安徽省安庆市第十四中学2024届数学九年级第一学期期末学业水平测试试题含解析

安徽省安庆市第十四中学2024届数学九年级第一学期期末学业水平测试试题 注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．13的相反数是（ ） A ．13- B ．13 C ．3- D ．3
2．如图，△ABC 的三个顶点分别为A(1，2)、B(4，2)、C(4，4)．若反比例函数y ＝
k x
在第一象限内的图象与△ABC 有交点，则k 的取值范围是( )
A ．1≤k≤4
B ．2≤k≤8
C ．2≤k≤16
D ．8≤k≤16
3．如图，在正方形网格中，线段A ′B ′是线段AB 绕某点顺时针旋转一定角度所得，点A ′与点A 是对应点，则这个旋转的角度大小可能是（ ）
A ．45°
B ．60°
C ．90°
D ．135°
4．在一个不透明的布袋中装有红色.白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到白色球的频率稳定在85％左右，则口袋中红色球可能有（ ）.
A ．34个
B ．30个
C ．10个
D ．6个 5．如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，已知40ABC ∠=︒，则AOC ∠的度数为（ ）
A ．60︒
B ．70︒
C ．80︒
D ．90︒
6．如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=1．点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G 、H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（ ）
A ．25
B ．35
C ．5
D ．6
7．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一季度投放1万辆单车，计划第三季度投放单车的数量比第一季度多4400辆，设该公司第二、三季度投放单车数量的平均增长率均为x ，则所列方程正确的是（ ）
A ．2(1)4400x +=
B ．2(1) 1.44x +=
C ．210000(1)4400x +=
D ．10000(12)14400x += 8．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，图象过点(3,0)-，对称轴为1x =-．下列说法：
①0abc <；②20a b -=；③420a b c ++<；④若()15,y -，()22,y 是抛物线上两点，则12y y >，错误的是（ ）
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
9．抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）如图所示，下列结论：①b 2﹣4ac ＞0；②a+b+c ＝2；③abc ＜0；④a ﹣b+c ＜0，其中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．如图，已知AOB ∆和11A OB ∆是以点O 为位似中心的位似图形，且AOB ∆和11A OB ∆的周长之比为1:2，点B 的坐标为()1,2-，则点1B 的坐标为（ ）．
A ．()2,4-
B ．()1,4-
C ．()1,4-
D ．()4,2-
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．若扇形的半径为3，圆心角120︒，为则此扇形的弧长是________.
12．抛物线2
82y x x =++的对称轴为直线______.
13．如图，若ABC ∆内一点P 满足PAC PCB PBA ∠=∠=∠，则称点P 为ABC ∆的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知ABC ∆中，CA CB =，120ACB ∠=︒，P 为ABC ∆的布罗卡尔点，若3PB =，则PA PC +=________．
14．圆心角是60°且半径为2的扇形面积是______
15．如图,点O 是半径为3的圆形纸片的圆心,将这个圆形纸片按下列顺序折叠,使弧AB 和弧BC 都经过圆心O ,则阴影部分的面积为______
16．如图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB＝30°，则∠AOB的度数是_____．
17．已知一个扇形的半径为5cm，面积是20cm2，则它的弧长为_____．
AB=，18．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是的边AB，BC边的中点.若5
BD=，则线段EF的长为______．
8
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G；
(1)求证：△ABE∽△EGB；
(2)若AB＝4，求CG的长.
20．（6分）在一个不透明的袋子中装有大小、形状完全相同的三个小球，上面分别标有1，2，3三个数字．
（1）从中随机摸出一个球，求这个球上数字是奇数的概率是；
（2）从中先随机摸出一个球记下球上数字，然后放回洗匀，接着再随机摸出一个，求这两个球上的数都是奇数的概率（用列表或树状图方法）
21．（6分）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，过D作DE⊥BD交AB于点E，经过B，D，E三点作⊙O．（1）求证：AC与⊙O相切于D点；
（2）若AD=15，AE=9，求⊙O的半径．
22．（8分）为了测量山坡上的电线杆PQ 的高度，数学兴趣小组带上测角器和皮尺来到山脚下，他们在A 处测得信号塔顶端P 的仰角是45︒，信号塔底端点Q 的仰角为30，沿水平地面向前走100米到B 处，测得信号塔顶端P 的仰角是60︒，求信号塔PQ 的高度.(结果保留整数)
23．（8分）如图，AB 、CD 、EF 是与路灯在同一直线上的三个等高的标杆，已知AB 、CD 在路灯光下的影长分别为BM 、DN ，在图中作出EF 的影长．
24．（8分）已知关于x 的一元二次方程2210x x m -+-=有两个实数根1x ，2x ．
（1）求m 的取值范围：
（2）当2212126x x x x +=时，求m 的值．
25．（10分）已知一次函数2y x b =-+（b 为常数，0b >）的图象分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，且与反比例函数4y x
=-的图象交于C 、D 两点（点C 在第二象限内，过点C 作CE x ⊥轴于点E
（1）求tan ACE ∠的值
（2）记1S为四边形CEOB的面积，2S为OAB
∆的面积，若1
27 9
S
S
=，求b的值
26．（10分）在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有3个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字1，1，2；乙袋中的小球上分别标有数字﹣1，﹣2，1．现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为x，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为y，以此确定点M的坐标（x，y）．
（1）请你用画树状图或列表的方法，写出点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y=﹣的图象上的概率．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据相反数的意义求解即可．
【题目详解】1
3
的相反数是-
1
3
，
故选：A．
【题目点拨】
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2、C
【解题分析】试题解析：由于△ABC是直角三角形，所以当反比例函数
k
y
x
=经过点A时k最小，进过点C时k最大，
据此可得出结论．
∵△ABC是直角三角形，∴当反比例函数
k
y
x
=经过点A时k最小，经过点C时k最大，
∴k最小=1×2=2，k最大=4×4=1，∴2≤k≤1．故选C．
3、C
【分析】如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′，∠AOA′即为旋转角．
【题目详解】解：如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，
OB ′，∠AOA ′即为旋转角，
∴旋转角为90°
故选：C ．
【题目点拨】
本题考查了图形的旋转，掌握作图的基本步骤是解题的关键
4、D
【解题分析】由频数=数据总数×频率计算即可．
【题目详解】解：∵摸到白色球的频率稳定在85%左右，
∴口袋中白色球的频率为85%，
故白球的个数为40×
85%=34个， ∴口袋中红色球的个数为40-34=6个
故选D ．
【题目点拨】
本题考查了利用频率估计概率，难度适中．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 5、C
【分析】根据圆周角定理即可解决问题．
【题目详解】∵AC AC =，
∴224080AOC ABC ∠∠==⨯︒=︒．
故选：C ．
【题目点拨】
本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6、C
【解题分析】试题分析：连接EF 交AC 于点M ，由四边形EGFH 为菱形可得FM=EM ，EF ⊥AC ；利用”AAS 或ASA”
易证△FMC ≌△EMA ，根据全等三角形的性质可得AM=MC ；在Rt △ABC 中，由勾股定理求得AC=5
tan ∠BAC=12BC AB =；在Rt △AME 中，AM=12AC=25 ，tan ∠BAC=12EM AM =可得EM=5；在Rt △AME 中，由勾股定理求得AE=2．故答案选C ．
考点：菱形的性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数．
7、B
【解题分析】直接根据题意得出第三季度投放单车的数量为：（1+x ）2=1+0.1，进而得出答案．
【题目详解】解：设该公司第二、三季度投放单车数量的平均增长率为x ，根据题意可得：
（1+x ）2=1.1．
故选：B ．
【题目点拨】
此题主要考查了根据实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，
平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±
x ）2=b ． 8、C
【分析】根据抛物线的对称轴和交点问题可以分析出系数的正负.
【题目详解】由函数图象可得：a>0,c<0,12b x a
=-
=- 所以b>0,2a-b=0,
所以abc<0,
抛物线与x 轴的另一个交点是（1，0），当x=2时，y>0,
所以420a b c ++>，故③错误，
因为()15,y -，()22,y 是抛物线上两点，且()15,y -离对称轴更远，
所以12y y >
故选：C
【题目点拨】
考核知识点：二次函数图象.理解二次函数系数和图象关系是关键.
9、D
【分析】由抛物线的开口方向判断a 与1的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与1的关系，然后根据对称轴及抛物
线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【题目详解】①∵抛物线与x 轴有两不同的交点，
∴△＝b 2﹣4ac ＞1．
故①正确；
②∵抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象经过点（1，2），
∴代入得a+b+c ＝2．
故②正确；
③∵根据图示知，抛物线开口方向向上，
∴a ＞1．
又∵对称轴x ＝﹣
2b a
＜1， ∴b ＞1．
∵抛物线与y 轴交与负半轴，
∴c ＜1，
∴abc ＜1．
故③正确；
④∵当x ＝﹣1时，函数对应的点在x 轴下方，则a ﹣b+c ＜1，
故④正确；
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．
故选：D ．
【题目点拨】
本题考查了二次函数图象与系数的关系．会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
10、A
【分析】设位似比例为k ，先根据周长之比求出k 的值，再根据点B 的坐标即可得出答案．
【题目详解】设位似图形的位似比例为k
则1111,,OA kOA OB kOB A B kAB === △AOB 和11A OB △的周长之比为1:2
111112OA OB AB OA OB A B ++∴=++，即12
OA OB AB kOA kOB kAB ++=++ 解得2k =
又点B 的坐标为(1,2)-
∴点1B 的横坐标的绝对值为122-⨯=，纵坐标的绝对值为224⨯=
点1B 位于第四象限
∴点1B 的坐标为(2,4)-
故选：A ．
【题目点拨】
本题考查了位似图形的坐标变换，依据题意，求出位似比例式解题关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、2π
【解题分析】根据弧长公式可得：
1203180π⨯⨯=2π， 故答案为2π.
12、4x =-
【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的对称轴．
【题目详解】∵抛物线y =x 2+8x +2=(x +1)2﹣11，
∴该抛物线的对称轴是直线x =﹣1．
故答案为：x =﹣1．
【题目点拨】
本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 13、43
【分析】作CH ⊥AB 于H ．首先证明3AB BC =
，再证明△PAB ∽△PBC ，可得3PA PB AB PB PC BC
===，即可求出PA 、PC.
【题目详解】解：作CH ⊥AB 于H ．
∵CA=CB ，CH ⊥AB ，∠ACB=120°，
∴AH=BH ，∠ACH=∠BCH=60°，∠CAB=∠CBA=30°，
∴BC=2CH,
∴AB=2BH=2221()2BC BC -=
3BC ，
∵∠PAC=∠PCB=∠PBA ，
∴∠PAB=∠PBC ，
∴△PAB ∽△PBC ， 3PA PB AB PB PC BC
∴===， ∵3PB =，
∴PA=33，PC=3,
∴PA+PC=43，
故答案为：43.
【题目点拨】
本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题． 14、23
π 【解题分析】由扇形面积公式得：S=
602223603ππ⨯=． 故答案是：
23
π. 15、3π 【分析】作OD ⊥AB 于点D ，连接AO,BO,CO ，求出∠OAD=30°，得到∠AOB=120°，进而求得∠AOC=120°，从而得到阴影面积为圆面积的13
，再利用面积公式求解. 【题目详解】
如图，作OD ⊥AB 于点D ，连接AO ，BO ，CO ，
∵OD=12
AO ， ∴∠OAD=30°，
∴∠AOB=2∠AOD=120°，
同理∠BOC=120°，
∴∠AOC=120°，
∴阴影部分的面积=S 扇形AOC =2
120360
r π=3π． 故答案为：3π．
【题目点拨】
本题考查了学生转化面积的能力，将不规则的面积转化为规则的面积是本题的解题关键.
16、60°
【分析】直接利用圆周角定理，即可求得答案．
【题目详解】∵A 、B 、C 是⊙O 上三点，∠ACB=30°，
∴∠AOB 的度数是：∠AOB =2∠ACB =60°．
故答案为：60°．
【题目点拨】
考查了圆周角定理的运用，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
17、1
【分析】利用扇形的面积公式S 扇形12=
⨯弧长×半径，代入可求得弧长． 【题目详解】设弧长为L ，则2012=
L ×5，解得：L =1． 故答案为：1．
【题目点拨】
本题考查了扇形的面积公式，掌握扇形的面积等于弧长和半径乘积的一半是解答本题的关键．
18、3
【分析】由菱形性质得AC⊥BD,BO=
118422BD =⨯= ,AO=12AC ,由勾股定理得3= ,由中位线性质得EF=132
AC =. 【题目详解】因为，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，
所以，AC ⊥BD,BO=
118422BD =⨯= ,AO=12AC ,
所以，3== ,
所以，AC=2AO=6,
又因为E ，F 分别是的边AB ，BC 边的中点.
所以，EF=
132
AC =. 故答案为3
【题目点拨】
本题考核知识点：菱形，勾股定理，三角形中位线.解题关键点：根据勾股定理求出线段长度，再根据三角形中位线求出结果.
三、解答题(共66分)
19、 (1)证明见解析；(2)CG=6.
【分析】(1)由正方形的性质与已知得出∠A ＝∠BEG ，证出∠ABE ＝∠G ，即可得出结论；
(2)由AB ＝AD ＝4，E 为AD 的中点，得出AE ＝DE ＝2，由勾股定理得出BE =由△ABE ∽△EGB ，得出AE BE EB GB
=，求得BG ＝10，即可得出结果. 【题目详解】(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，且∠BEG ＝90°，
∴∠A ＝∠BEG ，
∵∠ABE+∠EBG ＝90°，∠G+∠EBG ＝90°，
∴∠ABE ＝∠G ，
∴△ABE ∽△EGB ；
(2)∵AB ＝AD ＝4，E 为AD 的中点，
∴AE ＝DE ＝2，
在Rt △ABE 中，BE ==
由(1)知，△ABE ∽△EGB ，
∴AE BE
EB GB =GB
=， ∴BG ＝10，
∴CG ＝BG ﹣BC ＝10﹣4＝6.
【题目点拨】
本题主要考查了四边形与相似三角形的综合运用，熟练掌握二者相关概念是解题关键
20、（1）23；（2）见解析，49
【分析】（1）直接根据概率公式解答即可；
（2）首先根据题意列出表格，然后列表法求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色的小球的情况，再利用概率公式即可求得答案
【题目详解】解：（1）从3个球中随机摸出一个，摸到标有数字是奇数的球的概率是
23
； （2）列表如下：
根据表格可知共有9中情况，其中两次都是奇数的是4种，则概率是=
．
9
【题目点拨】
本题考查了概率，根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
21、（1）见解析；（2）1．
【解题分析】试题分析：（1）连接OD，则有∠1=∠2，而∠2=∠3，得到∠1=∠3，因此OD∥BC，又由于∠C=90°，所以OD⊥AD，即可得出结论．
（2）根据OD⊥AD，则在RT△OAD中，OA2=OD2+AD2，设半径为r，AD=15，AE=9，得到（r+9）2=152+r2，解方程即可．
（1）证明：连接OD，如图所示：
∵OD=OB，
∴∠1=∠2，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OD∥BC，
而∠C=90°，
∴OD⊥AD，
∴AC与⊙O相切于D点；
（2）解：∵OD⊥AD，
∴在RT△OAD中，OA2=OD2+AD2，
又∵AD=15，AE=9，设半径为r，
∴（r+9）2=152+r2，
解方程得，r=1，
即⊙O的半径为1．
考点：切线的判定．
22、信号塔PQ 的高度约为100米.
【分析】延长PQ 交直线AB 于点M ，连接AQ ，设PM 的长为x 米，先由三角函数得出方程求出PM ，再由三角函数求出QM ，得出PQ 的长度即可．
【题目详解】解：延长PQ 交直线AB 于点M ，连接AQ ，如图所示：
则90PMA ∠=︒，设PM 的长为x 米，在Rt PAM 中，45PAM ∠=︒，
∴AM PM x ==米，∴100BM x =-(米)，
在Rt PBM △中，∵tan PM PBM BM ∠=，∴tan 603100x x ︒==-， 解得：(5033x =，
在Rt QAM △中，∵tan QM QAM AM
∠=， ∴tan 50(33)tan 3031)QM AM QAM ︒=⋅∠=+⨯=(米)，
∴100PQ PM QM =-=(米)；
答：信号塔PQ 的高度约为100米.
【题目点拨】
本题考查解直角三角形的应用、三角函数；由三角函数得出方程是解决问题的关键，注意掌握当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边的长是解答此类题的一般思路．
23、详见解析.
【分析】连接MA 并延长，连接NC 并延长，两延长线相交于一点O ，点O 是路灯所在的点，再连接OE ，并延长OE 交地面于点G ，FG 即为所求.
【题目详解】如图所示，FG 即为所求.
【题目点拨】
本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影；中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．
24、（1）2m ≤；（2）32
【分析】（1）由条件可知该方程的判别式大于或等于0，可得到关于m 的不等式，可求得m 的取值范围;
（2）利用根与系数的关系可用m 表示出已知等式，可求得m 的值．
【题目详解】解：（1）
原方程有两个实数根， ()()22410m ∴∆=---≥
整理，得：
4440m -+≥
解得：2m ≤
（2）122x x +=，121x x m =-，2212126x x x x +=
()212121226x x x x x x ∴+-=
即()481m =- 解得：32
m =
又2m ≤ m ∴的值为
32. 【题目点拨】
本题考查了根据一元二次方程的根与判别式的关系来确定未知系数的取值范围，以及根据根与系数的关系来确定未知系数的值．
25、（1）1tan 2
ACE ∠=；（2）32b =【分析】（1）先求出A 和B 的坐标，进而求出tan ABO ∠，即可得出答案；
（2）根据题意可得△AOB ∽△AEC ，得出34OB CE =，设出点C 的坐标，列出方程，即可得出答案. 【题目详解】解：（1）一次函数2y x b =-+（b 为常数，0b >）的图象分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点， 令0x =，则y b =；令0y =，则求得2b x =
， ∴,02b A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，()0,B b ， ∴2
b OA =，OB b =， 在Rt AOB ∆，12tan 22
b
OA ABO OB b
∠===， ∵CE x ⊥轴于点E ，
∴CE y 轴，
∴ACE ABO ∠=∠，
∴1tan 2
ACE ∠=；
（2）根据题意得：2
2
916AOB AEC S OB S CE ∆∆==， ∴34
OB CE =. 设点C 的坐标为(),2x x b -+，则OB b =，2CE x b =-+，
∴32442b x b x b x ⎧=⎪⎪-+⎨⎪-+=-⎪⎩
， 解得：32b =，或32b =-.
【题目点拨】
本题考查的是反比例函数的综合，综合性较强，注意面积比等于相似比的平方.
26、（1）树状图见解析，则点M所有可能的坐标为：（1，﹣1），（1，﹣2），（1，1），（1，﹣1），（1，﹣2），（1，1），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，1）；（2）.
【解题分析】试题分析：（1）画出树状图，可求得所有等可能的结果；（2）由点M（x，y）在函数y=﹣的图象上的有：（1，﹣2），（2，﹣1），直接利用概率公式求解即可求得答案．
试题解析：（1）树状图如下图：
则点M所有可能的坐标为：（1，﹣1），（1，﹣2），（1，1），（1，﹣1），（1，﹣2），（1，1），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，1）；（2）∵点M（x，y）在函数y=﹣的图象上的有：（1，﹣2），（2，﹣1），
∴点M（x，y）在函数y=﹣的图象上的概率为：．
考点：列表法或树状图法求概率.。