2
a a a arx aCx
n ax n ex t ex
B
x
即: a cos j a aC
n a t e
aC
O an a A
ar aet
得:
a
t e
rl (r l )
2 2
(l r )
2 2
3
w
2
2
j
O1
aen
1 w1
摇杆O1B的角加速度 :
a rl (r l ) 2 1 2 2 2 w O1 A (l r )
2
6.3 点的加速度合成定理
z M(M')
z'
rM rO'
O
r'
k'
j'
y'
O'
i'
x' y
x ae a r ae = rO x y zk i j j 2( xi y z k )
3 2 3ew va ve tan q w OA 3 3 ve 2ew 4 3ew vr cosq 3 3
2
O
C
w
加速度分析如图
n e 2
va
y
aa ae ar aC ve
2
vr
B
a OA w 2ew
vr 2 16ew 2 arn R 3 3
6.3 点的加速度合成定理
首先分析动参考系作定轴转动时单位矢量 i'、j'、k'对时间的导数。
设动参考系O'x'y'z'以角 速度we绕定轴转动, 不失 一般性, 取定坐标系的z 轴为其转轴。设k'的端 点A的矢径为rA, 则A点 的速度既等于rA 对时间 的一阶导数, 又可用矢积 来表示, 即
z
z'
z
M(M') z' rM r' k' i' x'
j'
y'
rO'
O
O'
y x
6.3 点的加速度合成定理
rM rO r r = xi yj zk
2
z
M(M')
z'
rM rO'
O
r d ar = 2 = i j k x y z dt 2 d rM x ae = = 2 dt x y z k r i j
解：以滑块A为动点，定系取在地面上，动系 取在BC杆上，动点的速度合成矢量图如图。 将各矢量投影到投影轴 x’ 上，得
y'
va cos q ve
v 即： e va cos q rw0 cos q
该速度即为BC杆的速度。
w0 B 0q v r va q A ve
O
C
x'
动点的加速度合成矢量图如图。其中：
n
aC ar
t
aa
A
4ew 8ew 2 aC 2wvr sin(w , vr ) 2w 1 3 3
n
aen
O
q
ar
n
C
y: aa cosq ae cosq ar aC
w
2 3 16ew 2 8ew 2 2 2 2 aa (2ew ) ew 2 9 3 3 3 3
n e
O
ae
j
B
n
ar
M A
C
aa
可得:
n e
w
2
aC
y
aa a aC / cos j 35 cm/s
例6-15 图示曲柄滑道机构，圆弧轨道的半径R ＝OA＝10 cm，已知曲柄绕轴O以匀速n＝120 rpm转动，求当j＝30°时滑道BCD的速度和加 va 速度。 vr 解：取滑块A为动点， B 动 系 与 滑 道 BCD 固 ve n A jO 1 O 连。 D j 求得曲柄OA转动的角 R 速度为 C n w 4 rad/s va w OA 125.6 cm/s 30 ve vr va 125.6 cm/s
t e 2 2
例 6-13 偏 心 凸 轮 的 偏 心 距 OC ＝ e 、 半 径 为 R 3e , 以匀角速度w绕O轴转动, 杆AB能在 滑槽中上下平动, 杆的端点A始终与凸轮接触, 且 OAB成一直线。求在OC与CA垂直时AB的速度 B 和加速度。 解: 选取杆AB的端点A作为 va vr 动点, 动参考系随凸轮一起 A 绕O轴转动。 ve q ve w OA
ar = i j k x y z
6.3 点的加速度合成定理
j 2( xi y zk ) 2[ x(ωe i ) y(ωe j) z(ωe k )] 2ωe ( xi + yj zk ) 2ωe vr
O
j
B
M
va
A
w
ve 习题6-20
va ve vr
OB w ve OM w cos 60 10 cm/s
OB＝10 cm, w =0.5 rad/s
O
j
B
M
vr C va
A
w
ve
va ve tan j 17.3 cm/s
vr 2ve 20 cm/s
小环M的加速度分析如图所示 :
n aa ae ar aC
O
2
j
B
M
vr C va
A
aC 2wvr 20 cm/s
向y方向投影有:
w
ve
aen w 2 OM 5 cm/s 2
vr ve / cos j 20 cm/s
aa cos j a cos j aC
6.3 点的加速度合成定理 当牵连运动为平移时, we = 0, 因此aC = 0, 此时
aa ae a r
当牵连运动为平移时, 动点在某瞬时的绝 对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相 对加速度的矢量和。
例6-11 图示曲柄滑杆机构，曲柄长OA=r，当 曲柄与铅垂线成 q 时，曲柄的角速度为w 0 ，角 加速度为 0 ，求此时BC杆的速度和加速度。
2 0
n aa a r
该加速度即为BC的加速度。
t aa
ae
x'
例6-12 刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的角 速度为 w, 通过滑块A带动摇杆O1B摆动。已知 OA = r, OO1= l, 求当OA水平时O1B的角速度w1 和角加速度1。 解: 在本题中应选取滑块A作 为研究的动点, 把动参考系固 定在摇杆O1B上。 点A的绝对运动是以点O 为圆心的圆周运动, 相对运动 是沿O1B方向的直线运动, 而 牵连运动则是摇杆绕O1 轴的 摆动。
A
w
e
rA rO O'
'
k '
j'
y'
y
O
x
i'
x'
vA
rA
drA we rA dt rO k
x
z
z' A
we
O
rA rO' O'
k' j'
y'
drO dk we (rO k ) dt dt
y
i' x'